山东省枣庄市2022-2023学年高一年级下册期末数学 含解析

2022〜2023学年高中高一教学质量检测

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知向量“=（，）,,若a//h，则（）

A.〃=22B.〃=—22C.沏=2D.切=—2

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.

【详解】因为向量0=（1,之），h=（",2）,，

所以2—办=0,即办=2.

故选：C.

2.已知复数z满足］=z，Jz=4，则2=（）

A.2B.±2C.2iD.±2i

【答案】B

【解析】

【分析】设复数z=a+6i,a0eR,根据已知等式结合复数的运算即可得。力的值，从而求得复数z.

【详解】设复数z=a+bi,a力eR

因为z=z，所以a—》i=a+〃,则Z?=0,

又z-z=4，所以/=4，即＜2=i2

故2=±2.

故选：B.

3.一个圆台的上、下底面的半径分别为1,4,母线长为5,则该圆台的侧面积为（）

A.30兀B.257rC.20KD.15兀

【答案】B

【解析】

【分析】利用圆台的侧面积公式求解即可

【详解】设圆台的上、下底面的半径为大乃，母线长为/,

所以4=1,々=4,/=5,

S=（?无"+；冗与）'=（兀八+兀曰>/=（兀+4无>5=25兀-

故选：B.

4.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，至少出现一次6点的概率为（）

1325115

A.—B.—C.—D.—

18363618

【答案】C

【解析】

【分析】先求出一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次可能出现的情况和至少出现一次6点的情况，再由古

典概率求解即可.

【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,

（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（6,1）,（6⑵,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,共36种，

其中至少出现一次6点的情况有：

（1,6）,（2,6）,（3,6）,（4,6）,（5,6）,（6,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,共11种，

故至少出现一次6点的概率为：—.

36

故选：C.

5.一组数据不当，…，天必（演<W<…<%2023），记其均值为"第25百分位数为山，方差为S2,则

（）

A.m=x505

B-玉012<X<*1（）13

C.数据3+"办2+。，…，办2023+匕的均值为al

22

D.数据ax,+b,ax2+b,---,ar2023+b的方差为as

【答案】D

【解析】

【分析】根据百分位数的定义，均值和方差的计算公式判断各选项即可;

【详解】选项A：25%x2023=505.75,所以机=/。6,选项错误；

尸。）

选项B：工=乙曰_2」,并不能准确判定均值的位置，例如：1,2,3,11,13,14,18,200,平均数更靠近后

2023

项，选项错误；

选项C：根据定义，数据叼&%023+〃的均值为：

「2023/52023/\「2023/\

Z且3」•"）.=Z，：T3）+A=aZ，H&）+「=,+》；选项错误;

202320232023

选项D：数据依।+。,44+'，…，依2023+匕的方差为：

ET[（阴+0）-（应+"）丁或;（叫-成P.一元J;五2.选项正确；

202320232023"

故选：D.

6.已知i为虚数单位，若实数。使得5+/«2023+1）-1为纯虚数，则。=（）

A.-1B.1C.±1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】先求出i2023=—i，再根据纯虚数的概念列式计算.

【详解】因为i2023=1505x4+3=j3=7，所以原式为齿十"（_j十。_]=一]+3一标万为纯虚数，

a2—1=0

故选：A.

7.某班50名学生骑自行车，骑电动车到校所需时间统计如下:

到校方式人数平均用时（分钟）方差

骑自行车203036

骑电动车302016

则这50名学生到校时间的方差为（）

A.48B.46C.28D.24

【答案】A

【解析】

【分析】根据分层随机抽样的总样本的平均数和方差公式进行求解.

【详解】由已知可得，骑自行车平均用时（分钟）：X1=30,方差S：=36；

骑电动车平均用时（分钟）：弓=20,方差S；=16；

23

骑自行车人数占总数的《，骑电动车人数占总数的

23

这50名学生到校时间的平均数为元=§x30+gx20=24,

方差为S?=|[36+（30—24月+|[16+（20-24）1=48.

故选：A.

8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图）.

明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）.

假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心。到水

1T

面的距离人为1.5m,筒车的半径r为2.5m,筒车转动的角速度。为一rad/s,如图所示，盛水桶〃

12

（视为质点）的初始位置几距水面的距离为3m,则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（）

1.414,73«1.732).

