甘肃省定西市2023届高三下学期高考模拟考试数学（文）试题（含答案与解析）

2023年定西市普通高考模拟考试

数学（文科）

考生注意:

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔

把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字

笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、

草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

L若复数Z满足（IT）Z=3+41,蚯=（）

2.已知集合A={x∣l<x≤4},B={x∣log2X≤2},则()

AB^AB.A^BC.AB=BD.

ACB=0

3.某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级共有600名同学，每

名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示,

其中参加合唱社团的同学有75名，参加脱口秀社团的有125名，则该年级（）

八兑口秀∕%∖

⅛∕∖≡7

∖πbV15%∖/

∖√⅜⅞⅞yxz

A.参加社团的同学的总人数为600

B.参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的15%

C.参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多120人

D.从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35

4.下列函数中，与函数/（X）=的奇偶性相同的是（）

A.y=fB.y=lgχC.y=cosxD.

y=V+X

5兀

5.将函数/（x）=SinXCOsx+如CoS2》的图像向右平移工~个单位长度，可得函数g（x）

6

的图像，则g（χ）的一个对称中心为（）

6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2,则侧（左）视图中的（）

正（主）视图侧（左）视图

A4B.3C.2D.1

7.若点（2,1）在圆f+y2—χ+y+α=o的外部，则”的取值范围是（）

（一00,,+∞J

8.有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以

芍药为主打造了一个如图所示的花海大世界，其中大圆半径为3,大圆内部的同心小圆半

径为1,两圆之间的图案是对称的.若在其中空白部分种植红芍.倘若你置身此花海大世界

之中，则恰好处在红芍种植区中的概率是（）

9.若三角形三边长分别为小b,C则三角形的面积为S=）〃（〃_a）（"_份（〃一c）,其

中P=*+C'这个公式被称为海伦一秦九韶公式.已知.ABC中，角A,B,C的对边

Q1∩Λ3

分别为“，b,c,.ɪα=6,则JWC面积的最大值为（）

sinβ+sιnC5

A.8B.12C.16D.20

10.如图，正方体ABCZ）—A3。。中，E,F分别是。2,OB的中点，则异面直线EF

与AA所成角的正切值为（）

A.√2B.也C.3D.6

23

1-1In21

11.已知α=±e2,b=—,C=-,则下列判断正确的是()

22e

A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

22

12.已知双曲线C二—与=l(α>0,∕7>0)渐近线方程为y=±JΣx,左、右焦点分

ab

别为尸I，F2,过点弱且斜率为6的直线/交双曲线的右支于M,N两点，若AMNK的

周长为36,则双曲线C的方程为（）

ɔ22229

A.三-匕=1B.工上=1C.JX=ID.

3651048

2

r2r,1

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数/(x)=XInX的图象在(1,/(1))处的切线在＞轴上的截距为.

14.设机为实数，已知Sina-COSa=m,则根的取值范围为.

15.已知向量4=(1,3),⅛=(4,-l),若向量相〃ɑ,且加与/7的夹角为钝角，写出一个

满足条件的m的坐标为.

'TT57122

16.过原点作一条倾斜角为。e∈的直线与椭圆∙+｝=l(α＞匕＞0)交于

、1_66

A,8两点，尸为椭圆的左焦点，若AF工B尸,则该椭圆的离心率e的取值范围为

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求

作答.

(-)必考题：共60分.

17.在数列｛叫中，al=l,a,,+1一4,,=2"(n∈N*).

(1)求数列｛α,,｝的通项公式：

⑵若么=〃4,求数列｛〃｝前"项和S”.

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABc。是边长为2的菱形，ZBAD60，AC与

BQ交于点O,OPL底面A88,OP=6■,点E,F分别是棱∕¾,PB的中点，连接

OE,OF,EF.

B

(1)求证：平面OEFH平面PCD；

(2)求三棱锥O—P灯的体积.

