黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2023-2024学年高二年级上册9月月考数学试题

2023〜2024学年度上学期高二9月月考

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指

定位置。

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区

域均无效。

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答;

字体工整，笔迹清楚。

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章〜第三章3.1。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若方程/+2y+加2+1=0表示圆，则实数加的取值范围为()

(1

A.(-2,1)B.(0,1)C.°,竹)D.

x2y2

2.已知椭圆1+5=1的左顶点为A,上顶点为8,贝()

A.25/2B.3C.4D.瓜

3.无论用为何值，直线y=/nr+2〃z+l所过定点的坐标为()

A.(-2,-1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(2,1)

4.两平行直线1：x-2y-VlO=0,l2：4y—2x—3函=0之间的距离为()

A.；B.3C.\/5D.2,J2

5.已知集合A={(x,y)(尤—I)?+(y+2『=4],3={(%,y)卜一4丫+(>-2丫=/},其中厂>0,若

AB中有且仅有两个元素，则厂的取值范围为()

A.(1,+OO)B.(3,+00)C.(3,7)D.(2,8)

XV

6.如图，椭圆C：/+万=1（。＞方＞0）的左、右焦点分别为耳、尸2,过点6的直线与椭圆相交于P、。两

点.若忸匐=3,仍。=4，|耳Q|=5，则椭圆。的方程为（）

7.如图，在四棱锥?一A8CD中，2J_底面A6CZ）,底面A5CD为正方形，PA=BC，E为C£＞的中点,

产为PC的中点，则异面直线8F与PE所成角的正弦值为（）

5也

8.已知直线/：y=x+b与圆c：（x+lY+（y—2丫=8相交于「，。两点，o为坐标原点，且。P1。。,

则实数〃的所有取值之积为（）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知椭圆C的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6,焦距为4,则椭圆C的标准方

程可能为（）

cv+T=1Dy+v=1

10.已知直线4:无一/y+2=0,直线4：方_（a_2）y_3=O,若4则实数。可能的取值为（）

A.-lB.OC.lD.2

U.在平面直角坐标系X。），中，过直线％+>-2=0上任一点P作圆O：V+y2=l的两条切线，切点分别为

A,B,则（）

A.当四边形。4/汨为正方形时，点P的坐标为（1,1）

B.|「闾的取值范围为［1,+8）

C.NAP3不可能为钝角

D.当为等边三角形时，点P的坐标为（2,0）

12.如图，点尸是边长为2的正方体ABC。一AMGA的表面上一个动点，则（）

A.当点P在侧面上时，四棱锥P—A4。。的体积为定值

B.存在这样的点p,使得

222”

C.当直线AP与平面A88所成的角为45。时，点P的轨迹长度为%+4&

“八473

D.当AP=N一时，点p的轨迹长度为:一

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知在空间直角坐标系宜为中，点A的坐标为（1,2,-3），点5的坐标为（0,-1,-4）,点A与点C关于工

轴对称，贝43C|=.

x2y1

14.若方程--=l表示椭圆，则实数加的取值范围为_________.

m2m-3

15.直线26以+（/+1）丁+1=0的倾斜角的取值范围是.

16.在平面直角坐标系工。），中，y轴被圆心为c（i,o）的圆截得的弦长为2百，直线/：y=ar+2与圆c相

交于A,B两点，点/在直线y=-x上，且|24|=|尸耳，那么圆C的方程为，2Xo+y（）的

取值范围为.（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

己知点尸（-1,2），求满足下列条件的直线/的一般式方程.

（1）经过点P,且在y轴上的截距是X轴上的截距的4倍；

（2）经过点P,且与坐标轴围成的三角形的面积为

2

18.（本小题满分12分）

已知圆G：x2+y2+2x+2y-2^0,圆C2：%2+y2-4^-1=0.

（1）证明：圆G与圆。2相交；

（2）若圆G与圆G相交于A，8两点，求|AB|.

19.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系工。），中，已知圆C过点0（0,0）、4（—2,0）、B（-3,-3）.

（1）求圆C的一般方程；

（2）若圆M与圆C相切于点O,且圆A/的半径为求圆M的标准方程.

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥尸—A3C£）中，底面四边形A5CD为直角梯形，AB//CD,AB±BC，AB=2CD=2BC，

O为5。的中点，BD=4,PB=PC=PD=y/5.

（1）证明：OP_L平面A3CD;

（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知X,y是实数，且（％-iy+（y—2）2=4.

（1）求3x+4y的最值；

（2）求上的取值范围；

X

（3）求jF+y?的最值.

22.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆C：,+}=l（a>b>0）的离心率为半，短轴长为2.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点A,8分别为椭圆C的左、右顶点，点。为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的

动点，直线AP与直线3。相交于点A/,直线BP与直线AO相交于点N.证明：直线MV与X轴垂直.

2023〜2024学年度上学期高二9月月考•数学

参考答案、提示及评分细则

1.B方程可化为F有机一加2>0,解得Ovmvl.

