2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题47 平面与平面垂直-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（原卷版）

专题47平面与平面垂直题型一面面垂直的判定与性质【例1】设有直线m、n和平面α、β，则下列命题中正确的是()A．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βB．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β【变式1-1】已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③【变式1-2】若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【变式1-3】经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．【变式1-4】平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是【变式1-5】如图所示，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，则图中互相垂直的平面有()A．2对B．4对C．3对D．5对题型二面面垂直的证明证明面面垂直常用的方法：1、定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；2、判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；3、性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．【例2】如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：平面PAC⊥平面BDD1【变式2-1】如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.【变式2-2】如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝eq\r(2)a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.【变式2-3】如图：三棱锥P­ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.【变式2-4】如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.题型三面面垂直性质定理应用【例3】已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.【变式3-1】已知三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC．（1）求证：AB⊥BC；（2）若AB＝BC，过点A作AF⊥PB于点F，连接CF，求证：平面PBD⊥平面AFC．【变式3-2】如图，在三棱锥中，，，平面平面，点，（与，不重合）分别在棱，上，且.（1）证明：平面.（2）证明：【变式3-3】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：AD⊥平面PCD.【变式3-4】如图所示，所在的平面与长方形所在的平面垂直．（1）求证：平面；（2）求证：．【变式3-5】如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面平面SBC，，M是BC的中点，，.（1）求证：.（2）若，求四棱锥的体积.题型四二面角的求解【例4】如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为()A．60°B．30°C．45°D．15°【变式4-1】在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B­AD­C后，BC＝eq\f(1,2)AB，这时二面角B­AD­C的大小为()A．60°B．90°C．45°D．120°【变式