19.2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票

房成绩.某平台为了解观众对该影片的评价情况(评价结果仅有“好评”“差评”)，从平

台所有参与评价的观众中随机抽取200人进行调查，其中“好评”的占55%,数据如下表所

示(单位：人)：

好评差评合计

男性30

女性30

合计200

(1)根据所给数据，完成上面2X2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对该部影片

的评价与性别有关？

(2)从抽取的200人中所有给出“差评”的观众中按性别用分层抽样的方法随机抽取6

人，再从这6人中任选两人，求这两人中至少有一人是女性的概率.

参考公式：K^=--------------------------,其中n=a+b+c+d.

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

参考数据:

2

(κ≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.已知点〃到点F(O,1)的距离比它到直线/：y=-2的距离小〜记动点M的轨迹为

E.

(1)求E的方程；

(2)若过点F的直线交E于A(Xl,y),B(X2,%)两点，则在X轴的正半轴上是否存在点

P，使得用，PB分别交E于另外两点C,D,且AB=3CO?若存在，请求出P点坐标，

若不存在，请说明理由.

21.已知函数f(x)=a(x-2)ex-x+Inx(a∈R).

(1)若α=0,求函数/(x)的最值；

⑵若α=l,函数"X)在上的最大值在区间(加,加+1)内，求整数，"的值.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则

按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

x=2+cos1,

22.在平面直角坐标系Xoy中，曲线C的参数方程为〈C,(α为参数).以坐标

y=2+sma

TT

原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为e=］(0eR)∙

(1)求曲线C的极坐标方程；

1I

(2)若直线/与曲线C交于M,N两点，求卜河+西.

［选修4一5：不等式选讲］

23.已知/(x)=∣x-2∣+∣x+4∣.

(1)求不等式/(x)≥8的解集；

(2)若/(x)最小值为f,且实数小6,C满足"S+c)=t,求证：2a31+Z?2+c2>12.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数Z满足(IT)Z=3+41,则1=()

A.-i-2iB.-l2C.ɪ-ɪi

+iD.

222222

17.

—+—1

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求出z,再根据共辄复数的概念可得结果.

【详解】因为(1—i)z=3+4i,

3+4i(3+4i)(l+i)7

所以Z=-;~~-=------1--1

1-1(l-9(l+i)2

17

所以乞=------i.

22

故选：A

2.已知集合A={x∣l<x≤4},β=∣Λ∣log2x≤2∣,则()

AB^AB.A^BC.AB=BD.

ACB=0

【答案】B

【解析】

【分析】解出集合B,求出AcB,并根据子集含义即可判断.

【详解】因为B=WlOg2%≤2},所以B={x∣0<xW4}.

因为A={x∣l<x≤4},所以AcB=AAuB.

判断四个选项，只有B正确.

故选：B.

3.某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级共有600名同学，每

名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示,

其中参加合唱社团的同学有75名，参加脱口秀社团的有125名，则该年级（）

A.参加社团的同学的总人数为600

B.参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的15%

C.参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多120人

D.从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35

【答案】D

【解析】

【分析】A选项，根据参加合唱社团的同学有75名求出参加社团总人数；B选项，先计算

出参加脱口秀社团的人数占比，进而得到舞蹈社团的人数占比；C选项，计算出参加两个社

团的人数，作差求出答案；D选项，利用25%+10%=35%,求出答案.

【详解】A选项，75÷15%=500,故参加社团的同学的总人数为500,A错误；

B选项，参加脱口秀社团的有125名，故参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的

—=25%,

500

所以参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的1-15%-15%-35%-25%=10%,B错

误；

C选项，参加朗诵社团的人数为500χ35%=175,参加太极拳社团的人数为

500x15%=75,故参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多175—75=100人，C错

误；

D选项，从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为

25%+10%=35%,即0.35,D正确.

