四川省资中学县2023-2024学年数学九年级上册期末统考试题含解析

四川省资中学县2023-2024学年数学九上期末统考试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题3分，共30分）

x+1x,

------<------1

1.若不等式组32无解，则机的取值范围为（）

x<4m

A.m<2B.m<2C.m>2D.m>2

2.下列说法中，正确的个数（）

①位似图形都相似：

②两个等边三角形一定是位似图形；

③两个相似多边形的面积比为5:1.则周长的比为5:1；

④两个大小不相等的圆一定是位似图形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.小亮同学在教学活动课中，用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的

地面上不可能出现的投影是（）

A.线段B.三角形C.平行四边形D.正方形

11

4.Xl,X2是关于X的一元二次方程X2—"2%+，〃-2=0的两个实数根,是否存在实数“，使一+一=0成立？则正确

Xjx2

的结论是（）

A.m=0时成立B.m=2时成立C.机=0或2时成立D.不存在

5.下列四张扑克牌图案，属于中心对称图形的是（

y

7.下列事件是随机事件的是（）

A.打开电视，正在播放新闻B.氢气在氧气中燃烧生成水

C.离离原上草，一岁一枯荣D.钝角三角形的内角和大于180。

8.抛物线了=/+6%+7可由抛物线）；=/如何平移得到的（）

A.先向左平移3个单位，再向下平移2个单位

B.先向左平移6个单位，再向上平移7个单位

C.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位

D.先回右平移3个单位，再向上平移2个单位

9.实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况

进行了综合评分.下表是其中一周的统计数据:

组别1234567

分值90959088909285

这组数据的中位数和众数分别是

A.88,90B.90,90C.88,95D.90,95

10.如图，在aABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE〃BC,AD=-DB,若SAADE=3,则S四边彩DBCK=()

2

A.12B.15C.24D.27

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.某中学去年举办竞赛，颁发一二三等奖各若干名，获奖人数依次增加，各获奖学生获得的奖品价值依次减少（奖

品单价都是整数元），其中有3人获得一等奖，每人获得的奖品价值34元，二等奖的奖品单价是5的倍数，获得三等

奖的人数不超过10人，并且获得二三等奖的人数之和与二等奖奖品的单价相同.今年又举办了竞赛，获得一二三等奖

的人数比去年分别增加了1人、2人、3人，购买对应奖品时发现单价分别上涨了6元、3元、2元.这样，今年购买奖

品的总费用比去年增加了159元.那么去年购买奖品一共花了_________元.

2—in

12.已知一次函数w=x+/n的图象如图所示，反比例函数以=——，当x>0时，%随x的增大而（填“增大”

x

或“减小”）.

13.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们归纳出为“杠杆原理”.已知，手压压水井的阻力

和阻力臂分别是90N和0.3加，则动力冗（单位：N）与动力臂。（单位：加）之间的函数解析式是.

14.如图，点E是矩形ABC。的对角线AC上一点，正方形瓦G4的顶点G,”在边上，AB=3,BC=4,则

尸的值为.

15.如图，的半径04长为6,8A与。。相切于点4,交半径OC的延长线于点8,BA长为6陋,AHA.OC,垂

足为H,则图中阴影部分面积为.（结果保留根号）

16.某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检，相关数据如下:

抽取的毛绒玩具数〃2151111211511111115112111

优等品的频数机19479118446292113791846

优等品的频率一1.9511.9411.9111.9211.924L9211.9191.923

n

从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是一.（精确到SOD

17.数学学习应经历“观察、实验、猜想、证明”等过程.下表是几位数学家“抛掷硬币”的实验数据:

实验者棣莫弗蒲丰德•摩根费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基

掷币次数204840406140100003600080640

出现“正面朝上”的次数10612048310949791803139699

频率0.5180.5070.5060.4980.5010.492

请根据以上实验数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为.（精确到0.1）

18.如图，已知在中，ZACB=90°,N5=30。，将AA5C绕点C顺时针旋转一定角度得AZ>EC,此时a>J_A5,

连接AE,贝（］3叱EAC=.

三、解答题（共66分）

19.（10分）已知抛物线的顶点坐标为（1,2）,且经过点（3,10）求这条抛物线的解析式.

20.（6分）如图，已知二次函数4：y=/-4x+3与x轴交于A5两点（点A在点B的左边），与>轴交于点C.

（1）写出48两点的坐标；

（2）二次函数4：y=々-4"+3左（左。0）,顶点为p.