个

水面'人)

A.4.0mB.3.8mC.3.6mD.3.4m

【答案】A

【解析】

【分析】先求出初始位置时凡对应的角，然后根据题意求出盛水桶M到水面的距离与时间f的函数关

系，将，=3代入求解即可.

【详解】设初始位置综对应的角为外，则sin/==9=|,则cos%=Jl-sin2%

TT

因为筒车转动的角速度0为1；rad/s,

12

TT

所以水桶M到水面的距离d=2.5sin(—/+%)+1.5,

当/=3时，则有d=2.5sin(/x3+%)=2.5x乎*(1+[)+1.5^3.974a4.0,

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列关于复数z的四个命题，真命题的为()

A.若,£R,则Z£HB.若Z?£R,则Z£/?

Z

C.若-=则|z|的最大值为2D.若z3—l=0,则Z=1

【答案】AC

【解析】

【分析】利用复数的运算可判断AB选项的正误，利用复数模长的三角不等式可判断C选项的正误，解

方程z3—l=0,可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，^z=a+bi(a,b^R),则/+12>0,

11a-biab.i

~=,=/IZWn?=2,>22,72Z»一£R，则/?=0，从而Z£H，

za+bi[a+bi)^a-bi)a+ba+bz

A选项正确；

对于B选项，Wz=i,则z2=—leR，但zeR,B选项错误;

对于C选项，由复数模的三角不等式可得|z|=|（z-。+心|z—i|+"=2,C选项正确；

对于D选项，由Z，=卜2+z+l）=O,可得z=l或z?+z+l=O，

由z2+z+l=（z+，］+—=0,贝+=--=+^-i，解得z=­，一^或z=-，+立i,

I2）4I2j42J2222

D选项错误.

故选：AC.

10.己知点”是_48。的重心，点A（l,2）,3（2,3）,C（-2,5）,点。是8C上靠近点8的三等分点,

则（）

C.（^MD,AC）=-D.|3MD-AC|=2V6

【答案】AB

【解析】

【分析】先根据重心坐标公式求出重心坐标判断A选项，再根据三等分点求出点。判断B选项，再根据

夹角公式计算判断C选项，最后根据模长公式求解判断D选项.

【详解】点M是d45c的重心，点A（l,2）,6（2,3）,C（-2,5）,

12(-2)_1

A——++———

设点«3,A选项正确;

y~2+3+5=10

33

点。是5c上靠近点B的三等分点，则33£>=BC,

3(a-2)=-4

设£>（。,。）,则3（。一2,8一3）=（-4,2）,即

3(fe-3)=2，

211

解得。=—,。=一，B选项正确;

33

UUUUUU1

/uutruum、

uuir(UUUMD-AC-3+1

cos(MD,AC)=c

因MD=\1,,AC=(-3,3),则uuiruu

IMDAC3区呵飞

3

!uuirUUM\兀

即C选项错误;

3MD-AC=3(j-(-3,3)=(6,-2),|3MD-AC\=^62+(-2)2=2回,D选项错误;

故选:AB.

I3

11.已知A8为两个事件，尸（A）=a，尸（B）=j，则P（AB）的值可能为（）

155

A.-B.—CD.-

616-l8

【答案】BC

【解析】

【分析】根据事件概率的相关公式进行转化求解不等式即可.

13

【详解】因为P（A）=],P（8）=j,

3

所以

135

所以P（4uB）=尸（A）+尸（8）-P（AB）-+--P(AB)=--P(AB),

35

即：用—「（AB）”

解得;WP（AB）W；.

故选：BC

12.如图，正方体ABC。—中，P是线段BC上的动点（不含两端点），则（）

A.直线4P与平面AC。相交

B.三棱锥A-RPC的体积不变

A

C.平面PDB{平面ACDt

D.设直线OP与平面AC所成的角为6,则tan。取值范围为（0,1）

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据面面平行的判定定理证得平面ABC"/平面ACA,根据面面平行的性质即可判断A；根据

三棱锥体积转化思想分析三棱锥A-QPC的体积即可判断B；由面面垂直的判断定理证明平面PDBt八

平面AC"即可判断c；利用线面夹角的定义确定tan6的关系式，结合函数确定其取值范围.

