2023-2024学年江苏省南京高一年级上册期末数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省南京高一上册期末数学试题

一、单选题

1.已知U=R,A={A|-1<X<3},8={X|XM2},则电(Au3)=()

A.(2,+oo)B.(-^»,-1)O[2,-K»)

C.[3,+oo)D.(3,+oo)

【正确答案】C

【分析】由并集和补集的概念即可得出结果.

【详解】•：U=R,A={x\-]<x<3].B={x\x<2}

.•.AuB=S,3),则6(AU8)=[3,+8),

故选：c.

2.已知Iog23=a,k>g25="则1。8次5=()

C.—a+h—\D.ci+/?—1

【正确答案】B

【分析】利用对数的换底公式和对数的运算性质进行运算求解即可.

log215_log,3+log.5a+b

【详解】1叫15=

log218l+21og231+2〃

故选：B.

3.设〃,为实数，且cvd,则是-d”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：由。＜b不能推出a-cv〃一d,如〃=2,b=3,c=0,d=1,

满足。＜b,但是a-c=A-d,故充分性不成立；

当a-c〈〃一d时，又cvd,可得a-c+cvb-d+d,即。＜人，故必要性成立;

所以是的必要不充分条件.

故选：B.

4.函数/(x)=lnA-嚏的零点所在的大致区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)

【正确答案】D

【分析】由题意可知在(0,+巧递增，且/'⑻佃/⑶)。，由零点存在性定理即可得出

答案.

【详解】易判断“X)在(0,+8)递增，/(e)=lne-1(0,/(3)=ln3-l)0.

由零点存在性定理知，函数/(x)=lar-=的零点所在的大致区间为(e,3).

故选:D.

5.已知sin卜+今)=1,贝心山(,-》)+2＜：0$20：-鼻)的值是()

A.二B.1C.°D.匕逑

9993

【正确答案】C

【分析】令f=x+3,代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果.

6

TT7TI

【详解】令1=工+二，则工=/一:，sint=-

6639

贝！|sin(^-x)+2cos2~=sin(兀-f)+2cos2(f-^)=sin/L+2sin2/=；+£=《•

故选：C.

6.将函数〃x)=2sin(4尤-5)的图象向右平移g个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再

把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)

所具有的性质是()

A.图象关于直线x对称

B.图象关于点小可成中心对称

5冗7T

c.g(x)的一个单调递增区间为一亍q

D.曲线g(x)与直线y=6的所有交点中，相邻交点距离的最小值为］

【正确答案】D

【分析】先利用题意得到g(x)=2sin[2x+^J,然后利用正弦函数的性质对每个选项进行判

断即可

【详解】函数/(x)的图象向右平移g个单位长度得到

纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到g(A-)=2sin^2x+|j,

对于A,因为sin(2x]+])=sin7t=Ow±l,

所以直线x不是g(x)的对称轴，故A错误；

对于B,sinf2x—+—=sin—=—0,

(63丿32

所以图象不关于点(亲成中心对称，故B错误；

।一、,，「5兀兀]rs兀「13兀5兀

对于C,当xw--，贝lJ2x+7w——，

_44J366_

13冗SITSJT1T

因为正弦函数y=sinx在-京，彳不单调，故-彳，7不是g(x)的一个单调递增区间,

故C错误；

对于D,当g(x)=6时，sin(2x+工]=且，贝lj2x+工=2E+?或2E+生,％eZ,

I3丿2333

则x=E或k"+^,k€Z,则相邻交点距离最小值为2,故D正确

故选：D.

7.函数/。)=手箸的图象大致为()

A.B.

【分析】利用函数的奇偶性及/(x)在(o,，)上的函数值正负逐个选项判断即可.

【详解】因为/(x)=号管，定义域为R,

所以“一力=墻穿=-手筈=-/«,

所以“X)为奇函数，又因为xe(o,9时〃x)>()，所以由图象知D选项正确，

故选D.

8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为:设xeR,

用卜]表示不超过x的最大整数，则产図称为高斯函数.例如.[-3.6]=-4,[3.6]=3已知函数

〃x)=；-三，则函数y=[/(x)]+[〃r)]的值域是()

A.{-1,0}B.{0}C.{0,1}D.{-1,0,1)

【正确答案】A

【分析】依题意可得f(x)=-g+备，再根据指数函数的性质讨论x>0,x=0和x<0时,

函数的单调性与值域，即可得岀答案.

