高中数学考前100条总结概括

考前必备100条

数学江湖乐逍遥

1.集合瞻前顾后

(I)区分集合中元素的形式(瞻前)

{x\y=\gx}—函数的定义域;

{y\y=lg^}—函数的值域;

{(N，y)0=lgN}—函数图象上的点集

\____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________/

如

(1)4={x\y=lgx},B={y\y=lgg},C={{xyy)\y=lgx},AHB=AQC=

(2)设集合M={x\y=x+3},集合N={y\y=x2+l,x6M},则MPlN=

(答：[l,+8))；

(3)设集合U=RyA={x\y=Iog3(c-1)},JB={y\y=2①},(C必)AB=

X

设集合U=RtA={x\y=log3(a;-1)},B={x\y=2},(CuA)PIB=

设集合U=R、A={y\y=log：/。-1)},B={y\y=2"},(。必)C\B=

设集合/={3，g)|g=a'2,0>O},8={3，g)|g=2)},AAB=

《II)注意后面对于元素的各种限制(顾后):

2

U=RyA={x\x>0)},B={x\x—4<0,rr6Z},(Gp4)AB=

U=R,A={xEZ|0<x<3},B={①W《9},AAB=

[III)集合元素求参数范围:

ClyM={a\y=\g(ax2-x+a)的定义域为/?},求M；

(2)N={a|y=lg(ad-c+a)的值域为7?}。(M=(J,+8)；N=[(),J])

2.小心空集与分式：

（1）条件为AGB,在讨论的时候不要遗忘了A=<p的情况。

如：A={x\ax2-2x-1=0},如果AClR+=9,求a的取值范围。（答：a<0）

（2）分式出现准没好，一定要提高警惕。切记！

A={（a;,y）=11，B={（x,y）\y=x+3},AnCb'B=

X~T~/J

3.补集思想

处集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：（1）已知函数/3）=4/-28一2位一2332-2+1在区间［一1,1］上至少存在一个实数以使/化）>0,求

实数p的取值范围。（答：（一3,★））

每天一刻钟，数学点点通■1•

(2)已知集合A={x|—1<x<O},B={x\ax+fe-2T—K0,0<a<2,0<b<3},

则AnB#p的概率为(答：■)

4.子集个数公式

AUBo若多64则cCB；称/为B的子集,注意真子集的意义

含几个元素的集食的工集念数为2"，

真子集个数为2n—1,

非空真子集个数为2"—2；

如：

⑴满足{1,2}{1,2,3,4,5}集合M有个。(答：7)

(2)满足{1,2}：M={1,2,345}集合“有个

⑶满足{1,2}UMU{1,2,3,4,5}集合M■有个

(4)从集合A={aba2,a3,—,a„}到集合B={瓦也也，…，鼠}的映射有m"个。

(5)集合4={(2,？)|子+卷=1},B={(x,y)\y-'ix},AClB的非空子集个数为个

备忘录：

AC\B—{x\xEAxEB}•,B—{x|rc€A或:rC3}

Cl;A={x\xeU但c€A}；CV(AC3)=CVAUCVB-.C^AUB)=CVAClCbB-,

An3=AoAU3=3=GHoACC“B=0oCl;AU8=U

5.命题

①原命题：p=q；②逆命题：qnp；③否命题：10=rq；④逆否命题：rq=>rp；

互为逆查的阳渝题是笠仇政"

注意命题p=q的否定与它的否命题的区别：

①命题p=q的否定是p=rq；②否命题是~ipnrq；

③命题“p或q”的否定是“1P且1Q”;④“p且q”的否定是“1P或1Q”一

如“若a和b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数，则a+b是奇数”:否定是“若a和b

都是偶数，则a+b是奇数”。

6.充要条件：

①充性送p=q冽0是q充分彖q=p例p是g

③充要条件涝p=q饵Q=>p冽p是q充要条件-④若P=>g且g片>P；则P是q的充分非必要条件

(或°是P的必要非充分条件)

如:“sina丰sin0”是“a丰0”的条件。(答:充分非必要条件)