故选：D

4.下列函数中，与函数/(x)=e*-ez的奇偶性相同的是()

A.y=x2B.y=lgxC.y=cosxD.

y=d+X

【答案】D

【解析】

【分析】先求出函数的定义域，再根据/(-X)与/(χ)的关系判断函数为奇函数，还是偶函

数，得到答案.

【详解】/(x)=ev-e-χ定义域为R,且f(-x)=e-ɪ-ex=-∕(x),故F(X)=eʌ-e^"为奇

函数，

A选项，g(x)=χ2定义域为R,且g(-χ)=(一χ)2=χ2=g(χ),故g(χ)=χ2为偶函

数，A错误；

B选项，y=IgX定义域为(0,+8),故y=IgX为非奇非偶函数，B错误；

C选项,〃(x)=CoSX定义域为R,且M-X)=COS(-χ)=COSX=,故〃(X)=CoSX

为偶函数，C错误；

D选项，r(χ)=d+χ定义域为R,Kt(-x)=(-χ)3+(-χ)=-X3-χ=-t(χ).

故/(x)=χ3+χ为奇函数，D正确.

故选：D

5.将函数/(x)=SinXCoSX+Gcos?X的图像向右平移一■个单位长度，可得函数g(x)

6

的图像，则g(x)的一个对称中心为()

【答案】A

【解析】

【分析】先把/(X)解析式化成/(X)=ASin(的+⑼+8的形式，然后根据平移求出g(x)

解析式，从而根据正弦函数的对称中心求出g(x)的对称中心，进而可得答案.

【详解】

/(x)=SinXCoSX+6CoS2x=—sin2x+—cos2x+-=sin(2x+^\+—,

222[32

因为AX)的图像向右平移一个单位长度得函数g(x)的图像，

5π右•'4π∖√3.(2πγ∕3

所以g(x)=sin∣2Xy

3j213J213J2

因为y=SinX的对称中心为(E,0)(k∈Z),

所以当2χ+号—吟gg(x)=,，

即函数g(x)的对称中心为(&∈z),

[232J

当Z=I时,对称中心为

故选：A.

6.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2,则侧(左)视图中的。=()

俯视图

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】由三视图可得，该图形为三棱锥，再根据棱锥的体积公式即可得解.

【详解】由三视图可得，该图形为三棱锥，如图所示，

其中三棱锥得高为1，底面积为Jχ2αx2=2α,

2

所以该几何体得体积为1χ2αxl=2,解得α=3.

3

故选：B.

7.若点（2,1）在圆Y+y2-χ+y+α=o的外部，则”的取值范围是（）

【答案】C

【解析】

【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.

【详解】依题意，方程r+y2-χ+y+a=o可以表示圆，则（一1）2+12-4。>0,得

1

a<-↑

2

由点（2,1）在圆χ2+y2-χ+y+a=0的外部可知：22+l2-2+l+a>0<得α>-4.

皿，1

故一4<α<一.

2

故选：C

8.有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以

芍药为主打造了一个如图所示的花海大世界，其中大圆半径为3,大圆内部的同心小圆半

径为1,两圆之间的图案是对称的.若在其中空白部分种植红芍.倘若你置身此花海大世界

之中，则恰好处在红芍种植区中的概率是（）

55

D.

64

【答案】C

【解析】

【分析】由圆的面积公式结合几何概型的概率公式求解.

【详解】由已知得：大圆的面积为S∣=πx32=9π,小圆的面积为πχl2=7l.

所以空白部分的面积为S2=--—+π=5π.

设“恰好处在红芍种植区中”为事件A,则P(A)=U=g=，.

N9π9

故选：C

9.若三角形三边长分别为“，b,C,则三角形的面积为S=Jp(〃—4)(〃—份(〃一C)，其

中P=W±£,这个公式被称为海伦—秦九韶公式.已知_ABC中，角A,B,C的对边

Q1∩Λ3

分别为a,b,c,-：-------=一，α=6,则,ABC面积的最大值为()

sinB+smC5

A8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

［分析］根据海伦-秦九韶公式化简得S=√16(8-⅛)(8-c),再利用基本不等式求最值.