【详解】对于A,如图连接AB,BG，AG

1//\*1//

AB

在正方体ABCD—AgG2中，A4//CG，AA=cc,所以四边形A^CG为平行四边形，所以

AG//AC,

又因为ACu平面4。1仁平面4。9,所以4G//平面

同理可得8£//平面ACA,

又BGcAG=G，6G，4Gu平面,所以平面ABJ//平面ACQ,因为A/U平面

ABC，所以AP〃平面AC。一故A不正确；

对于B,由A可知BCJ/平面AC2,又PGBC1,所以点尸到平面ACQ的距离为定值，

在正方体ABCD—AAGA中，可得△ACA为等边三角形，其面积为定值，故三棱锥P—AC2的体积

Vp-ACZ),为定值，

所以三棱锥A-D.PC的体积匕“其=Vp一ACD,也为定值，故B正确；

对于C,如图，连接

在正方体中，四边形为正方形，所以4OLAR

又4月，平面A/。。，42匚平面44。4,所以Af1，A。

因为4g门4。=4,4g，aou平面44。，所以Aq，平面44。

因为6Qu平面A4。，所以A0，4。，同理可得AC，片。

又AC「AD}=A,AC,ADtu平面ACQ,所以与。_1平面AC。

因为4Qu平面?。与，所以平面P。4A平面ACQ,故C正确；

对于D,如图过P作PM//CC交8c于〃，连接DW

因为GC，平面AC,PM//C\C,所以PM，平面AC,PMHCiC

PM

则ZPDM为直线OP与平面AC所成的角为e,则tan0=tanZPDM=——

DM

不妨设正方体棱长为1，设技0=a,则ae(O,l)

所以PM==a,CM=1—a,则。M=^CM2+CD2=^(1-«)2+12=yja2-2a+2，

因为ae(O,l),所以:e(l,+8),则2(1—+l€(l,+a)),故tan6取值范围为(0,1),故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用按比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部

和高中部两层共抽取50名学生，已知该校初中部和高中部分别有200名和800名学生，则从初中部应抽

取的学生人数为.

【答案】10

【解析】

【分析】根据题意利用分层抽样的定义直接求解即可.

【详解】由题意得从初中部应抽取的学生人数为一迎一x50=10人，

200+800

故答案为：10

14.正.ABC边长为2,点P满足AP=AB+AC，则8P-

【答案】2

【解析】

【分析】根据基底法进行转化，代入求解即可.

【详解】因为AP=AB+AC，

所以8P=AP-A&=AB+AC-A8=AC，

所以BP-A8=AC.A8=k4|ABkosW=2x2xg=2.

故答案为：2

15.设事件A8相互独立，且P（B）=q,P（A+5）=；,贝iJP（M）=.

【答案】y##0.5

【解析】

【分析】根据独立事件结合概率运算的性质，直接计算即可.

【详解】由题知，因为P（B）=w，尸（A+8）=a，

所以P（国=1—P（B）=；,

由P（A+5）=P（A）+P⑻—尸（A用=；,

可得P（A）—P（4月）=；,即尸（A6）=；,

故P（M）=P⑻-P（AB）=1.

故答案为：y

16.M,N分别是棱长为i的正方体的棱CG，4月的中点，点p在正方体的表面上

运动，息有MP工BN,则点P的轨迹所围成图形的面积为.

【答案】g

2

【解析】

【分析】根据图形关系找出一个面垂直于8N,从而得到点P的轨迹，进而得到点P的轨迹所围成图形的

面积.

【详解】取84中点G,连接。M,MG,GA,设AGcRV=尸，

则NB|=GB,NNBiB=NGBA=90。,B,B=BA,

所以ANBiB^AGBA,

所以=NG4B,

因为NR汨+NG4B=90°,

所以NFGB+4NBB\=90°,

所以NGEB=90°,即AGLBN,

因为正方体ABCD—AgGR中4。_1面4448,BNu面A&Bf,

所以AOJ_BN,

因为AZ）,4Gu面ADMG,ADAG=A,

所以即，面4。必7,

因为正方体ABC。-44G。中4）_1_面44/乃，AGu面4Al耳B,

所以ADLAG,

所以点尸的轨迹为矩形AOMG，

在直角ABG中AG=JAG?+时

所以矩形ADMG面积为AGAD=&xl=乩

22

即点尸的轨迹所围成图形的面积为更.

2

故答案为：好

2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于80分

(2)估计该班学生数学成绩的平均分和中位数.