7.解不等式：

(!),二元三次丕笠式aa?+bx+c>0(或V0)：

•2•

若a>(),则对于解集不是全集或空集时,

对应的解集为“大两边，小中间”。

①普>o=gg㈤>0；②怒<E3)-g3)V。；

/(x)-g(x)^0f(x)了㈤・9(工)40

③^M>0o。㈤*。:④初<°=

9(立)g(c)丰o

(3)绝对值不等式:

①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方;

④公式法：1/3)1>g(z)Q1/3)1<g(c)=___。

⑤含有绝对值的不等式：

当a>0时，有|z|<aQx2<a2^—a<x<a；

㈤>ao/〉/=劣>a或：rV—a。

如：当工1<g,(z—为)(①一铀)V0<=>Zi<cV叫；(7一刈)(c—电)>0=z>G或7V4卜

(4)高次不等式:

通分因式分解后用根轴法(穿线法)注意奇穿偶不穿。

(5)指对不等式:

/(^)>0

①当a>1时>a"&)o/(c)>g｛x)；loga/(x)>loga5(x)<=>g(c)>o；

/㈤>g3)

f/(x)>0

②当0VaV1时,a/®>a!,(x]今f(z)<g(x)；log„/(x)>log“g(a;)<=><g(x)>0

[flx)<g(x)

如

(1)解不等式Q+3)Q—+2)2>0o(答：｛剑c>1或tW—3或t=-2｝)；

⑵解不等式£>/(aeH)

(答:a=0时，㈤/V0｝；a>0时，｛2也>十或a;V0｝；aV0时，｛:r!1Vo;Vo｝或a;VO｝)

a

8.复数的概念⑴相笠复数：a+bi-c+di<^a-c,b-d\a,b,c,dER)；

⑵MMz=a+妨的摸:\z\=\a+bi\^Va-+b'2.

(3)共枷复数；

当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时，这两个复数互为共辄复数.如a+杭与a-bi(a,b€H)互

为共辄复数；

(4)对虚数单位i,有i“"+i=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4n=1；

1o(s-1)(〃+。+1)=0qs=1或s=-■!■士字i.

(6)复平面上的两点间的距离公式t

d=\zx-z2|="(，一的尸+(例一%)2(zi=x}+%i,Z2=x-2+仇i)；

9.复数的运算：

(1)复数的乘法的运复建:对于任何Zi，Z2，Z3d。，有

每天一刻钟，数学点点通-3-

①交换律：Z1・&=g・为；

②结合律：⑵・&)•z3=z}・(z2•马)；

③分配律：21・(出+勿)=21・刍+21・23o

(2)复数的四则运算法虬

①(a+bi)+(c+di)=(Q+c)+(b+d)i；

②(Q+bi)—(c+di)=(Q—c)+(b—d)i；

③(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i；

④(a+bi)4-(c+di)=+"+年~萼i(c+d£W0)

c+ac+d

10.指数式、对数式：

(1)a^=y/a^fa一"=(以上a>0,772,九GN*,且九>1)。

a亓

a0=1,logal=0,logaa=1,lg2+lg5=1,loge^=In。，

6

(2)a=7V»\ogaN=b(a>0,QWLN>0)；

(3)lo葭MN)=logJW+logaM

(4)log0普=logJW-lo&N；

n

(5)loga^=^-loga6；

(6)对数恒等式:4°&w=N；

(7)对数的换底公式：log“N=署?。

(8)化简与比较大小

如仁广的值为(答:言)

比较大小x=ln2,y=log=3,z=log>5

n.二次函数：

①开口方向,讨论对称轴与区间的相对位置关系；如：

若函数y=一2H+4的定义域、值域都是闭区间［2,2b］,则仁(答：2)

②实根分布:画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号；

12.线性分式的前世今生

⑴对称中心:反比例函数：方家丑。)平移ny=a+Uy(中心为(b,a))

⑵单调性

(3)值域

13.对勾函数

14.单调性：

(I)定义法：设0、/2£NiWg,那么

(为一—/(g)］>0。勺)-俨>00/(,)在［a4［上是增函数;

31—t2)［/(0)-/32)］<00/(以_」<0。/㈤在［a,b］上是减函数。

Xj—色3

•4・

(II)导数法:设函数y=/Q)在某个区间内可导，

如果，Q)>0,则/(X)为增函数;如果/'(Z)W0,则/(c)为减函数。

如：已知函数/(⑼=/-a/在区间[1,+8)上是增函数，则a的取值范围是(答：(-8,3])；

注意：

(1)y3)>0能推出/(⑼为增函数,但反之不一定.