2.D由A（2,0），B（0,A/2）,可得网=«.

3.C当》=一2时，>,=1,可知直线过定点（一2,1）.

4.A直线［：2x-4y-2V10=0,72：2x-4y+3ji6=0,两平行直线之间的距离为

3710-（-2^0）5垃

J4+16―2,

5.C两点（1,一2），（4,2）之间的距离为5,有上一2|<5<r+2,解得3<r<7.

6.D设有EQ=4—x,由|尸£『+|尸。|2=区。（可知产片，/^，又由椭圆的定义有

PFf+PF2^QF}+QF2,可得3+x=5+（4—x）），解得x=3,可得。==与3=3,

C=KPF；+PF；坐,/,=b3|=建，故椭圆c的方程为£+2二=1.

2v22V2299

7.A由AP,AB,AO两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设45=2,点6（2,0,0）,£>（0,2,0），

C（2,2,0），尸（0,0,2），F（l,l,l）,E（l,2,0），可得P£=（l,2,-2）,设异面直线8/与PE

所成的角为e，有cos9=—y=^—=Y3,sin6=.11--=

国39V279

％,由直线与圆C相交，有<2JI，解得一1<h<7>

2*4

,（"+1）+（））-8，消去、后整理为2/+（2/?—2卜+>2_4。_3=0，有为+々

联立方程=1—b,

y=x+b,

b2-4b-3

〃2_4/J—3h2-1h—3

X%=（石+6）（工2+8）=%%2+6（1+/2）+82=-------------+6（1一/?）+〃=----------,由0P10Q,有

-4/7-3b2-2b-3

%/+乂％=——-一-+―—=b2-3b-3=Q,可得实数b的所有取值之积为-3.2

2222

/----xy.xy.

9.BD由题意有a=3,c=2,b=J三=5,故椭圆C的标准方程可能为不~+1=1或-^+女=1.

9559

10.BC若4_L4，有a+〃（a—2）=0，解得a=O或1.

11.ABC对于选项A,由图可知A选项正确；

对于选项B,由M=《OP?-。#=J。尸一1,由|0尸匕=7乞=及，可得|AP|之1,故B选项正确；

jrjr

对于选项C,由选项B可知NOPAW—,可得NAPBV-,故C选项正确；

42

对于选项D,当△AP3为等边三角形时，月=2,设点P的坐标为（a,2-a）,有加+（2-a）2=2,解

得a=0或2,可得点P的坐标为（0,2）或（2,0），故选项D错误.

12.ACD对于选项A,由点P到侧面4的距离相等，故四棱锥尸-44,。。的体积为定值，故A选项正

确；

对于选项B,这样的点P不在正方体的表面上，故B选项错误；

对于选项C,①当点P在侧面54G。，侧面CGA。上时（不包括正方形44Gq的边界），过点p作平

JT

面A68的垂线，垂足为“，连在中，由AH>AB>PH,可得NPAHv—；②当点P

4

在上底面上时，过点P作平面ABC。的垂线，垂足为若NP4W=上，必有9=40,又

4

由尸A/=A3,有AM=A3,\P=AB,此时点P的轨迹是以人为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的

轨迹长度为4*2〃><2=万；③当点P在侧面A4,〃。，A4,BB上时，点P在线段Ag,上符合题意，

4

此时点P的轨迹长为40；由上知点P的轨迹长度为乃+40,故C选项正确；

对于选项D,①当P在底面A8CD上时，点P的轨迹为以A为圆心，亍为半径的圆与底面A3C£>的交线，

记圆与CO相交于点6，与8c交于点有cos/D4《=爷=W=^,可得ND4[=30。，

3

30°c4G2岳

/甲4鸟=30。，则点尸的轨迹与底面A3CD的交线长为薪乂2〃、亍=—^―；②当点P在侧面

_____________Il久O/Q

88CC上时，BP=y/AP2-AB2=l--4=-^,可得点P的轨迹与侧面的交线为以点5为

2^312^/36万

圆心，—为半径的四分之一圆，交线长为:乂n2%、+==.由对称性可知，点p的轨迹长度为

3433

--■—X3H--—x3=―--,故D选项正确.

V51点的坐标为，

13.C(1,—2,3)|BC|=71+1+49=5/51.

m>0

3

2m—3<0，可得0<"7〈一且"ZW1.

2

m手3—2m

7人/

直线的斜率为k=一一弓―,①当.=0时，k=0;②当axO时，

。+1

=6,可得—行〈百且4片0.由①②，有—百〈人〈石，可得直线的倾斜

八乃2乃)

角的取值范围是0,y•

16.(X—1)2+>2=4(-3,0)(0,1)设圆0的标准方程为(％-1)2+〉2=，(「>0),有/=12+(6),

可得r=2.由直线/与圆C相交，有.]<2，解得。>3或a<0.由AP=~B,AC=BC，可得直线

V7T13

CP与直线/垂直，有‘。-—，有、--,解得/=——,可得2%)+%==—--,又由a>W

—1aXQ—1ci1—ci1-ci3

或avO,可得0<2%+为<1或一3<2%+%<0.

