2023一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型专题26 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2023一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

专题26两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一公式应用1．已知，α∈（0，π），求下列式子的值：（1）sinαcosα；（2）；（3）sin3α+cos3α．【答案】（1）；（2）3；（3）．【解析】（1）∵，α∈（0，π），∴两边平方，可得1+2sinαcosα，∴解得sinαcosα；（2）∵0，①又α∈（0，π），∈（0，），∴sinα＞0，cosα＜0，tan0，∴sinα﹣cosα，②∴由①②可得sinα，，所以，又，所以，整理得，解得或(舍)，所以.（3）sin3α+cos3α＝（sinα+cosα）（sin2α+cos2α﹣sinαcosα）＝（）×（1）．2．已知，且，.求：（1）的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）由得，,∴，（2）由得，，.3．已知，，，求及的值.【答案】，【解析】，，且，那么，，那么，，.故答案为：，.4．已知，，求：（1）的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可得，解得，而，故，故.（2）.题型二利用和（差）角公式求三角函数值5．已知，，则（）A． B．7 C． D．-7【答案】A【解析】因为，，所以，故选：A.6．若，且，，则__________.【答案】5【解析】解：，，则，又，则，故5，故答案为：5.7．设当时，函数取得最大值，则________.【答案】【解析】；当时，函数取得最大值；，；.故答案为：.8．已知均为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）∵，为锐角，∴∴（2）∵，，∴．题型三利用和（差）角公式化简三角函数值9．设、是锐角，那么下列各式成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】对答案A，若，则，故A错误；对答案B，若，则，故B错误；对答案C，问题，因为、是锐角，故C正确；对答案D，若，则无意义，故D错误.故选：C.10．已知，，则__________.【答案】【解析】因为，即，结合，，那么，.故答案为：11．已知，则___________．【答案】【解析】由，得，展开得，，两式相加整理得：．故答案为：.12．已知锐角、满足，则的最大值为___________.【答案】【解析】因为锐角、满足，可得.当且仅当时，等号成立.故最大值为.故答案为：13．已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：（Ⅰ）cos（2α﹣β）的值；（Ⅱ）β的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，），∵，，∴sinα，cos（α﹣β），∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα，（Ⅱ）由（Ⅰ）得，cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β），又∵，∴β．14．已知、为锐角，且，.求证：.【答案】证明见解析.【解析】因为且为锐角，所以，因为且为锐角，所以，所以，所以；所以，又，∴.15．已知函数．（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．【答案】（1）定义域为，值域为；（2）单调增区间为，单调减区间为；（3）非奇非偶函数；（4）.【解析】（1），由,解得∴函数的定义域为；由,∴，∴函数的值域为；（2）在定义域内，当,即时，是单调递增的，故函数时单调递减的；当,即时，是单调递减的，故函数时单调递增的；∴单调增区间为，单调减区间为；（3）由（1）得函数的定义域为，定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；（4）∵的最小正周期为,∴函数的最小正周期为.16．在中