如函数/(立)=43在(-8,+8)上单调递增，但/(多)>0,

.•J'3)>o是/Q)为增函数的充分不必要条件。

(2)函数单调性与奇偶性的逆用了吗？

(①比较大小;②解不等式;③求参数范围).

如已知奇函数/Q)是定义在(-2,2)上的减函数，若/(m—1)+/(2m—1)>0,求实数m的取值范围。(答:

-y1<1m<1y2)、

(3)复合函数由同增异减判定：

(4)图像判定；

(5)作用：比大小，解证不等式。

如函数J=log式-i+2c)的单调递增区间是(答：(L2))。

2

(6)单调区间之间不能用符号“U,或”

15.奇偶性：

(1)定义：f(G是偶函数0/(-⑼=f(x)=/(㈤)；/(⑼是奇函数«/(-X)=一/3)；定义域含零的奇函数过

原点(/(0)=0)；定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。

(2)奇偶函数的图象特征：

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于V轴对称；

反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称，那

么这个函数是偶函数.

⑶多项式函数尸(rr)=a,o"+册_任"7.|■…+a()的奇偶性：

P(x)是奇函数oP(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零；P(x)是偶函数QPQ)的奇次项(即偶数

项)的系数全为零。

(4)常见奇偶函数认领

ax+11a:+1,b

7r'9=1。&门'9=。"+三

n

y=x9y=sina;y=COST

f(x)=ax+L,/(1)=ax—d~x

X2+XQVO)

/㈤=N—Lf(c)=

八,|c+3|-3八,—x2+x(T>0)

f(x)=lg(x+Vx2+l),f(x)=ln(Vta2+1±3x)

/(a?)=|x+2|+|x-2|；

(5)任意定义在A上函数fQ)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

即/(必)=9(0；)+713)

f(x)+f(-x)

其中g3)=是偶函数，”2)=是奇函数

22

(6)抽象函数速判奇偶性一一三板斧。

每天一刻钟，数学点点通•5•

若te五，/(⑼满足/(c+g)=/3)+/(9),则/3)的奇偶性是(奇)；

若2e兄/(⑼满足/(3/)=f(£)+f(y)，则/(⑼的奇偶性是(偶)；

练习：

〃？>0

\“八,/(3a—1)>8f(a),则a的取值范围

{-x,x<0

16.周期性：

由周期函数的定义“函数f(c)满足/3)=/(a+M(a>0)Mi］/Q)是周期为a的周期函数”得:

⑴函数/㈤满足一/㈤=/(a+z),则/㈤是周期为2a的周期函数；

(2)若/(c+a)=J,；)(a7^0,f(x)*0)恒成立，则T—2a；

(3)7rf(x+a)=—/1)(a片0,/(⑼r0)恒成立，则T=2a。

(4)9+"㈤-产㈤=心+。)(加)e[0,1])恒成立，则T=2a。

(5)f(rc)=1--771r(/(a:)W0)恒成立，则T=3a。

f[x+a)

(6)f(x+a)=f(x)—f(x+a),则T=6a。

/(电)+/(g)