①直接写出二次函数L2与二次函数4有关图象的两条相同的性质；

②是否存在实数左，使A46P为等边三角形？如存在，请求出攵的值；如不存在，请说明理由；

③若直线y=8后与抛物线右交于区F两点，问线段E尸的长度是否发生变化？如果不会，请求出Eb的长度；如果

会，请说明理由.

21.（6分）如图，利用尺规，在aABC的边AC下方作NCAE=NACB,在射线AE上截取AD=BC,连接CD,并

证明：CD=AB.（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）

R

22.（8分）如图，在四边形A8QD中，乙钻。=4位）。=45。,将一6。。绕点。顺时针旋转一定角度后，点B的对

应点恰好与点A重合，得到△ACE.

E

（1）求证：AELBD；

（2）若AD=1,CO=2,试求四边形ABC。的对角线的长.

23.（8分）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，规定试销期间销售单价不低于成本价.据试销发现，月

销量y（千克）与销售单价》（元）符合一次函数y=-iox+iooo.若该商店获得的月销售利润为w元，请回答下列

问题：

（1）请写出月销售利润W与销售单价X之间的关系式（关系式化为一般式）；

（2）在使顾客获得实惠的条件下，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？

（3）若获利不高于70%,那么销售单价定为多少元时，月销售利润达到最大？

24.（8分）已知：PA=0,PB=4,以AB为一边作正方形A5CZ）,使尸、。两点落在直线A8的两侧.

（1）如图，当N4PB=45°时，求48及尸。的长；

（2）当NAP5变化，且其它条件不变时，求尸。的最大值，及相应NAP3的大小.

25.（10分）如图，一次函数丫=1«+1）与反比例函数y二一的图象相交于A（2,4）、B（—4,n）两点.

x

⑴分别求出一次函数与反比例函数的表达式；

⑵根据所给条件，请直接写出不等式kx+b>-的解集:

x

（3）过点B作BCJLx轴，垂足为点C,连接AC,求SAABC.

26.（10分）如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，ADEF的面积是1,求正方形ABCD

的面积.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、A

【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m的不等式，解之可得.

【详解】解不等式一r4二-1<；X一1,得：x>8,

32

•.•不等式组无解，

解得m<2,

故选A.

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找;

大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

2、B

【分析】根据位似图形的定义(如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，

那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.)分别对①②④进行判断，根据相似多边形的面积比等于相

似比的平方，周长比等于相似比对③进行判断.

【详解】解：①位似图形都相似，故该选项正确；

②两个等边三角形不一定是位似图形，故该选项错误；

③两个相似多边形的面积比为5:1.则周长的比为6:3,故该选项错误；

④两个大小不相等的圆一定是位似图形，故该选项正确.

正确的是①和④，有两个，

故选：B

【点睛】

本题考查的是位似图形、相似多边形性质，掌握位似图形的定义、相似多边形的性质定理是解决此题的关键.

3、B

【解析】根据长方形放置的不同角度，得到的不同影子，发挥想象能力逐个实验即可.

【详解】解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段；

将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；

将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形；

由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形.

故选:B.

【点睛】

本题主要考查几何图形的投影，关键在于根据不同的位置，识别不同的投影图形.

4、A

【解析】•••，】，X2是关于x的一元二次方程/一法+白一2=0的两个实数根

A=(6-2)2+4>0

Xi+X2=b>xiXX2=b-2

11X1

.--J-------+--x2----b-

,・%x2XfX2b-2

11b

使一+—=0,则----=0

%%b—2.

故满足条件的力的值为0

故选A.

5、B

【解析】根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解.

解答：解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意.

故选B.

6,B

k

【分析】根据反比例函数丫=一中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即

x

可.

【详解】解：A、图形面积为|k|=l；

B、阴影是梯形，面积为6；

C、D面积均为两个三角形面积之和，为2x(l|k|)=1.

2

故选B.

【点睛】

k

主要考查了反比例函数丁二一中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引X轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|,是经

x

常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义.图象上的点与原点所连

的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积s的关系即s=；|k|.

7、A

【分析】根据随机事件的意义，事件发生的可能性大小判断即可.

【详解】解：A、打开电视，正在播放新闻，是随机事件；

B、氢气在氧气中燃烧生成水，是必然事件；

C、离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件；

IK钝角三角形的内角和大于180。，是不可能事件；

故选：A.

【点睛】

本题考查可随机事件的意义，正确理解随机事件的意义是解决本题的关键.

8、A

【分析】先将抛物线丫=/+6%+7化为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可.

【详解】因为y=d+6x+7=（x+3）2—2,

所以将抛物线y=x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线y=/+6尤+7,

故选A.

【点睛】

本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键.

