2023-2024学年上海市高二年级上册期末数学模拟试题二（含答案）

2023-2024学年上海市高二上册期末数学模拟试题

一、填空题

I.若排列数4"=6x5x4,贝IJm=

【正确答案】3

【详解】由/f=6X5X(6-∕H+1)=6X5X4,所以6-a+1=4,解得m=3.

2.一个球的体积为36π,则该球的表面积为.

【正确答案】36π

【分析】设球的半径为r,由球的体积求出厂的值，再由球的表面积公式即可求解.

4

【详解】设球的半径为r,由题意可得：-π√=36π,所以r=27

解得：r=3,

所以该球的表面积为4π∕=4τrχ32=36π,

故答案为.36兀

3.在空间直角坐标系中，点A(I,-2,3)关于yθz平面的对称点的坐标是.

【正确答案】(T,一2,3)

【分析】根据关于yθz平面的对称点横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标保持不变即可求解.

【详解】关于yθz平面的对称点横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标保持不变，

所以点A(l,-2,3)关于yθz平面的对称点的坐标是(T,-2,3),

故答案为：(-1,-2,3).

4.从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：

7.87.98.08.38.48.58.58.58.68.99.09.9,则这组数据的95百分位数是.

【正确答案】9.9

【分析】根据P百分位数的概念，即可得出答案.

【详解】因为12x0.95=11.4,根据。百分位数的概念可知，

这组数据的95百分位数是9.9.

故答案为.9.9

5.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共

有种.(用数字填写答案)

【正确答案】16

【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从6人中任选

3人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.

【详解】［方法一］:反面考虑

没有女生入选有C：=4种选法，从6名学生中任意选3人有C：=20种选法，

故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20-4=16种.

故答案为.16

［方法二］：正面考虑

若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有C；・C；=12种；

若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有C，C；=4种，则不同的选法共有

12+4=16种.

故答案为.16

【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑"至少有1位女生入选”的反面种数，再利用

没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；

方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出.

6.已知随机变量X服从正态分布N(2,/)，且P(2<X≤2.5)=0.36,则

P(X>2.5)=.

7

【正确答案】014##0.

【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出.

【详解】因为XN(2,〃)，所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,因此

P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.

故0.14.

52345

7.(1+2x)=α0+a1X÷O2X+a3x+¾x+a5x,则q+%+%=.

【正确答案】122

【详解】试题分析：令X=InaO+6+生+/+出工+%=3>令

x=-l=>a{)-ax-a2-a3-a4x-a5=-1,

二项式展开式.

8.事件A、B互斥，它们都不发生的概率为∣∙,且P(A)=2P(3),则P(A)=.

2

【正确答案】二##0.4

【分析】根据互斥事件概率的运算性质求解.

【详解】因为事件A、8都不发生的概率为∣2∙,

23

所以P(A)+P(B)=l-g=j,

13

又因为P(A)=2尸(8)代入上式可得P(A)+-P(A)=j,

2

所以P(A)=《，

故答案为：∣2.

9.如图，在棱长为1的正方体A88-ABCR中，P为底面ABC。内(包括边界)的动点,

TT

满足DtP与直线CG所成角的大小为J，则线段OP扫过的面积为.

O

【正确答案】ɪ

【分析】根据题设描述易知户的轨迹是以。为圆心，也为半径的四分之一圆，即可求DP扫

3

过的面积.

【详解】由题设，DDJICCi,要使。声与直线CG所成角的大小为g,只需。P与直线。。

6

所成角的大小为E,

0

W-

AB

.∙.RP绕以m夹角旋转为锥体的一部分，如上图示：P的轨迹是以。为圆心，立为半

63

径的四分之一圆，

.∙.OP在ABa)上扫过的面积为:x(3)2X"=A.

故答案为

10.某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后，出现红球与绿

球的概率都是从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概

率分别为鼻1，7若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概3率分2别为W记第

ɔɔɔɔ

“("≥1,〃CN)次按下按钮后出现红球的概率为心，则化,｝的通项公式为K=.

【正确答案】匕=LXf-色］+—,∕ι∈N,n≥l

38115J19

【分析】根据条件概率分别求出第n-1次出现红球、绿球情况下第"次出现红球的概率，利

用全概率公式计算数列｛匕｝的递推公式，再根据递推公式求通项公式.

