高中数学第三章三角恒等变换3 3几个三角恒等式教案苏教版必修4

3．3几个三角恒等式eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))教学分析本节主要内容为利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．在推导出了公式sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．本节后面的练习中之所以用证明的形式给出这个问题，只是为了让学生有一个正确完整的结论．和差化积、积化和差、万能代换以及半角公式都不要求记忆和运用，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度一降再降几乎不涉及了．三维目标1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．体会三角恒等变换在数学中的应用．2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生数学发现的欲望和信心．重点难点教学重点：推导积化和差、和差化积公式．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课时安排1课时eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))导入新课思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinα＋sinβ，sinα－sinβ，cosα＋cosβ，cosα－cosβ的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．思路2.(类比导入)我们知道logam＋logan＝loga(mn)，那么sinα＋sinβ等于什么呢？推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))和差化积公式的推导、万能公式的应用．在引入对数概念以后，我们还研究了它的运算，并得到了一些重要的结论，如logam＋logan＝loga(mn)．同样，在定义了三角函数以后，我们也应该考虑它的运算，如sinα＋sinβ＝？观察和角公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，容易得到sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.①由此，有sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．①的左边已经是两个正弦的和，因此，只要进行简单的变形，就可以回答sinα＋sinβ＝？这个问题了．令α＋β＝θ，α－β＝φ，代入①得sinθ＋sinφ＝2sineq\f(θ＋φ,2)coseq\f(θ－φ,2)，从而有sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2).②为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数．二元方程要求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ后，解相应地以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果．得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与前者没有什么区别．只需做个变换，令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝eq\f(θ＋φ,2)，β＝eq\f(θ－φ,2)，代入①式即得②式．证明：(1)因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，即sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．(2)由(1)可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.①设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝eq\f(θ＋φ,2)，β＝eq\f(θ－φ,2).把α、β的值代入①，即得sinθ＋sinφ＝2sineq\f(θ＋φ,2)coseq\f(θ－φ,2).类似的还能得到sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)，cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)，cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2).以上四个公式我们称其为和差化积公式．教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，可以总结出在本例的证明过程中，用到了换元的思想，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式变换成θ，φ的三角函数式．另外，把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x，y的方程，通过解方程求得x，这就是方程思想的体现．利用前面所学的三角函数公式还能推出很多有用的恒等式，我们先来探究一个具体问题．设taneq\f(α,2)＝t.(1)求证：sinα＝eq\f(2t,1＋t2)，cosα＝eq\f(1－t2,1＋t2)，tanα＝eq\f(2t,1－t2)；①(2)当t＝2时，利用以上结果求3cos2eq\f(α,2)－2sinα＋sin2eq\f(α,2)的值．(1)证明：由二倍角公式，得sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(2sin\f(α,2)cos\f(α,2),cos2\f(α,2)＋sin2\f(α,2))＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq\f(2t,1＋t2)，tanα＝eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq\f(2t,1－t2).再由同角三角函数间的关系，得cosα＝eq\f(sinα,tanα)＝eq\f(\f(2t,1＋t2),\f(2t,1－t2))＝eq\f(1－t2,1＋t2).(2)解：3cos2eq\f(α,2)－2sinα＋sin2eq\f(α,2)＝2cos2eq\f(α,2)＋1－2sinα＝2＋cosα－2sinα＝2＋eq\f(1－t2,1＋t2)－eq\f(4t,1＋t2)＝eq\f(3＋t2－4t,1＋t2)＝－eq\f(1,5).公式①称为万能代换公式，利用万能代换公式，可以用taneq\f(α,2)的有理式统一表示α角的任何三角函数值．图1中的直角三角形可以帮助你更好地理解万能代换公式．图1eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))思路1例1已知sinx－cosx＝eq\f(1,2)，求sin3x－cos3x的值．活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3＝a3－b3－3ab(a－b)，∴a3－b3＝(a－b)3＋3ab(a－b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx与sinx±cosx之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求解，即sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)3＋3sinxcosx(sinx－cosx)＝eq\f(11,16).此方法往往适用于sin3x±cos3x的化简问题．解：由sinx－cosx＝eq\f(1,2)，得(sinx－cosx)2＝eq\f(1,4)，即1－2sinxcosx＝eq\f(1,4)，∴sinxcosx＝eq\f(3,8).∴sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)＝eq\f(1,2)(1＋eq\f(3,8))＝eq\f(11,16).点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法.变式训练已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，且eq\f(π,2)≤θ≤eq\f(3π,4)，则cos2θ的值是__________．答案：－eq\f(7,25)例2已知eq\f(cos4A,cos2B)＋eq\f(sin4A,sin2B)＝1，求证：eq\f(cos4B,cos2A)＋eq\f(sin4B,sin2A)＝1.活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A、B的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A、B角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a2＋b2＝1的形式，可利用三角代换．证法一：∵eq\f(cos4A,cos2B)＋eq\f(sin4A,sin2B)＝1，∴cos4Asin2B＋sin4Acos2B＝sin2Bcos2B.