基本不等式 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本不等式会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。情境导入国际数学家大会（InternationalCongressof

Mathematicians，ICM）观察：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？新课引入正方形和直角三角形探究1ab２、四个直角三角形的面积和S′=３、S与S′有什么

样的不等关系？S>S′问：那么它们有相等的情况吗？何时相等？新课引入1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿＿探究1ADBCEFGHba对于a、b都大于0,

我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab新课引入探究1E(FGH)ab重要不等式思考：当a、b为实数，你能证明重要不等式

吗？证明：（作差法）新课引入对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立

a、b∈R文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：新课引入重要不等式学习新知替换后得到：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？探究2证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法证明不等式：学习新知探究2若a>0，b>0，则通常我们把上式写作：在数学中，我们把

叫做正数a，b的算术平均数，

叫做正数a，b的几何平均数。文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>0学习新知基本不等式当且仅当a=b时取等号。均值不等式学习新知

长度为的线段是（

）长度为的线段是（

）

半径半弦将点C在线段AB上移动，发现半径OD和半弦CD大小关系如何？探究3射影定理圆的半弦不大于半径，当且仅当点C与圆心重合，即a=b时取等号。适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式学习新知

学习新知基本不等式的推广：

你能用今天学习的方法给出以下不等式的证明吗？基本不等式链①②分析法基本不等式的运用例１．已知x>0，求的最小值和此时x的值．典型例题变式1：已知x<0，求的最大值．

变式3：当x>1时，求的最小值.典型例题基本不等式的运用例2.已知

x,y

都是正数,P,S

是常数，求证：(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).14巩固练习

(1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为A.80B.77C.81 D.82√(2)若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是A.4

B.

C.9

D.18√①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).14归纳总结提高练习

提高练习

作差法提高练习

提高练习

提高练习

提高练习

注意把握“一正，二定，三相等”3.利用基本不等式求最值1.重要不等式课堂小结2.基本不等式4.数学证明方法作差法、分析法当且仅当a=b时，等号成立。当