【详解】设G="第n-1次出现红球"，Q="第n-1次出现绿球"，Z)="第"次出现红球”，

1O

则P(G)=%，P(G)=l-2τ,P(DlG)=TP(Z)C)=《，

由全概率公式得C=P(Q)=P(CM(αcJ+P(C2)P(n∣C2)

1343

=ElX3+(1-El)XB=-百匕τ+g("eN,"≥l).

43

即弋=一百匕τ+g,"wN∕≥l,

所以小历9=F4W(L历9、｝"历9=51一9面=透1

所以数列是首项为白，公比为的等比数列,

[I力381J

o19

所以K-Z=Lx4--/?∈N,π≥1,

"193819

π∈N√ι≥l

11.定义“规范Ol数列”｛4｝如下：｛4｝共有2%项,其中m项为0,加项为I,且对任意k^2m,

4,%,S中0的个数不少于1的个数.若加=4,则不同的“规范01数列”共有一个.

【正确答案】14

【详解】由题意，得必有4=0,«='则具体的排法列表如下:

_0__1__1__1_

011_

0

10]

1

1_0

001]

00]

1

10

01

"δ~]

10

]0

0]1

001_

1

1010

01_

10

0

由图可知，不同的“规范01数列'’共有14个.

故答案为14.

二、双空题

12.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的

服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意不满意

男顾客4010

女顾客3020

则有%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价(有或无)差异

n^ad-bc∖

(a+⅛)(c+t∕)(<7+c)(⅛+<∕)

P(κ2≥k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【正确答案】95有

【分析】完善列联表，利用公式求得观测值并与临界值比较分析.

【详解】由题意可得:

满意不满意总计

男顾客401050

女顾客302050

总计7030100

100(40x20-30x10)；=IQQa4762,

50×50×70×3021

∙.∙4.762>3,841,,

，能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

故95；有.

三、单选题

13.设α,仅为两个平面，则e//夕的充要条件是

A.α内有无数条直线与万平行

B.α内有两条相交直线与£平行

C.a,夕平行于同一条直线

D.a,夕垂直于同一平面

【正确答案】B

【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养,

利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.

【详解】由面面平行的判定定理知：ɑ内两条相交直线都与夕平行是ɑ//月的充分条件，由

面面平行性质定理知，若a"β,则α内任意一条直线都与夕平行，所以ɑ内两条相交直线

都与尸平行是ɑ//尸的必要条件，故选B.

面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断,

如：“若aua,bu仇a"b,则α〃尸”此类的错误.

14.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10

位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在

讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

100%

95%

90%

拗85%

国80%*讲座前

田75%•讲座后

70%

65%**

60%**

0

12345678910

居民编号

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【正确答案】B

【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

【详解】讲座前中位数为四%1型＞70%,所以A错；

讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问

卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确

率的标准差,所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以D错.

故选:B.

15.设0<"l,随机变量专的分布列如图，则当"在((U)内增大时,

4012

I-Pj_P_

P

^v22

A.Dq)减小B.Dq)增大

C.。(/先减小后增大D.先增大后减小

【正确答案】D

【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.

【详解】QEe)=OXY+lxg+2x5=p+g,

D(ξ)=ɪ(0-p-ɪ)2+ɪɑ-p-ɪ)2+y(2-p-ɪ)2=-p2+〃+；,

Qge(0,1),.∙.OG)先增后减，因此选D.

2

Ec)=∑xipi,D(ξ)=X(xi-EC)-P,=∑xipi-E∖ξ).

/=1/=1I=I

16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体

或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由

两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数

为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1,

则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为()

.

图1图2

A.26,√2-lB.24,2-√2C.26,2-√2D.24,√2-l

【正确答案】A

【分析】将该多面体分为三层，分别数出每一层的面数，求和即可得正多面体的面数；设正

多面体的棱长为“，作出该几何体的截面，为正八边形，利用多面体棱长与正方体的棱长的

关系列方程即可求解

【详解】可以将该多面体分为三层，上层8个面，中层8个面，下层8个面，上下底各1个面,

所以共有8+8+8+1+1=26个面,

设正多面体的棱长为“，作出该几何体的截面如图，截面图为正八边形,

由图可得CD==，CE=a,

2

因为CDE为等腰直角三角形，所以CE=亚CO,即a=&x9,

解得：4=sττ=应一1'所以该多面体的棱长为&7,

故选：A.