【详解】在_ABC中，因为———=-,所以一J=3，又。=6,所以

sinB÷sinC5b+c5

b+c=10,

可得P=g(α+h+c)==8,且p-a=8-6,

故的面积

S=∕8(8-6)(8-⅛)(8-c)=√16(8-⅛)(8-c)≤J16(

λ8=8-1=n,

当且仅当8—b=8-c,即匕=c=5时取等号，

故，ABe面积的最大值为12.

故选：B

10.如图，正方体ABa)-A4G。中，E,F分别是。2,QB的中点，则异面直线EF

与A?所成角的正切值为()

B五√3

A.√2rD.&

23

【答案】B

【解析】

【分析】根据异面直线的夹角的求法和线面位置关系即可求解.

因为E,尸分别为直线DDl和直线DB的中点,

所以EF为DQB的中位线,

所以EFPDlB,

则异面直线EF与AR所成角的正切值即为直线与。①所成角的正切值,

ABA.AD

因为《

ABLAA1

所以上平面

A6ADD1A1,

平面

ADlUADD∣Λl,

所以

ABlADt,

所以BA2为直角三角形,

所以tanZBD,A=^-=-∖==--

AD,正2

故选：B.

1-1In21

11.已知α=±e2,b=—,c=一,则下列判断正确的是（）

22e

A.c<h<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

【答案】D

【解析】

【分析】构造函数/（X）=［J,θ<x≤e,求导确定单调性，得函数值大小即可得答案.

【详解】设/（x）=F,O<x≤e,则/'（X）=Y上≥O恒成立，

所以函数/（x）在（O,e］上单调递增，

f∖∖ɪ

因为£<2<e，所以//<∕（2）<∕（e）,则与1<生2<生£,即

2e

V）eI

14In21,

—e2<----<—,则πillα<b<c.

22e

故选：D.

22

12.已知双曲线C：三―学=1（。>00>0）的渐近线方程为丁=±缶，左、右焦点分

别为"，F2,过点用且斜率为G的直线/交双曲线的右支于M,N两点，若AMN/=］的

周长为36,则双曲线C的方程为（）

222222

A,三-二=1B.三上=1c.三-21=1D.

3651048

2

r2ʃ1

2

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得》=缶，则直线/为y=唐（X-氐），代入双曲线方程中，利用弦

长公式求出IMNI,再由双曲线的定义和耳的周长为36,可求出。，从而可求出双

曲线的方程.

【详解】因为双曲线（?:5-营=1（。>08>0）的渐近线方程为旷=±缶,

22

所以b=、&，则双曲线方程为之一与=13>0)，Fl(Ya,0),F,(A,0),

a2a

所以直线/为y=√3(x-√30),设M(Xl,y),N(x2,y2),

22

龙

y1

由,a22a2得X2-6∙j3ax+11/=O>

y-y∕3(x-∖f3a)

则xl+x2-6λ∕3α,xix2=Ila2,

2

所以IMNl=√Γ+3∙7(X1+X2)-4X,X2=2Jl08/一44/,

因为IMKl=IM用+2α,∣Nξ∣=∣"∣+2α,

所以∣Mξ∣+∣g∣=∣ME∣+∣A∕∣+4α=∣MN∣+4α=20α,

因为的周长为36,所以IMl+∣N6∣+∣MV∣=36,

所以20α+16α=36,得α=l,所以双曲线方程为炉—工=ι,

2

故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数/(x)=XlnX的图象在(1,f(1))处的切线在V轴上的截距为

【答案】-1

【解析】

【分析】求导，再根据导数的几何意义求出切线方程，再令尤=O即可得解.