2-0

17.解：(1)①若直线/过坐标原点，可得直线/的斜率为

(-1)-0

直线/的方程为y=-2%,化为一般式为2x+y=0；

②若直线/不过坐标原点，设直线/的方程为之+2=1(a工0),

a4av)

1?1

代入点P的坐标有一上+三=1,解得a=-士；

a4a2

可得直线/的方程为一2x+~^=l,化为一般式为4x+y+2=0.

由上知，所求直线/的一般式方程为2x+y=0或4%+y+2=0.

(2)直线/显然不过坐标原点，设直线/的方程为y—2=Z(x+l),整理为)，=依+攵+2,

(攵+2

直线/与x的交点坐标为一——,0与y轴的交点坐标为(0,4+2)，

Ik

1z,…Z+21

有3(4+2)x-^—=],解得左=-4或4=一1,

故直线/的方程为)，=一％+1或y=Tx-2,

即直线/的一般式方程为x+y-1=0或4x+y+2=0.

18.(1)证明：圆G的标准方程为(x+l『+(y+iy=4,圆心为(一1,—1),半径为2,

圆g的标准方程为/+(y-2)2=5,圆心为(0,2),半径为逐，

2

圆G和圆C2的圆心之间的距离为-(T)丁+[2-(-1)]=V10,

由逐—2＜何〈石+2,可知圆。和圆。2相交；

(2)解：圆G与圆。2作差可得直线A8的方程为2%+6)，-1=0,

圆。2的圆心(0,2)到直线AB的距离为尸—“11

A/22+622V10

10

19魂军：(1)设圆C的一般方程为％2+丁2+瓜+小，+尸=0,代入点0、A、8的坐标有

F=00=2

<4-2D+F=0解得，E=4

18—30—3E+F=0尸=0

故圆C的一般方程为：x2+y2+2x+4y=0.

(2)圆C的标准方程为：(x+lY+(y+2)2=5,可得点C的坐标为(一1,—2)，直线OC的方程为y=2x

由圆的性质可知，圆心M在直线OC上，设点M的坐标为(加,2加)

圆M的标准方程为：(x—my+(y-2m)2=10,代入点。的坐标有：5m2=10,解得加=±J5

故圆”的标准方程为卜一6『+卜一2行『=10或卜+&丁+卜+2&)=10.

20.(I)证明：如图，连接OC,

/.OPA.BD,OP=\IPB2-OB2=V5-4=1,

VOP=1,OC=2,PC=#>,PC?=OP'+OC\

：.OPYOC,

VOPA.BD,OPA.OC,8DOCU平面A3C£),BD0C=0,

：.OP_L平面A3C£>;

(2)解：由(1)和等腰三角形68可知，OC,OB,O尸两两垂直，以O为坐标原点，向量OB,OC,

0P方向分别为X,y,Z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

可得0(0,0,0)，3(2,0,0)，£)(-2,0,0)-C(0,2,0)，尸(0,0,1)，

又由。C=(2,2,0),有AB=2QC=(4,4,0),可得点A的坐标为(一2,T,o),

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),

由BC=(-2,2,0),SP=(-2,0,1),有=-2x+2y=0,

m-BP=-2x+z=0,

取X=l，y=l,z=2,可得平面P3C的一个法向量为阴=(1,1,2).

设平面PAD的法向量为n=(a,0,c),

由QP=(2,0,l),AD=(O,4,O),有㈤尸=2"+，=°'取=1,b=G,c==_2,可得平面PAO的一

n•AD=4力=0,

个法向量为〃=(l,o,-2),

由加•〃=-3,嗣=而，|〃|=百，可得平面PA。与平面”C所成锐二面角的余弦值为上』产=叵.

111175x7610

21.解：(1)设3%+4y=z,化为3%+4y-z=0,

可知直线3x+4y—z=0与圆(x—厅+(y-2)2=4有交点，

|3+8-z|

有1---L<2,解得14ZW21,

可得3x+4y的最小值为1,最大值为21；

(2)设％=),化为依-y=0,

X

可知直线"一》=0与圆(％—1)2+(旷一2)2=4有交点,

有卜？W2,解得左20或々《一弓,

VFTT3

故上的取值范围为一叫一。［0,+OO);

Xk3J

(3)JPT7■的几何意义为坐标原点到圆(x—1)2+()，-2)2=4上任意一点的距离,

圆(%—1)2+(y—2)2=4的圆心到坐标原点的距离为,产+22=75,

故5%2+丁的最小值为逐一2,最大值为出+2.

J，

Q9=6一2+C

22.解：(1)设椭圆C的焦距为2c,由题意有：<28=2

c_垂)