(7)f(xt+x2)-且/(a)=l(y(xt)*/(x2)1>0<|x]—x2|<2a)，则T=4a。

如:①设/(x)是(-8,+8)上的奇函数,f(x+2)=—/Q),

当0&c41时，/(re)=°,则/(47.5)等于(答：—0.5)；

②定义在R上的偶函数/Q)满足/(c+2)=/Q),且在［-3,—2］上是减函数，若a,6是锐角三角形的两

个内角，则/(sina)J(cos0)的大小关系为(答：/(sina)>/(cos^))；

类比“三角函数图像”得：

(1)若y=f(力图像有两条对称轴*=a,*=b(aWb),

则n=f(G必是周期函数，且一周期为T=21a-b\；

(2)若夕=f®图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(aWb),

则y=/Q)是周期函数，且一周期为T=2|a-b\；

(3)如果函数9=/(c)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴;r=b(a#b),则函数y=/(t)必是

周期函数，且一周期为T=4|a—b|；

如：已知定义在R上的函数/(/)是以2为周期的奇函数,则方程/(力)=0在［—2,2］上至少有

个实数根(答：5)。

17.常见的图象变换：

ULSMy=f(x+a)y=f(x)工Mte(a>o)(a<0)3EMa

如：

①耍得到y=lg(3-0的图像，只需作y=Igx关于一轴对称的图像，再向—平移3个单位而得到(答：

-6-

U；右)；

②函数/(无)=x•lg(o;+2)-1的图象与*轴的交点个数有___个(答：2)。

y=f(x)土a^/(⑹yMlaLt(a>0)^laEE(a<o)3E&a

Ma1

如：

将函数y=+a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，

所得图象如果与原图象关于直线y=c对称，那么

(A)a=-1,6¥0(B)a=-1,6ER(C)a=l,bW0(O)a=0,b£R(答:C)

f3j^y=f(aX)(a>0)敢图球把&数y=/Q)的ffl氮曲期蜿为原辘I5獴到M

如：

①将函数U=/(⑸的图像上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变)，再将此图像沿2轴方向向左平

移2个单位，所得图像对应的函数为(答：/(3c+6))；

②如若函数沙=/(2L1)是偶函数，则函数沙=/(2劣)的对称轴方程是(答：2=一/).

y=af(x)(a>0)n=f(力Va

18.对称：

(I)点、曲线的对称性:

⑴点Q,y)关于y轴的对称点为(一⑨5；函数y=/3)关于沙轴的对称曲线方程为y=f(-x)；

(2)点(2,9)关于工轴的对称点为(x,-y)；函数y=f(x)关于①轴的对称曲线方程为y=一/3);

(3)点(⑨沙)关于原点的对称点为(一心一切；函数沙=/(工)关于原点的对称曲线方程为y=-/(-x)；

(4)点(为夕)关于直线y—+x+a的对称点(土(y—a),±3；+a)；

曲线/(⑨妨=0关于直线y=±x+a的对称曲线的方程为了(土(y-a),+x+a)=0。

特别地,点3，9)关于直线y—x的对称点为(g,c)；

曲线/(⑨5=0关于直线9=工的对称曲线的方程/("述)=0；

点(c,夕)关于直线y——x的对称点为(一夕,一C)；

曲线/(应妨=0关于直线9=-x的对称曲线的方程为了(一夕,一①)=0。

如己知函数/(⑼=或二：；,(cW等)，若夕=心+1)的图像是G，它关于直线V=H对称图像是GG

关于原点对称的图像为G,则。3对应的函数解析式是—(答：U=一焉普)；

(5)曲线/Q,妨=0关于点(a,6)的对称曲线的方/(2a-x,2b-y)=0

如若函数g=%2+/与y=g(^x)的图象关于点(—2,3)对称，则g[x)=____(答：-"—7x—6)

⑹形如夕=岩普(c#0,ad#儿)的图像是双曲线,对称中心是点(一(■,£■)。

如已知函数图象C与C-.y(x+a+1)=ac+<?+1关于直线y=x对称，且图象。'关于点(2,-3)对

称，则a的值为(答：2)

(7)|/(宓)|的图象先保留/(⑼原来在立轴上方的图象，作出宓轴下方的图象关于/轴的对称图形，然后擦

去。轴下方的图象得到；

/(㈤)的图象先保留/Q)在y轴右方的图象，擦去U轴左方的图象，然后作出沙轴右方的图象关于y轴的

对称图形得到。

每天一刻钟，数学点点通-7-

如①作出函数U=|log2(6+1)1及9=log2|t+1|的图象；

②若函数/(')是定义在R上的奇函数，则函数尸(0=|/(x)|+/(H)的图象关于对称(答：。轴)

(1)函数图像本身的对称姓:.