【详解】∕,(x)=lnx+l,

则/(1)=0,*1)=1，

所以函数/(x)=XInX的图象在(1,7(1))处的切线方程为y=X-I,

令尤=(),则y=τ,

即所求为T.

故答案为：-1

14.设“为实数，已知Sina-COSa=帆，则小的取值范围为.

【答案】[-√2,√2]

【解析】

【分析】利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得.

因为一l≤sin∣α-()≤1,所以一7∑≤∖∕∑sin]α.)≤7∑,

所以一0≤m≤0,则加的取值范围为［—0,0］.

故答案为：［-a

15.已知向量α=(l,3),⅛=(4,-1),若向量加〃4,且加与〃的夹角为钝角，写出一个

满足条件的m的坐标为.

【答案】w=(-1,-3)(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据向量的共线和向量乘法的坐标计算公式即可求解.

【详解】设"2=(χ,y),

因为向量加I4,且加与〃的夹角为钝角，

l∙γ=3∙x

所以<4∙x+(-l)∙y<O,所以χ<0,

4∙y≠(-l)∙x

不妨令下一1，则尸一3,故"2=(-1,-3),

故答案为：m=(-l,-3)(答案不唯一).

Zp

TlSjir2ʃ2

16.过原点作一条倾斜角为eθe的直线与椭圆J+=I(Q>/?>0)交于

、1_66a^

A,B两点,尸为椭圆的左焦点，若则该椭圆的离心率e的取值范围为

【解析】

【分析】分别讨论直线AB的斜率是否存在，利用坐标运算即可求解椭圆的离心率e的取值

范围.

【详解】当倾斜角时，直线AB的斜率不存在，如图则A(0,0),8(0,—))，又椭圆

左焦点F(-c,0)

若AFJL的，则4/?3/=（一。,一2）-（一。,/?）=，-02=0,即b=c,

所以42=02+/=202,即Q=0C

所以椭圆的离心率C=E=JL=XZ;

ɑ√2c2

ππI（Tt5π

当倾斜角为OG-,-o,直线AB的斜率存在设为左，则

62J\26

/

k∈-∞.-6]

22

设A(XO,%)，则8(f0,-κ),所以存+与=1①,

ab

c2-xθ-yo=0@,

扇√_,4

联立①②，结合∕="+c2可得¥=勺/；=

CC

3'

Vf∖

所以一^NL,贝IJ4Z∕≥c4>/,^2b2≥c2>b2,

c4-b43

、2、22,1/2,,√2C√6

≥c>«-C'πWι--V<--r—≤≤-->,故—二<e=-二≤<-—

2/32a3r

综上，椭圆的离心率e的取值范围为［丁,丁］.

故答案为：［日,9］

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求

作答.

(-)必考题：共60分.

17.在数列｛a“｝中，4=1，an+l-an=2"(“∈N*).

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)若以=nan,求数列｛bl,｝的前n项和Sn.

n

【答案】(1)an=2-∖

【解析】

【分析】(1)由α,,+∣-％=2",结合=4+(。2-α∣)+(4-4)'+3“-4-∣),利用

等比数列的求和公式，即可求解；

(2)由(1)得至IJd=〃/=小2"—〃，结合等差、等比数的求和公式，以及乘公比错位

相减法求和，即可求解.

小问1详解】

n

解：因为数列｛4｝满足％=1且al,+i-all=2,

aa1

当〃≥2时，可得a”="∣+(4—4)+(4—4)÷(l,-n-∖)—1+(2+2^++2")

—=2i

当〃=1时，4=1适合上式，所以数列｛4｝的通项公式为4=2"-1.