11l+e*-l

【详解】因为小)=万-内亭会，定义域为R,

2l+eA

因为y=l+e'在定义域上单调递增，则'=丁]在定义域上单调递减，

所以/")=-1+二]在定义域R上单调递减，

21+e

x<0时，eVe(0-1)，J77€[^1p'(x)e^0,1j,[/(x)]=0,[/(0)]=0

x>0时，e'e(l,+a>),j-^-7e^0,^,/(x)G^-1,0^,[/(Jc)]=-l；

则x>0时，[/(x)]+[/(-x)]=-l+0=-l,

x<0时，[/(x)]+[/(-x)]=0+(-l)=-l,

x=0时，[/(%)]+[/(-x)]=0+0=0.

故选：A.

关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研究

y=[〃x)]+[/(r)]的值域，突破难点.

二、多选题

9.下列说法正确的是()

A.若。>占,”为正整数,则慶>b"

B.若b>a>0,俏>0,则^^>纟

b+inb

_L»—

C.^-^->22

2

D.若()<。<乃，则0<sina<l

【正确答案】BC

【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案.

【详解】对于A,若。=11=-1,〃=2,则故A错误；

a+ma

对于B,b>a>0,根>。时，---->—=ab+bm>ab+amu>b>a,故B正确；

b+mb

对于C,由2">0,2〃>0,则2"+2"z2\/F1F=2x2若，当且仅当。=匕时取等号，故C正

确；

7T兀

对于D,当夕=凸时，sin^=l,故D错误；

故选：BC.

10.设m为实数，已知关于x的方程，加+(加-3b+1=(),则下列说法正确的是()

A.当加=3时，方程的两个实数根之和为0

B.方程无实数根的一个必要条件是加>1

C.方程有两个不相等的正根的充要条件是0<机<1

D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是“<0

【正确答案】BCD

【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数，〃满足的不等式，解出〃?的范围，判

断正误.

【详解】对于A选项，%=3时3/+1=0无实根，A错误；

对于B选项，当机=0时方程有实根，当相声0时，方程无实根则（，“-3）2-4〃?＜0,解得

\＜m＜9,一个必要条件是勿＞1,B正确；

对于C选项，方程有两个不等正根，则加工0,A＞0,三‘＞（）,丄＞（）,解得0VzM＜1；

mtn

对于D选项，方程有一个正根和一个负根，则相中0,-＜0,解得加＜0,D正确；

m

故选：BCD.

11.设。＞0,。＞0,己知忙,N=,则下列说法正确的是（）

aha+b

A.M有最小值B.M没有最大值

C.N有最大值为也D.N有最小值为也

22

【正确答案】ABD

【分析】由均值不等式分别求出M,N的最值，即可得出答案.

【详解】厶＞0时，=—€（0,+8）,朋=—\--=t+-&[2,+oo）,AB正确，

。＞0力＞0时空丄4归运，则近运2也，C错误，D正确；

2V2a+b2

故选：ABD.

12.设。为正实数，“为实数，已知函数/（x）=4sin（ox+c）+a,则下列结论正确的是（）

A.若函数“力的最大值为2,则a=-2

B.若对于任意的xeR,都有兀）=〃x）成立，则①=2

C.当嶼时，若“X）在区间-差上单调递增，则”的取值范围是（0,。

D.当”=-2立时，若对于任意的peR,函数在区间上至少有两个零点，则。的

取值范围是[4,内）

【正确答案】ACD

【分析】对A：根据正弦函数的有界性分析判断；对B：利用函数的周期的定义分析判断；

对C：以5+9为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对D：以①x+8为整体，结合

正弦函数的性质分析判断.

【详解】A选项，由题意4+a=2,则。=一2,A正确;

B选项,若/(%+兀)=〃力，则”力的周期为兀,

设了(X)的最小正周期为T，则左T=k空=n(k?N)

CD

解得G=2Z(A?N)B错误；

C选项，当。=方时，

717C-1兀「兀717

・XG——,贝lJdXX+—£——69+-,-

L62J3L63；

69>0

jrJT兀兀兀

若〃x)在区间-不，5上单调递增，则——G+—2——

632

兀兀,兀

解得。,C正确；

D选项，由题意可得sin(3x+e)=孝，对V^wR,在上至少两个零点，

71兀

VXE0,—,则勿X+QG(p、_(O+(p,

_2」_2_

若对VseR，在0-y上至少两个零点，则(50+。)一。22兀，解得。24,D正确；

故选：ACD.