四、解答题

17.如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO

上一点，NAPC=90。.

D

(1)证明：平面以8J_平面∕¾C;

(2)设。O=正，圆锥的侧面积为石兀，求三棱锥尸-ABC的体积.

【正确答案】(1)证明见解析；(2)叵

8

【分析】(1)根据已知可得RA=PB=PC,进而有4R4C会.PBC,可得

NAPC=NBPC=90,即P8_LPC,从而证得尸CI平面∕¾8,即可证得结论；

(2)将已知条件转化为母线/和底面半径厂的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出

正三角形ABC边长，在等腰直角三角形APC中求出AP,在用一APo中，求出P0,即可求

出结论.

【详解】(1)连接OAo8,0C,。为圆锥顶点，。为底面圆心，.∙.0D1.平面ABC,

尸在。。上，OA=OB=OC,..PA=PB=PC,

j

ABC是圆内接正三角形，∙∙.AC=8C,Δ∕AC^iPBC,

.∙.ZAPC=N8PC=90°,BpPBLPC,PAVPC,

PA尸8=尸,.二户CJL平面PA&PCu平面PAC,.・平面平面PAC；

(2)设圆锥的母线为/,底面半径为尸，圆锥的侧面积为;r/7=6肛力=G,

OD2=l2-r2=2,解得r=l,∕=G,ΛC=2rsin60=√3,

在等腰直角三角形APe中，AP=遮AC=显,

22

在H.PAO中，PO=y∣AP2-OA2=J--I=—,

V42

,

∙∙三棱锥P-ABC的体积为Vpabc=—PO∙S^AHC=ɪ×X3■×3=.

«~ΛOI.3ZΔΛ∕JV3248

D

本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相

互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.

18.若（«+壶］展开式中前三项的系数成等差数列，求:

（1）展开式中X项的系数；

（2）展开式中系数最大的项.

【正确答案】（I）=35

O

ʌ7„5

（2）7户或7/

【分析】（1）写出前三项的系数即可得到方程，求出〃，再写出展开式的通项，即可求出X

项的系数；

（2）设设展开式中刀”项的系数最大，即可得到不等式组，求出厂，即可得解；

C=I,cgq,C>1Yn(n—1)

【详解】（）解：前三项的系数为:

12)~~~8-

n(n-i),

故有1Q'+1=〃,

O

即〃2-9〃+8=0解得〃=8或九=1(舍去)；

则二项式（五+十）展开式的通式为a=q∙x丁•£•一=~c∖∙x^1.

令4-%=1,解得r=4,所以=故展开式中X项的系数为二

42oo

c

s≥ɔr+1ð

（2）解：不妨设展开式中4“项的系数最大，则

-⅛r

2r~l

ι>l.^r

-2r+1

即,解得2≤r≤3,即尸=2或r=3,

l(8τ+l)

-----------------------CI

2r

14_3514_9

故展开式中系数最大的项为（=±C∙X3=Ixi,T>j∙C>χ7

⑼

如图是我国2016年至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

W4

W

京

K

W

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与r的关系，请用相关系数加以说明；

（2）建立y关于，的回归方程（系数精确到0.01）,预测2024年我国生活垃圾无害化处理量.

附注：

77

参考数据：∑K=9∙32,=40.17,=0.55，y/l≈2.646.

/=1/=I

参考公式：相关系数，=

22

J∑(^)∑(yi-y)

Vi=lZ=I

/中斜率和截距最小二乘估计公式分别为「*≠

回归方程夕=4+a=y-bt.

Σ”）-

【正确答案】（1）答案见解析:

（2）y=0.1Or+0.92,预测2024年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

【分析】（1）根据相关系数的计算公式，直接计算求解即可得到相关系数，根据数据即可说

明线性相关性；

（2）根据最小二乘法计算出回归方程的系数，进而代入预测值，即可求解.