∴cos4A(1－cos2B)＋sin4Acos2B＝(1－cos2B)cos2B，即cos4A－cos2B(cos4A－sin4A)＝cos2B－cos4B.∴cos4A－2cos2Acos2B＋cos4B＝0.∴(cos2A－cos2B)2＝0.∴cos2A＝cos2B.∴sin2A＝sin2B.∴eq\f(cos4B,cos2A)＋eq\f(sin4B,sin2A)＝cos2B＋sin2B＝1.证法二：令eq\f(cos2A,cosB)＝cosα，eq\f(sin2A,sinB)＝sinα，则cos2A＝cosBcosα，sin2A＝sinBsinα.两式相加得1＝cosBcosα＋sinBsinα，即cos(B－α)＝1.∴B－α＝2kπ(k∈Z)，即B＝2kπ＋α(k∈Z)．∴cosα＝cosB，sinα＝sinB.∴cos2A＝cosBcosα＝cos2B，sin2A＝sinBsinα＝sin2B.∴eq\f(cos4B,cos2A)＋eq\f(sin4B,sin2A)＝eq\f(cos4B,cos2B)＋eq\f(sin4B,sin2B)＝cos2B＋sin2B＝1.点评：要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元．思路2例题证明eq\f(1＋sinx,cosx)＝tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))．活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角eq\f(x,2)，三角函数的种类为正切．证法一：从右边入手，切化弦，得tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))＝eq\f(sin\f(π,4)＋\f(x,2),cos\f(π,4)＋\f(x,2))＝eq\f(sin\f(π,4)cos\f(x,2)＋cos\f(π,4)sin\f(x,2),cos\f(π,4)cos\f(x,2)－sin\f(π,4)sin\f(x,2))＝eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2),cos\f(x,2)－sin\f(x,2))，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以coseq\f(x,2)＋sineq\f(x,2)，得eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)2,cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)cos\f(x,2)－sin\f(x,2))＝eq\f(1＋sinx,cosx).证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得eq\f(1＋sinx,cosx)＝eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)2,cos\f(x,2)＋sin\f(x,2)cos\f(x,2)－sin\f(x,2))＝eq\f(cos\f(x,2)＋sin\f(x,2),cos\f(x,2)－sin\f(x,2)).由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以coseq\f(x,2)，得eq\f(1＋tan\f(x,2),1－tan\f(x,2))＝eq\f(tan\f(π,4)＋tan\f(x,2),1－tan\f(π,4)tan\f(x,2))＝tan(eq\f(π,4)＋eq\f(x,2))．点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练求证：eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,2tanθ)＝eq\f(1＋sin4θ＋cos4θ,1－tan2θ).分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,1＋sin4θ＋cos4θ)＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)，此式右边就是tan2θ.证明：原等式等价于eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,1＋sin4θ＋cos4θ)＝tan2θ.而上式左边＝eq\f(sin4θ＋1－cos4θ,sin4θ＋1＋cos4θ)＝eq\f(2sin2θcos2θ＋2sin22θ,2sin2θcos2θ＋2cos22θ)＝eq\f(2sin2θcos2θ＋sin2θ,2cos2θsin2θ＋cos2θ)＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))1．若sinα＝eq\f(5,13)，α在第二象限，则taneq\f(α,2)的值为()A．5B．－5C.eq\f(1,5)D．－eq\f(1,5)2．设5π<θ<6π，coseq\f(θ,2)＝a，则sineq\f(θ,4)等于()A.eq\r(\f(1＋a,2))B.eq\r(\f(1－a,2))C．－eq\r(\f(1＋a,2))D．－eq\r(\f(1－a,2))3．已知sinθ＝－eq\f(3,5)，3π<θ<eq\f(7π,2)，则taneq\f(θ,2)＝__________.答案：1．A2.D3.－3eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业))课本复习题9、10.eq\o(\s\up7(),\s\do5(设计感想))1．本节主要学习了怎样推导半角公式，积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．eq\o(\s\up7(),\s\do5(备课资料))一、1.一道给值求角类问题错解点击．解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．例题：若sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，α、β均为锐角，求α＋β的值．错解：∵α为锐角，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(2\r(5),5).又β为锐角，∴cosβ＝eq\r(1－sin2β)＝eq\f(3\r(10),10).∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(\r(2),2).∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°.∴α＋β＝45°或135°.点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝eq\f(\r(2),2)，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sinα＝eq\f(\r(5),5)<eq\f(1,2)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)<eq\f(1,2)，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝eq\f(\r(2),2)(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝eq\f(\r(2),2)，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．2．如何进行三角恒等变式的证明．三角恒等式证明的基本方法：师：如何利用同角三角函数的基本关系式对三角恒等式进行证明呢？(1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简．(2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．(3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦．(4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)．(5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．(6)可采用比较法，即“eq\f(左边,右边)＝1”或“左边－右边＝0”．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异；(2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系；(3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．二、备用习题1．已知tanx＝－3，则sin2x＝________，cos2x＝________.2．已知tanα＝2，则cos2α等于()A．－eq\f(1,3)B．±eq\f(1,3)C．－eq\f(3,5)D．±eq\f(3,5)3．下列各式化成和差的形式分别是：(1)sin(eq\f(π,3)＋2x)cos(eq\f(π,3)－2x)；(2)coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2).4．设α、β≠kπ＋eq\