方法点睛：求解函数y=Asin(Sx+p)的性质问题的三种意识

(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为沢x)=Asin(sx+9)的形式.

(2)整体意识：类比y=sinx的性质，只需将y=4sin((wx+9)中的“tox+夕”看成y=sinx中的"x”,

采用整体代入求解.

①令<yx+9=M+T(%ez),可求得对称轴方程.

②令cox(p=kn(k£Z),可求得对称中心的横坐标.

③将蛆+3看作整体，可求得y=Asin(①x+p)的单调区间，注意口的符号.

(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0,A<0.

三、填空题

13.命题的否定是.

【正确答案】VX>1,X2-2>0

【分析】根据特称命题的否定，可得答案.

【详解】由题意，则其否定为VX21,X2-2W0.

故答案为.VxWl,/-2±0

.,-Ijl+2sin^cos0-rtll-

14.已知.2c----277=2,则tan6=

snr”—cos~9

【正确答案】3

【分析】将已知式中分子l=sir?e+cos2，，再分子分母同时除以cos*,解方程即可得出答

案.

sin?，+2sin6cos6+cos?。tan20+2tan6>+l

【详解】由题意

sin20-cos20tan20-l

tan^+1.

即----------=2,则tan6=3.

tan^-1

故3.

2x+l,x<03

15.设函数/*)=则满足/。)+/(>］)>3的x的取值范围是,

3\x>0

【正确答案】(l,w)

【分析】结合函数解析式，对X分三种情况讨论，分别计算可得.

【详解】当xWO时，〃1)+1-£|=2x+l+21一切+HM-1,则

仆)+(-|)>3在工W0时无解；

当0<x4；时，〃力+/［一|)=3，+2［一|)+—,在R单调递增，x=l时

3'+2xl-2=3>则〃x)+/(x-|)>3的解集为［1,|；

当x>|时，/(X)+/(X-|)=3，+3*《>33+3°>3,贝lj/(x)+/［x-|)>3在x>|时恒成

立；

综上，/(x)+/(x-|)>3的解集为(1,—).

故(1收).

16.已知函数/(x)是定义在R上不恒为零的偶函数，且对于任意实数x都有

7

(x-l)/(x)=#(x-l)成立，则/(/(，)=.

【正确答案】0

【分析】根据解析式求出=进而得到若/(x—l)=。，则〃x)=0,从而求出

/(/(1))=0.

xw0,l时，若〃x_l）=0,则〃x）=0,

贝疗（勺））=/（0）=0.

故0.

四、解答题

17.设机eR,已知集合4=1]^<1},8=卜'|21+(相-2)尤一根<0}.

(1)当m=1时，求AuB；

⑵若“xe5”是“xeA”的必要条件，求m的取值范围.

【正确答案】⑴(一|’1)

⑵艮冋

【分析】(1)求出集合A8,由并集的定义即可得出答案.

m3

(2)由“xeB”是“xeA”的必要条件可得AuB,则解不等式即可得出答案.

22

【详解】(1)由^^<1可得^^<0,即(x—l)(2x+3)<0,则A=

x-\x-\I2丿

3

B={x|（2x+6）（工-1）<0},/%=1时，B

(2)由“xeB”是“xeA”的必要条件可得AqB,

则-三4一|,则〃栏3,实数”的取值范围是［3,田).

18.设tana=2,计算下列各式的值：

八、2sina+cosa

(1)--------------;

3sintz-cosa

2

(2)—0------------------.

sirra—sinacosa

【正确答案】(1)1

(2)5

【分析】(1)所求表达式分子分母同时除以cosa,代入求解即可;

(2)将分子2看成2卜也2。+«»2。)，所求表达式分子分母同时除以cos?a，代入求解即可;

2tancr+l2x2+1

【详解】(1)原式==1;

3tana-l-3x2-1

22

2(sinez4-cos(2)2tan2a+22x22+2.

(2)原式=----------------=------------=5•

~s~in~2a-sinacosatan%-tana22-2

19.设函数f(x)和g(x)的定义域为(一为),若〃x)是偶函数，g(x)是奇函数，且

y(x)-^(x)=21g(l-x).

⑴求函数“力和g(x)的解析式;

⑵判断/(x)在(0,1)上的单调性，并给岀证明.