(1)y=/(①)的图象关于直线①=a对称

o/(a+x)-f(a-x)of(2a-x)=f(x)；

(2)y=/(⑹的图象关于直线c=a对称。

/(a+。)=f(b-Go/(a+b-①)-f(x):

如已知二次函数f(c)=ax2+bx(a*0)满足条件/(5-x)=f(x-3)且方程f(2)=x有等根,则/(x)=—

_(答:-"yX2+X)；

(3)y=/3)的图象关于点(a,0)对称<=>/3)=-/(2a-x)O/(Q+/)+f(a-x)=0；

(4)y=f(x)的图象关于点(a,b)对称

o/Q)=2b—f(2a—x)Q/(a+x)+/(a—c)=2b；

(I!!)您函数图像的对称工

(1)函数9=/3)与函数9=/(一/)的图象关于直线2=0(即u轴)对称；

(2)函数y=/(/—a)与函数g=/(a—2)的图象关于直线2=a对称；

⑶函数J=/Q)的图象关于直线①=a对称的解析式为y=/(2a-⑼；

(4)函数沙=/(劣)的图象关于点(a,0)对称的解析式为夕=-/(2a-2)；

⑸函数y=/(c)和函数9=尸(⑼的图象关于直线U=c对称。

b-a

(6)两函数沙=/(。+⑦)与y=/(b—2)图像关于直线对称。

2

但若/(a-x)=f(b+x),则/(re)图像关于直线x=""对称;

提醒:证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;如：已知

函数/3)=e灭)。求证：函数/Q)的图像关于点M(a,-1)成中心对称图形。

19.几类常见的抽象函数：

(1)正比例函数型：

于(G=kx[k#0)------f{x±y)=f(x)±于(y),/(0)=0,/(l)=c；

(2)基函数型：

f(G=xa------f(xy)=f(x)f(y)"信)=光^，「⑴=&；

(3)指数函数型:

/3)=ax------f(x+9)=，f(x-y}=>/(!)=a(a片0)；

(4)对数函数型:

/3)=lo&Q------f(xy)=/(2)+f(y)式力一，(力，且/(«)=l(a>0,aW1)；

(5)三角函数型：

①/㈤=cosc,g(x)=sine,f(x-y)=f(初(9)+gQ)g(y)

②/㈤=tanx/Cx+妨=£(:湍。

如已知/Q)是定义在A上的奇函数，且为周期函数,若它的最小正周期为T,则/(-千)=—(答：0)