【小问2详解】

解：由(1)知al,=2"-1,可得b“=na“=n∙2”,

所以S,,=4+a++b,,=∖×2'-l+2×22-2++n-2"-n

=(Ix2,+2x21++n∙2")-(1+2++”)，

设7；=lχ2∣+2x2?++n-2n,

则27；=1x22+2x2'++n-2n+l,

两式相减得-4=2∣+22+23++2n-n-2"+'=当二∣°-"∙2"M=(I-")∙2向-2,

所以(,=(〃—1)∙2"+∣+2,

n(n+1)

又由1+2+÷n=

-2~

所以S,,=(〃_1)∙2,,+'+2-*h)=(〃一1)∙2,,+l-4+；二4

18.如图，在四棱锥产一ABCD中，底面ABC。是边长为2的菱形，ZBAP=60，AC与

8。交于点O,OPL底面ABCZ),OP=B点E,产分别是棱∕¾,PB的中点，连接

(1)求证：平面OEf'〃平面尸CD；

(2)求三棱锥O—PE尸的体积.

【答案】(1)证明过程见详解

1

(2)-

8

【解析】

【分析】(1)根据中位线定理和面面垂直的判定即可求解;

(2)根据等体积法即可求解.

【小问1详解】

因为底面ABCD是菱形，AC与BD交于点0

所以。为AC中点，

点E是棱∕¾的中点，F分别是棱PB的中点，

所以。E为三角形ACP的中位线，。尸为三角形BDP的中位线,

所以OE//PC,OF//DP,

OEZ平面OC尸，PCU平面DCP，:.OE//平面DCP，

QoFa平面。CP,。。(=平面。。。，..。尸//平面。。「，

而OECOF=O,0EU平面OEF,ObU平面OEF,

・.♦平面OEF〃平面PCD.

【小问2详解】

因为底面ABCD是边长为2的菱形，ZBAD=60.

所以BAD为等边三角形,

所以03=1,04=后，

因为OPJ•底面HBCD,

(MU底面A8CQ,OBU底面ABer>,

所以OP_L04,OPLOB,

所以一PQ4和一POB均为直角三角形，

所以PA={(6¥+(百¥=瓜,PB=J=2,

22+(√6)2-22瓜

所以cosZPAB=------——J=-=——，

2×2×√64

所以SinNPAB=1当=当，

所以SPAB=ɪ×2×-JβsinZPAB=，

设点。到平面PEF的距离为h,

根据体积相等法可知%"AB=L_OAB，

f'J↑^-×^^-×h=-×-×yj3×l×∖∕3，

3232

所以〃=姮.

5

故三棱锥O-PEF的体积为』.

8

19.2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票

房成绩.某平台为了解观众对该影片的评价情况(评价结果仅有“好评”“差评”)，从平

台所有参与评价的观众中随机抽取200人进行调查，其中“好评”的占55%,数据如下表所

示(单位：人)：

好评差评合计

男性30

女性30

合计200

(1)根据所给数据，完成上面2X2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对该部影片

的评价与性别有关？

(2)从抽取的200人中所有给出“差评”的观众中按性别用分层抽样的方法随机抽取6

人，再从这6人中任选两人，求这两人中至少有一人是女性的概率.

参考公式：K2=-------竺，C)、/---------r»其中〃=a+Z?+c+d.

[a+b)[c+d)[a+c)(b+d)

参考数据:

2

(K≥kυ)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握

14

(2)——

15

【解析】

【分析】(1)求出男性人数，即可完成列联表，再根据公式求出K2,对照临界值表，即可

得出结论；

(2)先求出男性和女性的人数，再根据古典概型即可的解.

【小问1详解】

“好评”的人数为200x55%=110，

则列联表如图所示：

好评差评合计

男性8030110

女性306090

合计11090200

,2∞×(80×60-30×30)^

K2----------------------------L≈31.038>10.828,

110×90×110×90

所以有99.9%的把握认为对该部影片的评价与性别有关;

【小问2详解】

6

男性有30一=2人，设为A,6,

960

女性有60=4人，设为a,b,c,d,

90

则从这6人中任选两人，

有AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Be,Bd,ab,ac,ad,be,bd,Cd共15种，

其中符合题意的有14种，

14

所以所求概率P=行.