【详解】（1）由折线图中的数据和附注中的参考数据可得：i=4,∑（r.-^=28>

77

ZM=9.32,∑r,.y,.=40.17,=0.55,

/=1/=1

_7_

y-y)=Z4%-7fy=40.17-4X9.32=2.89,

I=I

289

所以r≈.......———≈0.99.

0.55×2×2.646

因为V与f的相关系数近似为0.99,说明y与f的线性相关相当高，从而可以用线性回归模

型拟合>与f的关系.

7

932`∑(,'~,)(-v,-)289

(2)由5=+=1∙331及(1)得〃=『-----;—=霁*0.103,

7∑b)28

/=1

a=y-b7≈1.331-0.103×4≈0.92.

所以y关于f的回归方程为∙9=0∙10r+0∙92

因为2024-2015=9,将2024对应的t=9代入回归方程得.y=0.10×9+0.92=1.82

所以预测2024年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

20.如图，在三棱柱ABC-ABc中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面

AACC为菱形，点A在底面上的投影为AC的中点。，且AB=2.

⑴若M、N分别为棱AB、BC的中点，求证：B幽平面CoV；

⑵求点C到侧面AAiBlB的距离；

(3)在线段A4上是否存在点E,使得直线Z)E与侧面AAB乃所成角的正弦值为逅？若存在,

7

请求出AE的长；若不存在，请说明理由.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵2屈

7

(3)存在,且IAEl=I

【分析】(1)由已知利用中位线性质分别得出MZ)8C且21Mq=IJBC与M。与N且

IMq=I4N∣,证明四边形片NOM为平行四边形，即用MND,即可证明结论；

(2)由已知结合投影性质与等腰直角三角形性质，证明直线。B,DC,OA两两语直，并

得出需要线段长，再建立空间直角坐标系，求出平面田的一个法向量与AC，即可代入

公式求解答案；

(3)假设存在，并设出关系，得到AE,再由向量运算得到OE，即可由线面角公式结合

已知列式求解.

【详解】(1)证明：连接

B

M为A3的中点，。为AC的中点，

:.MDBC且2∣Λ∕f>∣=忸。，

QN为qG的中点，

则在三棱柱ABC-AqG中，∙∙∙B∣N8C且2忸网=忸C∣,

:.MDSN且IMa=忸N∣,

•••四边形为平行四边形，

B1MND,

NDU平面CDN,且BIM<Z平面CDN,

:.平面CE)N；

(2)点A在底面上的投影为AC的中点。，

AQ，平面ABC,

.∙.ASAC且AiDlBD9

底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,

.∖BDLAC,

侧面AAICC为菱形，且AQLAC,

.,.AC=AA=AC,

AB=2,

..DB=DA=DC=C,⅛Zλ41=√6,

直线。8,DC,OA两两垂直，

故以点。为坐标原点，直线08,DC,OA分别为X,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标

系,

则O(0,0,0),A(0-√2,θ),β(√2,θ,θ),C(θ,√2,θ),A(O,O,√6),

贝∣JAB=(0,√Σ,O),AC=(0,2夜,0),Λ4,=(θ,√2,√6),

设平面ΛΛ,B,B的一个法向量为h=(x,y,z),

AB-n=∖∣2x+>∕2y=O[x+y=0

则rr，即ZC

AΛl∙n=√2γ+√6z=O[γ+√3z=O

取z=l,贝IJ拉=(百,一6,1),

则点C到侧面根田出的距离为:

,IACT2√62√42

a=JIIJ=-7=^=---,

同√77

⑶假设存在满足条件的点E，并设AE=2∙AB∣=2∙AB=(√Σl,√Ll,θ),2∈[(),1],

则DE=DA,+ΛlE=(√2Λ,√2Λ√β),

直线DE与侧面AAAB所成角的正弦值为旦,

7

∙l÷s依小繇j=*x√Γ

解得万=；,Λ∈[O,1],则a=[,

故存在满足条件的点£且∣4E∣=JAB∣=I,

21.某批〃件产品的次品率为2%,现从中任意地依次抽出3件进行检验.

(1)当〃=500,n=5000,n=50000,若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率

是多少？

(2)当n=500,〃=5000,"=50000,若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概

率是多少？

(3)(1)、(2)分别对应哪种分布，并结