9,B

【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）.由此将

这组数据重新排序为85,88,1,1,1,92,95,.♦.中位数是按从小到大排列后第4个数为：1.

众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中1出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为1.

故选B.

10、C

【分析】根据DE〃BC得到AADEs/iABC,再结合相似比是AD：AB=1：3,因而面积的比是1：9,则可求出SA&BC,

问题得解.

【详解】解：：DE〃BC,

.,.△ADE^>AABC,

VAD：DB=1：2,

AAD：AB=1：3,

•'•SAADE：SAABC是I：9,

,；SAADE=3,

ASAABC=3X9=27,

则SBWI>BCE=SAABC-SAADE=27-3=24.

故选：C.

【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、257

【分析】根据获奖人数依次增加，获得二三等奖的人数之和与二等奖奖品的单价相同，以及二等奖奖品单价为5的倍

数，可知二等奖的单价为10或15,分别讨论即可得出答案.

【详解】设二等奖人数为叫三等奖人数为n,二等奖单价为a,三等奖单价为b,根据题意列表分析如下：

一等奖二等奖三等奖

获奖人数3mn

去年

奖品单价34ab

获奖人数3+1=4m+2n+3

今年

奖品单价34+6=40a+3b+2

•••今年购买奖品的总费用比去年增加了159元

:.4x40+(加+2)(a+3)+(〃+3)(。+2)—34x3—/m—泌=159

整理得3加+2a+2〃+3Z?=89

V3<m<n<10,m+n-a,4为5的倍数

二。的值为10或15

当a=10时，m=4,n=6

代入3m+2a+2〃+3/?=89得3x4+2x10+2x6+36=89,

解得Z?=15>a

不符合题意，舍去；

当a=15时，有3种情况：

①机=5,«=10,代入3加+2。+2〃+3/?=89得

3x5+2x15+2x10+36=89,解得人=8<a,符合题意

此时去年购买奖品一共花费3x34+5x15+10x8=257元

@m=6,n=9,代入3m+2«+2〃+38=89得

23

3x6+2x15+2x9+30=89,解得b=——，不符合题意，舍去

3

③机=7,〃=8,代入3m+2。+2〃+3/?=89得

22

3x7+2x15+2x8+36=89,解得〃=—,不符合题意，舍去

3

综上可得，去年购买奖品一共花费257元

故答案为：257.

【点睛】

本题考查了方程与不等式的综合应用，难度较大，根据题意推出。的取值，然后分类讨论是解题的关键.

12、减小.

【分析】根据一次函数图象与y轴交点可得m<2,进而可得2-m>0,再根据反比例函数图象的性质可得答案.

【详解】根据一次函数yi=x+"i的图象可得，"V2,

.♦.2-机>0,

2——m

二反比例函数及=——的图象在一，三象限，当x>0时，％随x的增大而减小，

x

故答案为：减小.

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的性质，以及一次函数的性质，关键是正确判断出m的取值范围.

厂27

13、-

【分析】直接利用阻力义阻力臂=动力X动力臂，进而代入已知数据即可得解.

【详解】解：•.•阻力X阻力臂=动力X动力臂，

90x0.3=6x1,

厂27

尸27

故答案为：

【点睛】

本题考查的知识点是用待定系数法求反比例函数解析式，解此题的关键是要知道阻力X阻力臂=动力X动力臂.

3

14、-

7

【分析】先证明△AHEs^CBA,得到HE与AH的倍数关系，则可知GF与AG的倍数关系，从而求解tan/GAF

的值.

【详解】•.•四边形EFGH是正方形，

AHE=HG,

VZAHE=ZABC=90°,NHAE=NBCA,

/.△AHE^ACBA,

HEAHHEAB3

..----,即an==—

ABBCAHBC4

设HE=3a,则A〃=4a,

/.AG=AH+HG=7a,GF=3a,

GF_3a_3

tanZGAF

3

故答案为：

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形、矩形的性质、解直角三角形.利用参数求解是解答本题的关键.

15、6^---

2

【分析】由已知条件易求直角三角形40”的面积以及扇形AOC的面积，根据阴影部分的面积=扇形40C的面积-

直角三角形A0H的面积，计算即可.

【详解】YBA与。。相切于点4,

：.ABLOA,

：.ZOAB=90°,

'：OA=6,AB=6y]3,

.OA6G

・・tanN3==—■==,

AB6V33

.*.ZB=30°,

，NO=60°,

：.ZOAH=30°,

1

：.OH=-OA=3,

2

:.AH=36,

••・阴影部分的面积=扇形AOC的面积-直角三角形40”的面积=60万*6--1X3X36=6%-逑;

36022

故答案为：6兀—巫.