【正确答案】(l)/(x)=lg(l—x)+lg(l+x),g(x)=lg(l+x)-lg(l-x)

(2)单调递减，证明见解析

【分析】(1)根据函数奇偶性构造关于/(X)和g(x)得方程组，进而求出它们的解析式;

(2)根据函数单调性定义进行证明.

【详解】(1)由/(x)-g(x)=21g(l-x),可得/(—x)—g(—x)=21g(l+x),

由〃x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得〃x)+g(x)=21g(l+x),

则f(x)=lg(l-x)+lg(l+x),g(x)=lg(l+x)-lg(l-x)；

(2)由(1)得”力=1風1-£)

〃x）在（0,1）单调递减，证明如下:

取任意占，X??（0,1）,%%2,

（w）=ig（i-M）-ig（i-君）=吆15^

]—f

由0<%<乂<1,可得1-X；>[_考>0,则_LJ_>1,

l-x2

则f(A,)—f(X2)=lgm>。，

则〃5）＞〃％）,则/（X）在（0,1）单调递减.

20.如图所示，有一条乜”形河道，其中上方河道宽夜m，右侧河道宽通m,河道均足够长.

现过点。修建一条长为/m的栈道A8,开辟岀直角三角形区域（图中二。48）养殖观赏鱼，

且NOA3=。.点”在线段A8上，且OH丄AB.线段OH将养殖区域分为两部分，其中OH上

方养殖金鱼，CW下方养殖锦鲤.

（1）当养殖观赏鱼的面积最小时，求/的长度;

（2）若游客可以在河岸。4与栈道A”上投喂金鱼，在栈道“3上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤

的道路长度与投喂金鱼的道路长度之比不小于血-1，求0的取值范围.

【正确答案】（1）4及：

【分析】（1）过。作垂直于OAOB,求得AM=互,BN=娓tan。,从而得出养

tan。

殖观赏鱼的面积533=3。!

OB=2y/3+-+-3--tan。，利用基本不等式可求得S最小时

tan<9

e的值，进而求得/的长度;

CHOH

(2)由==&可得NBOH=9,贝1］。4=J,AH=,BH=OHtan0,由

2sin。tan。

tan..R]

BH1JI

题意2夜-1,则1丄1一“，化切为弦可得2>/2,结合0G

OA+AH-------十--------cos，

sin。tan。

即可求得结果.

【详解】(1)过。作。垂直于04,08,垂足分别为M,N,

则DM=0N=g,DN=OM=庭,

AM==^~,BN=£Wtan。=向an。,

tan。tan。

[1(+走)(立+#tan<9)=2百

养殖观赏鱼的面积S°"=eOA0B=5應H-+----3--t--a--n。,

tan。tan。

3tan0>2V3,当且仅当tan。=且即"三时取等号,

由0,]可得tan，>0,则----+

tan。36

DMDN

则So”最小时‘此时/的长度为sin。cos。

o4+S

2T

TT

(2)由NAOB=NO〃A=一，可得NBOH=6,

2

CHOH

则四而,AH=,BH=OHtan9,

tan。

。

BHtan5

由题意>72-1,则II

OA-^AH------H-------

sin。tan。

sin。

tan®=G=sii?。=1*2°=_l__1

1।11+cos。cos6(l+cos6)cos6(l+cos。)cos。，

sin。tan。sin。

贝之夜，由eW可得cose>0,则cosdw巫，贝！

cos。I2丿2l_42丿

21.设。为实数，已知函数f(x)=2'-/,g(x)=lw(hu—2)+a.

⑴若函数〃x)和g(x)的定义域为[1,+a)),记〃x)的最小值为M，g(x)的最小值为也.

当知24例1时，求〃的取值范围；

(2)设x为正实数，当g(x)>0恒成立时，关于x的方程/(g(x))+“=0是否存在实数解？若

存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由.

【正确答案】(1),8,1

(2)不存在，理由见解析

【分析】(1)利用指数函数的单调性及二次函数的性质，分别求出“X)和g(x)的最小值

例”知2,然后解不等式即可；

(2)利用二次函数的性质，求得g(x)的最小值为由题意可得a>l,当g(x)>0

吐泊力>1，击<1，可得/(g(x))+〃>0,即可得出结论.

【详解】⑴当N时，函数产2'和>=-卷均单调递增，所以函数丿(力=2'-5单调递

0a

增，故当X=1时，/(力取最小值会则必=不

当时，lnx>0,g(x)=(lnx-l)~+。-1,

则当lnx-l=0,即x=e时,g(x)取最小值a-l,Bp