•8・

20.求解析式

（1）待定系数法一一已知所求函数的类型

如：已知/3）为二次函数，且/（Z—2）=/（-①一2）,且/（0）=1,图象在多轴上截得的线段长为2，,求/3）

的解析式。（答"（6）=■+2*+1）

（2）代换（配凑）法一一已知形如/（g（t））的表达式，求/（⑼的表达式。如：

①已知/（l-cosx）=sin2x,求/（i）的解析式（答：/（立2）=—"+2/2,3；e［―V2,V2］）：

②若尔一工）=/+9则函数加一1）=（答：*2-2立+3）；

③若函数/3）是定义在灭上的奇函数，且当/G（0,+8）时，/（x）=X（1+9）,那么当4e（-OO.0）时，/（。）

=（答：一盟））。

（3）方程的思想一一对已知等式进行赋值,从而得到关于/（2）及另外一个函数的方程组。

如:①已知/（⑼+2/（—x）=3劣-2,求/㈤的解析式（答：/（2）=—3a;--1-）；

②己知/（X）是奇函数，gQ）是偶函数，且/（⑼+g（0=—p则/3）=一（答：年丁）。

21.求定义域：

（1）使函数解析式有意义（如:分母？偶次根式被开方数？对数真数？底数？零指数幕的底数？）；

（2）实际问题有意义；

（3）若丹g（z）］定义域为［a,b］,则/（c）定义域相当于①6［a,b］时g（H）的值域;如：

①若函数y=/3）的定义域为侏2］,则f（\og2x）的定义域为（答：｛引方<x<4｝）；

②若函数/（/+1）的定义域为［—2,1）,则函数/（2）的定义域为（答：［1,5］）。

22.求值域：

（1）配方法:如:求函数y=/—22+5,26［-1,2］的值域（答：［4,8］）；

（2）逆求法:如：,=4^（答：（0,1））；

1IJ

（3）换元法：

如:①V=2sin2：r-3cosc—1的值域为（答：［一幺4］）；

②U=+1+的值域为（答：［3,+8））（注意新元方范围）；

（4）三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域;如：夕=学吗g的值域

1+cos3

（答:（―8号］）；

（5）不等式法一一利用基本不等式a+b>2Vab（a,bGR+）求函数的最值。如设立,为42，U成等差数列，

力,仇,儿,3成等比数列，则（。广的）的取值范围是（答：（-8,0］U［4,+8））。

（6）单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如求j=/一▲（1V2V9）,y=sin2a:+

X

每天一刻钟，数学点点通-9-

不言石，9=2d-log3（5—t）的值域为（答：（0,空）、［2,9］、［0,+8））；

（7）数形结合:根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如①已知点P（c,妨在圆/+婚=1

上，求一及9一2劣的取值范围（答：［一•^^•，-^^］、［―；

XI乙LJJ」

②求函数y=—2）2+JQ+8尸的值域（答:［10,+oo））;

（8）判别式法:

如①求V=屋笆的值域（答：【一/，；

②求函数沙=,煞,：的值域（答：［0,y］）

如求沙=攵2或尹的值域（答:（一8,-3］U口,+8））。

（9）导数法;如：

求函数/3）=2炉+4。2-4（比，土底［―3,3］的最小值。（答：—48）。

①片：士景力丘［-1,1］）

②?=叁尹^,土€（-8,0）；

③，二37'‘,土正（-8,o）

23.常见函数的导数：

函数y=/（H）在点而处的导数的几何意义：函数？=/（①）在点的处的导数是曲线！/=/（⑼在P（附,/（电）））处

的切线的斜率/'（&），相应的切线方程是y-坊=/'（3）（2-3）

⑴过某点的切线不一定只有一条；

如：己知函数/（⑼=/_36过点P（2,—6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程（答：+9=0或

24a;-?/-54=0）,

⑵研究单调性步骤:分析沙=/3）定义域;求导数;解不等式尸3）得增区间；解不等式产（。）wo得减区

间;注意?3）=0的点；

如:设a>0函数/（0=/—如在［1,+8）上单调函数,则实数a的取值范围（答：0Va&3）；

⑶求极值、最值步骤：求导数;求/'廿）=0的根;检验尸（⑹在根左右两侧符号，若左正右负，则/（7）在该根处

取极大值;若左负右正，则/Q）在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的

是最小值.

如:①函数y=2/-3/-12。+5在［0,3］上的最大值、最小值分别是―（答：5；-15）；

②己知函数/（劣）=x3+bx2+cc+d在区间［-1,2］上是减函数，那么b+c有最值答：大，

③方程/一6a?+9立-10=0的实根的个数为_（答:1）

特别提醒

■10•

(I)*0是极值点的充要条件是g点两侧导数异号，而不仅是r(g)=0,/(3)=0是g为极值点的必要

而不充分条件。

(II)给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑r3。)=o,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转

化,否则条件没有用完，这一点一定要切记！

如：函数/(⑼=x3+ax2+bx+o?在a;=1处有极小值10,则a+b值为(-7)