2

【点睛】

此题考查圆的性质，直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半，扇形面积公式，三角函数.

16、1.92

【分析】由表格中的数据可知优等品的频率在1.92左右摆动，利用频率估计概率即可求得答案.

【详解】观察可知优等品的频率在1.92左右，

所以从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是L92,

故答案为：1.92.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越

小，由此可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率的近似值，随着

实验次数的增多，值越来越精确.

17、0.1

【分析】由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在04左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概

率为0.1.

【详解】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.1左右波动，

所以估计硬币出现“正面朝上'’的概率为0.1.

故答案为0.1.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，随实验次数的增多，值越来越精确.

18、6-3百

【分析】设=得BC=&,根据旋转的性质得CE=&,Nl=30。，分别求得族=孑，

CF=%,继而求得答案.

2

【详解】如图，AB与CD相交于G,过点E作EF\L4C延长线于点F,设AC=a,

=y/3a

g各9

根据旋转的性质知：CE=BC=6a,NOCE=NACb=90。,

■:CDLAB,

AZ1+ZBAC=9O°,

:.Z1=30°,

VZ1+Z2+ZDCE=1800°,

:.Z2=60°,

3

:.EF=CEsin600=-a

29

CF=C£cos60°=—

2

3

FFa

tanZEAC=——=―、一=6—36,

AFV3

a-\-----a

2

故答案为：6—3^3.

【点睛】

本题考查了旋转的性质以及锐角三角函数的知识，构建合适的辅助线，借助解直角三角形求解是解答本题的关键.

三、解答题(共66分)

19、y=l(x-1)*+1.

【分析】根据题意设抛物线解析式为y=a(X-1)'+1,代入(3,10)求解即可.

【详解】解：根据题意设抛物线解析式为y=a(x-1)'+1,

把(3,10)代入得a(3-1)i+l=10,解得a=l,

所以抛物线解析式为y=l(x-1),+1.

【点睛】

本题考查了抛物线的问题，掌握抛物线的性质以及解析法、待定系数法是解题的关键.

20、(1)4(1,0),3(3,0)；(2)①对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标为2；都经过A(l,0),8(3,0)两点；②存在

实数3使AABP为等边三角形，k=±6③线段EF的长度不会发生变化，值为1.

【分析】(1)令/_4》+3=0,求出解集即可；

(2)①根据二次函数4与乙有关图象的两条相同的性质求解即可；②根据.丫=依2-4后+3%=%(％-2)2-左，可得

到结果；③根据已知条件列式依2一4依+3Z=以，求出定值即可证明.

【详解】解：（1）令/_以+3=0，

.•.（X-1）（^-3）=0,

再=1,x?=3,

•・•点A在点3的左边，

.•.A（l,0）,3（3,0）；

（2）①二次函数4与乙有关图象的两条相同的性质：

（I）对称轴都为直线x=2或顶点的横坐标为2；

（II）都经过A（l,0）,B（3,0）两点；

②存在实数k,使AABP为等边三角形.

Vy-kx2—4kx+3k=々（x—2）~—k,

顶点P（2,—A）,

VA（l,0）,B（3,0）,：.AB=2,

要使AABP为等边三角形，必满足卜4=6，

k=±G；

③线段EF的长度不会发生变化.

•.•直线y=8Z与抛物线&交于区F两点,

,,kx~—4kx+3k-8k>

,:k手0,x2—4x+3=8>，X[=-1,4=5,

EF-x2-xx-6,

二线段EF的长度不会发生变化.

【点睛】

本题主要考查了二次函数综合，结合一次函数、等边三角形的性质求解是关键.

21、作图见解析，证明见解析.

【分析】根据作一个角等于已知角的作法画出NCAE并截取AD=BC即可画出图形，利用SAS即可证明

△ACB^ACAD,可得CD=AB.

【详解】如图所示:

E

VAC=CA,ZACB=ZCAD,AD=CB,

.,.△ACB^ACAD（SAS）,

.*.CD=AB.

【点睛】

本题考查尺规作图一作一个角等于已知角及全等三角形的判定与性质，正确作出图形并熟练掌握全等三角形的判定

定理是解题关键.

22、（1）见解析；（2）BD=3.

【分析】（I）证明：由BCD绕点C顺时针旋转到△ACE,利用旋转性质得BC=AC,N1=N2,由NABC=45。，

可知NACB=90。，由Nl+N3=90。，可证N2+N4=90°即可，

（2）解:连。E,由绕点C顺时针旋转到AACE,得NBCD=ZACE,CD=CE=2,BD=AE,利用等式性质得

N£）CE=NACB=90°,NCDE=45。，利用勾股定理DE=2j^,由NADC=45。可得NADE=90。，由勾股定理可求

AE即可.