20.已知点例到点F[O,|]的距离比它到直线/：y=-2的距离小记动点M的轨迹为

E.

(1)求E的方程；

(2)若过点尸的直线交E于4(%,χ),B(X2,%)两点，则在X轴的正半轴上是否存在点

P,使得以，P8分别交E于另外两点C,D,且AB=3C。？若存在，请求出P点坐标，

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)X2=6y

(2)pf—,0

I2J

【解析】

【分析】(1)根据点M到点F(O,g)的距离等于它到直线/：y=—T的距离，结合抛物

线的定义得出抛物线E的标准方程；

(2)设C(Λ⅛,%),P(Λfl,0),由PA=3PC结合抛物线方程得出2是方程

3

χ2-2x0x-2*=0的两根，设直线A5的方程为y=依+屋并与抛物线方程/=6y联

立结合韦达定理得出点P坐标.

小问1详解】

因为点M到点F［O,|］的距离比它到直线/：y=—2的距离小T，

所以点M到点尸(θ,Ij的距离等于它到直线/：y=—g的距离，

则点M的轨迹为以尸［θ,g］为焦点，以丁=-1为准线的抛物线，

则曲线E的方程为f=6y.

【小问2详解】

设C(XJ,y3),P(∙⅞,O)(XO>°)，

由A6=3CO得：ABHCD,且IABl=3∣Cf>∣，得PA=3PC，

即(玉一∙⅞,X)=3(鼻一毛，％),所以马=士/,y3=y.

代入抛物线方程r=6y,得C；2x0)=6%=2y=寺，

2

整理得x∣-2x0xl-2x；=0,同理可得%2-2⅞X2-2xθ=0

故而,七是方程f—2AOX—2x(；=0的两根，Δ=12xθ>0,

由韦达定理可得M+x2=2X0,X1X2=-2xθφ,

由题意，直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为y=区+g,

与抛物线方程JC=Gy联立可得χ2一66—9=0,

易得A>0,由韦达定理可得玉+x2=^>k,xlx2=-9②,

由①②可得XO=乎,火=乎,

C3JQ)

故在X轴的正半轴上存在一点Pɪ,θ满足条件.

I2J

21.已知函数/(x)=a(x-2)ex-x+Inx(a∈R).

(1)若0=0,求函数/(X)的最值；

(2)若α=l,函数/(X)在ɪ,l上的最大值在区间(〃，,〃2+1)内，求整数〃，的值.

【答案】⑴函数/(X)有最大值-1,无最小值

(2)m--4

【解析】

【分析】(1)根据导数确定函数单调性即可求解；(2)根据函数的隐零点和零点范围以及对

号函数特点即可求解.

【小问1详解】

若α=0,/(%)=—x+lnx(a∈/?)

则/(%)=-%+InX,(%>0),

1-V-L-I

所以—,α>o),

XX

-V*-L1

令r(x)=-_—=o,解得X=I,

当x>l时，f'(x)=--<Q,/(x)单调递减,

_y_|_1

当0<x<l时，r(x)=1->0,/(x)单调递增,

所以函数有最大值/(χ)k=-l.

【小问2详解】

若α=l,则/(x)=(x-2)e"-x+lnx,

所以r(x)=(xT)e*T+L(l)e"

X

当Xeɪ1时，χ-l≤O,

4

(ɪv1

因为e，=e<44=16,所以eZ<4，

(1Y1

e3=e<3'=27,所以滔<3，

\/

eɪ=e<22=4,所以J<2，el>1)所以尤oc，」)，

所以尤XOJ时，eʌ'<ɪ,/'(x)=(x-l)(ejc-J]>O,/(x)单调递增；

x∈(/,l)时，ev>ɪ,/'(x)=(x-l)(e*-]≤0,/(x)单调递减.

ɪ2

所以/(x)max=/(Xo)=(Xo-2)e"-