(HI)导数与函数的单调性的关系：

(1)rQ)>0与，(⑼为增函数的关系：/'(4)>0能推出/(0为增函数，但反之不一定。如函数f(z)="在(

-8,+8)上单调递增，但f\x)>0,.•J'3)>0是f(z)为增函数的充分不必要条件。

(2)广3)>0与/Q)为增函数的关系：f(x)为增函数,一定可以推出/'(c)>o,但反之不一定，因为/'(⑹>

o,即为/(c)>0或(3)=0。当函数在某个区间内恒有/'(⑼=o,则/Q)为常数，函数不具有单调性。

(。)>0是/(工)为增函数的必要不充分条件。

24.定积分：

Q)生顿-来布尼兹公式:设f他)是区间必向上的连续函数，F(x)是函数/(⑼在区间[a,b]上的任一原函

数，即方3)=/(%),则:[f[x]dx=F(6)—F(a)

Ja

注意化简的应用/sin有cos有

JoZZ

/A/4—x2dx

Jo

rV2______

/V4—2x2dx

Jo

(3)奇偶性求值的应用

①若/(力)是奇函数，则[/3)di=0(aW0)。如：匕R*----d%=0；

J-aJ~~20十COS2?

7T

②若/(⑼是偶函数，则/f(x)dx=2[/Q)dz(QW0)。如:if

1rcosxdx=2cosa;da;=2sin/2=2；

J-aJO-2JO0

备忘录

Q)韭常亦加二

①C'=0(C为常数)，②[xny=nxn~x(nGQ),③(sinx)"=cosx,

x

④(cos®)'=—sine⑤(lnc)'=L,(10goM'=工10随6，⑥9，)'=6工，(a\=(flna.

XX

(2)可导函数四则运算的求导法则；

uvUV

①(〃±。)'=±",②(tw)'=u'。+uv',{Cu)'-Cv!®=2(v/0)。

(3)复合函数的求导法则：点双⑹)=/'(")“3)。

(4)

①/。"d*=^-1；=黑-黑(neR,n^-l)；②/?de=ln|c||：=ln|b|-ln|a|;

③Lsinxdx=(一cosa;),=cosy?—cosa；④/cosxdx=sine,=sin£—sina；

每天一刻钟，数学点点通•11•

⑤/%'d计备一悬：⑥

25.点线面位置和符号:注意语言的转化

①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法

②直线与平面:a//a>aAa=X（a（Za）>aCa

③平面与平面以〃S、an£=a

a//ba_L£]

〃a〃6

常用定理:①线面平行bu。=a〃a；"0=Q〃a；a_L£}oa〃a；

aU£

aQa.a（tct）

a//a\a〃£

..,a.La〃LQ〃b

②线线平行:aU0：=Q〃b；心I=a〃b；aCl/=ana〃b；a//cnc〃b；

aA^=b]b,La

6n7=，

aUa,bUa

aA.a

③面面平行:aClb=O>=a〃0;=Q〃7；

Q_L£

a〃0,b〃8

PO±a

④线线垂直:=>a_Lb；所成角90°；aUa>naJ_PA；

bUa

a±AO^

aUa,bUaa±13

aHB\.a//b

⑤线面垂直:。「6=01=2_La；aC\=1oo=b_La；

na"a，『"aJ_a

l_Lafl-LbjaCa,a_LI,

⑥面面垂直:二面角90°；a%,a〃6

"6D；J=>a_L£；

a,La

26.求空间角：

（1）范围：ee（0,母；⑵求法:平移以及补形法、向量法。

如:①正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E是PO的中点,那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值

等于—（答：雷）；

②在正方体AC,中，M■是侧棱OA的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A}B}上的一点，则OP与AM

所成的角的大小为—（答：90°）；（11）直线和平面所成的角;

（1）范围：［0°,901；

（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。

（3）求法:作垂线找射影或求点线距离（向量法）；

如:正方体ABCD-4BQQ］中，E、R分别是AB、的中点，则棱45与截面4ECF所成的角的余

弦值是（答：［）;

（ni）二面仁面角的求法:定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法：s射=$原"。5氏即面积射影定理:s

=盖）（平面多边形及其射影的面积分别是s、s',所在平面所成锐二面角的为。）、转化为法向量夹角。

如:正方体ABCD-ABC。中,二面角B-A.C-A的大小为（答：60°）

MBaMOS&i.