【详解】（1）证明：BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点8的对应点恰好与点A重合，得到△ACE,

BC=AC,Z1=Z2,

.-.ZABC=ZBAC=45°,

ZACB=1800-ZABC—ZBAC=90°,

Zl+Z3=90°,

又N3=N4,

N2+N4=N1+N3=9O°,

ZANM=180°-Z2-Z4=90°,

即AE_L3£）,

（2）解:连DE,

AD

BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合,

得到ACE,

:.NBCD=ZACE,

即ZACB+ZACD=NDCE+ZACD,CD=CE=2,BD=AE,

NDCE=ZACB=90。,

：.DE=\/CD2+CE2=722+22=疯

又ZDCE=90°,CD=CE=2,

:.ZCDE=45°,

ZADE=ZADC+ZCDE=90°,

AE=\lAD2+DE2=+（扃=3,

BD-3.

【点睛】

本题考查旋转的性质和勾股定理问题，关键是掌握三角形旋转的性质与勾股定理知识，会利用三角形旋转性质结合

ZABC=45°ffiZACB=90",利用余角证AE_LBD,利用等式性质证NDCE=90。，利用勾股定理求DE,结合NADC=45。

证RtAADE,会用勾股定理求AE使问题得以解决.

23、（1）W=-10x2+1400x-40000；（2）销售单价应定为1元；（3）销售单价定为2元时，月销售利润达到最大.

【分析】（1）根据总利润=每千克的利润义月销量，即可求出月销售利润W与销售单价x之间的关系式，然后化为一

般式即可；

（2）将卬=800代入（1）的关系式中，求出x即可；

(3)根据获利不高于70%,即可求出x的取值范围，然后根据二次函数的增减性，即可求出当月销售利润达到最大

时，销售单价的定价.

【详解】解：(1)根据题意得，w=(x-40)(-lOx+1000)

=-10x2+1000x+400x-40000

=-10x2+1400x-40000；

(2)当W=-10x2+1400x-40000=8000时，

得至！Ix2-140x+4800=0,

解得：xi=LX2=80,

•••使顾客获得实惠，

答：销售单价应定为1元.

(3)W=-10x2+1400x-40000

=-10(x-70)2+9000

;获利不得高于70%,即x-40%0x70%,

•*.x<2.

V-10<0,对称轴为直线x=70

.•.当xW2时，y随x的增大而增大

.•.当x=2时,W最大=891.

答：销售单价定为2元时，月销售利润达到最大.

【点睛】

此题考查的是二次函数是应用，掌握实际问题中的等量关系、二次函数和一元二次方程的关系和利用二次函数的增减

性求值是解决此题的关键.

24、(1)AB=y/w,PD=2石；(2)P'B的最大值为1

【分析】(1)作辅助线，过点A作AEJLPB于点E,在RtAPAE中，已知NAPE,AP的值，根据三角函数可将AE,PE

的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtAABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；

求PD的值有两种解法，解法一：可将APAD绕点A顺时针旋转90。得到AP，AB,可得APADg^P'AB,求PD长即为

求产B的长，在RtAAP'P中，可将PP，的值求出，在RSPP'B中，根据勾股定理可将PB的值求出；

解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F,交PB于G,在RtAAEG中，可求出AG,EG的长，进而

可知PG的值，在RtAPFG中，可求出PF,在RtAPDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；

(2)将APAD绕点A顺时针旋转90°,得到AP&B,PD的最大值即为PB的最大值，故当P\P、B三点共线时，PB

取得最大值，根据P'B=PP"PB可求PB的最大值，此时NAPB=180"NAPP，=135。.

【详解】⑴①

如图，作于点E,

,.,△APE中，ZAPE=45°,PA=肥,

AE=PE=A/^X浮=1,

,:PB=4,：.BE=PB-PE=3»,

在RtAABE中，ZAEB=90°,

­­AB=VAE2+BE2='/10-

②解法一：

如图，因为四边形ABC。为正方形，可将

△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△PAB,

可得△P4O注△P'A5,PD=P'B,PA=P'A.

：.ZPAP'=90°,ZAPP,=45°,NPPB=90°

:.PP'=MPA=2,

:.PD=FB=河2+PB?=V22+42=2逐;

解法二：

如图，过点尸作48的平行线，与04的延长线交于尸，与ZM的

延长线交尸5于G.

在RtAAEG中，

AEAE2

可得AG=PG=PE-EG=-

cosZEAGcosZABE3

在RSPFG中,

可得