【答案】（1）a=0.02,b=0.01

(2)平均分、中位数分别为81,82.5

【解析】

【分析】(1)根据频率分布直方图的性质求解即可.

(2)利用平均数和中位数的定义和公式求解即可.

【小问1详解】

8G

证明：连接。C.

在Rt△他。中，因为A5=AT＞，。是8。的中点，所以40LBD,

A0=-BD=-x2=\.

22

在等边△BCD中，0C=CDstn曰=2乂5=也.

在i^AOC中，A0-1,0C=V5，AC=2,

所以AO2+CC>2=AC2,所以NAOC=90°,即AO_LOC.

又OCBD=O,OCu平面BCO,BDu平面BCD,

所以AO，平面8co.

【小问2详解】

W

分别取AC,8C的中点M,E,连接O"、ME、OE.

因为0,E，"分别是8。，BC,AC的中点，

所以EM，OE分别是_ABC,△BCD的中位线，

所以OE〃DC,EM//AB，

所以NO£M（或其补角）就是异面直线AB与CO所成的角

151

在中，EM=-AB=—fOE=-DC=l.

因为OAf是RtAOC斜边上的中线，所以OM=—AC=1.

2

在等腰△OEM中，/CG”2日

cosZOEM=-........=——

OE4

所以异面直线A3与CO所成角的余弦值为也.

4

19.数学期末考试中有.8道单项选择题，满分40分，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，

评分标准规定：答对得5分，不答或者答错得0分.考生甲每道单项选择题都选出了一个答案，能确定其

中有5道题的答案是正确的，而其余3题中，有一道题可以排除两个错误选项，另外两个选项选择的可

能性都相等；剩余两道题都能排除一个错误选项，另外三个选项选择的可能性都相等.各道单项选择题答

对答错彼此互不影响.

（1）求甲得满分40分的概率；

（2）判断甲单项选择题得多少分的可能性最大，并说明理由.

【答案】（1）—

18

（2）甲得30分的概率最大，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求甲得满分40分的概率，即可得结果.

（2）由甲总得分X的取值有25、30、35、40,再应用独立事件乘法公式及互友事件加法公式求各对应得

分的概率并比较大小，即可得答案.

【小问1详解】

由题意可知，在其余3道题中，三道题答对的概率分别为』，k

332

设X表示甲考试总得分,

1

所以甲得40分的概率为P（X=40）=x

218

【小问2详解】

12

甲得25分的概率P（X=25）=X—=—

29

甲得3。分的概率P（X=30）=2x滔

「121

甲得35分的概率P（X=35）=“丫X—+2x—X—X—=—

32332

而甲得40分的概率为上，故甲得30分的概率最大.

20.已知q,6是不共线的单位向量，卜1，&2)=夕，Q=q-2/，b=2e1+ke2.

(1)若〃与〃共线，求w的取值范围；

7T

(2)若。=彳，C是向量a在向量方上的投影向量，满足〃=2c，求实数化的值.

【答案】(1)2<忖<6

(2)-1或-4

【解析】

【分析】(1)由a与b共线，结合共线定理求出A值，则忖=,20-16cos6,再结合0<。<兀可求出

忖的取值范围；

(2)由0是a在/，上的投影向量，表示出一再结合8=2。可列方程求出实数上的值.

【小问1详解】

因为a与b共线，所以存在实数2,使得6=/la，

即2条+痣=4(e,-2e2),即2e；+ke2=鸡一2双；.

由平面向量基本定理，得;1=2,Z=—2/L

所以k=T.

12

M=(2e]+ke2^=4et~+4ket-e2-^-k=4+4^cos^+Z:.

所以卜卜j4+4x(-4)cose+(-4『=J20-16cos].

因为0<6<兀，所以-1<COS0<1,所以2<W=J20-16cos6<6.

【小问2详解】

因为8=工，所以M=4+4kcos—+k2-4+2k+k2,

一3113

a•力=(q—2e,)■(2e[+ke?)=2—2k+(k—4)x————3k.

由c是a在b上的投影向量，得

_3,

a-b21

C=---h=---------h-

W4+2k+k2

11COs2

-"=lSin2^Jrcos2^-^

22百6

_V|

sin2。+—cos20sin126+?

26一6

7

.[>,八兀/口兀m兀5兀

由o<e<一,得一<2。+—v—,

366