第22章二次函数求二次函数解析式的九种方法课件人教版数学九年级上册提分法

第8招求二次函数解析式的九种方法九年级数学（上）极速提分法已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－3)，且过点P(2，0)，求这个二次函数的解析式．

例解题方法：用待定系数法，结合已知条件设出顶点式，再将点P的坐标代入求解．解：∵二次函数图象的顶点坐标为(1，－3)，∴可设这个二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－3.又∵函数图象过点P(2，0)，∴a(2－1)2－3＝0，解得a＝3.∴这个二次函数的解析式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.方法1利用一般式求二次函数解析式1.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AB，AC，BC，求△ABC的面积．2.已知抛物线C：y1＝－x2＋mx＋n，直线l：y2＝kx＋b，抛物线C的对称轴与直线l交于点A(－1，5)，点A与抛物线C的顶点B的距离是4.方法2利用顶点式求二次函数解析式(1)求抛物线C的解析式；解：∵抛物线C：y1＝－x2＋mx＋n的对称轴与直线l：y2＝kx＋b交于点A(－1，5)，点A与抛物线C的顶点B的距离是4，∴B(－1，1)或(－1，9)，∴y1＝－(x＋1)2＋1或y1＝－(x＋1)2＋9，即抛物线C的解析式为y1＝－x2－2x或y1＝－x2－2x＋8.(2)若y2随着x的增大而增大，且抛物线C与直线l都经过x轴上的同一点，求直线l的解析式．【点方法】根据题目条件，易得抛物线C的顶点B的坐标，然后利用顶点式求其解析式．3.如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．方法3利用交点式求二次函数解析式(1)求此抛物线的解析式；解：由抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)和点B(3，0)，可知抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)，即y＝－x2＋2x＋3.(2)直接写出点C和点D的坐标；解：C(0，3)，D(1，4)．(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点的坐标．【点方法】当遇到抛物线与x轴交于某两个点求抛物线解析式的问题时，设交点式可简便运算．方法4利用平移法求二次函数解析式4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是(1，0)．

(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围；解：把点B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1.∴A(2，1)，抛物线的对称轴为直线x＝2.易知B，C关于直线x＝2对称，∴C(3，0)．当y＞0时，1＜x＜3.(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．解：易知点D的坐标为(0，－3)，∴要使点D恰好落在点A的位置上，则抛物线就要向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，可得平移后图象所对应的二次函数的解析式为y＝－(x－4)2＋5.5.如图，抛物线y＝ax2＋bx过点B(1，－3)，对称轴是直线x＝2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A.方法5利用对称轴求二次函数解析式(1)求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；(2)在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．解：如图，过P点作PF⊥x轴于点F，过B点作BE⊥x轴于点E，由点P在抛物线上，可设P点的坐标为(t，t2－4t)，易知PF＝t2－4t，F(t，0)，E(1，0)，A(4，0)，BE＝3，∴AE＝3，AF＝4－t，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠BAE＝45°.6.【2023·南充】如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高方法6利用图象中的信息求二次函数解析式2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m，那么喷头高________m时，水柱落点距O点4m.8【点拨】以O为原点，水平线为x轴，建立直角坐标系．由题意知，调整喷头高度，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，设y＝ax2＋bx＋2.5，将点(2.5，0)的坐标代入得2.5a＋b＋1＝0，当喷头高4m时，可设y＝ax2＋bx＋4，将点(3，0)的坐标代入得9a＋3b＋4＝0，联立方程组求出a，b的值，设喷头高hm时，水柱落点距O点4m，则此时y＝ax2＋bx＋h，将点(4，0)的坐标代入可求出h.7.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：方法7利用表格信息求二次函数解析式x…－2－1012…y…m0－3n－3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向______，对称轴为________；(2)求抛物线的解析式及m，n的值；上直线x＝1解：把x＝－1，y＝0；x＝0，y＝－3；x＝2，y＝－3分别代入y＝ax2＋bx＋c，(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？解：画出抛物线，描出点P′的轨迹，是一条抛物线，如图所示．(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：__________________．A3A4－A1A2＝1【点拨】设A1，A2，A3，A4的横坐标依次为x1，x2，x3，x4，易得x1＋x4＝2，x2＋x3＝1，∴A3A4－A1A2＝(x4－x3)－

(x2－x1)＝(x4＋x1)－(x3＋x2)＝2－1＝1.8.为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2(如图)．方法8利用几何建模求二次函数解析式(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．解：y＝x(36－2x)＝－2x2＋36x(9≤x＜18)．【点拨】先用含x的式子表示BC的长，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式，最后由BC的长大于0m且不大于

18m列不等式组求解即可得到x的取值范围；(2)若矩形空地的面积为160m2，求x的值．解：由题意得－2x2＋36x＝160，解得x＝10或x＝8.∵x的取值范围为9≤x＜18，∴x的值为10.【点拨】令y＝160，列出关于x的一元二次方程求解即可；(3)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵，每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表．

甲乙丙单价/元141628合理用地面积/(平方米/棵)0.410.4丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．解：∵y＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162，∴当x＝9时，y取得最大值162.设购买了乙种植物a棵，购买了丙种植物b棵，由题意得14(400－a－b)＋16a＋28b＝8600，∴a＋7b＝1500.∴b的最大值为214，此时a＝2.需要种植的面积＝0.4×(400－214－2)＋1×2＋0.4×214＝161.2(m2)．∵161.2m2＜162m2，∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．【点拨】根据题意求出购买丙种植物的最大棵数，并计算出此时的种植面积，然后与这块空地的最大面积比较即可．9.某公司电商平台，在五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x、周销售量y、周销售利润W(元)的三组对应值数据．方法9利用建立实际问题模型求二次函数解析式(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)．x407090y1809030W360045002100(2)若该商品进价为a(元/件)，售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大周销售利润．解：由题意知周销售利润W＝(－3x＋300)(x－a)，把x＝40，W＝3600代入解析式，可得3600＝(－3×40＋300)(40－a)，解得