ABI

sin0=|cos（AB,m）|=，其中洗为平面a的法向量。

\AB\•\m\

•12•

关.我关.完

cosff=卜os（病，亢）|,故夕=arccos或夕=兀一arccos其中抗、亢为平面a、£的法向量。

|利•|n|威卜同

27.平行六面体T直平行六面体-长方体T正四棱柱T正方体间联系

三棱锥中:侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等）=顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直（两对对棱

垂直）O顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等（侧面与底面所成相等）=顶点在底面射影为底面内心；正

棱锥各侧面与底面所成角相等为9,则S^cosO=S底;

正三角形四心？

内切外接圆半径？

28.空间距离：

①异面直线间距离:找公垂线；

②平行线与面间距离（两平行面间距离）一点到面题离:直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法4=

PA-n

③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求；

空间两点间的.距离公式;.若A（Zl，%,Zi）B32，g2,Z2）,则

dA.B-J（g—a：i）2+（二一%）2+（Z2—Z1）2.

点且妣面a的跟随：d=另为平面a的法向量，A3是面a的一条斜线，力Ca。

29、求球面两点4、B距离

①求\AB\

②算球心角N4O3弧度数

③用公式力球而距离=。球心角x7?；纬线半径r—J?cos纬度。

S球=4元%*=言兀/?'；

常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③割

补法④等体积转化⑤线线平行O线面平行Q面面平行⑥线线垂直O线面垂直O面面垂

直⑦有中点等特殊点线.用“中位线、重心”转化。

30.倾斜角aC[0,兀），a=90。斜率不存在；

MMk=tana=，其中E（刈,%）、2（如纺）；

直线的方向向量方=（a,b）,则直线的斜率为k=5（aW0）。

直线专程:点斜式：“一%=KQ-®）（直线I过点R3i，%），且斜率为k）；

斜截式：y^kx+b（b为直线I在y轴上的截距）：

一般式：Ax+By+。=0（其中A、B不同时为0）；

两点式：匕R（RQ1,%）、乌（色,他）◎丰x2,功’3）；

截距式：5■+卷=1（其中a、b分别为直线在z轴、y轴上的截距，且a片0,bW0）；求直线方程时要防止由于

零截距和无斜率造成丢解。

每天一刻钟，数学点点通•13•

31.两直线平行和垂直

①若斜率存在l1.y=kxx+bitli-y—k2H+昆则l\H120kllfc2,6i丰b2；

_L，2卜区2~—1；

②若l}：A}x+B、y+G=0,li.A,x+B>y+G=0,则I、_L1)oAyA>+B}B>=0，

③若A、A?、耳、星都不为零/"/"o等"—蛰'w裳"；

④。〃。则化为同区9系数后距离d=IG-GI

^/A2+B2

|Aa:()+B?4)+C|

32.点线距d=

VA2+S2

33.圆的方程:

①标准方程：(x-a)2+(i)2=产；

②一般方程：/+娟+De+E“+F=0(。2+E--4F>0)

(x=a+rcos0

③参数方程:

[y=b-\-rsinO

④直径式方程(x-Xi)(x-x2)+(g—劭)(沙一例)=0(A(g,gJ、B(g,g2)圆的直径的端点)。

34.圆中有关重要结论：

⑴若P(X0,为)是圆/2+才=r2上的点，则过点P(x0,为)的切线方程为XX0+7/T/o—〃；

(2)若P(*o,统)是圆(a;—a)2+(g—b)2=72上的点，则过点p(的,防)的切线方程为(%—a)(x—a)+

(为一b)("一》=〃。

⑶若P(*o,统)是圆/+才=72外一点，由p(g,如)向圆引两条切线，切点分别为4B,则直线4B的方

程为,为=72。

(4)若P(Xo，n°)是圆3-a)2+(y-b)2=/2外一点，由P(g,仇)向圆引两条切线,切点分别为43,则

直线AB