第十九章 一次函数 知识串讲+热考题型（原卷版）

八年级下册数学《第十九章一次函数》本章知识综合运用三个概念三个概念●●1、变量与函数：◆常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量.◆变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做常量.●●2、函数：◆函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.◆函数值的定义：如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.●●3、一次函数：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．特别地当b=0时，它就是正比例函数.正比例函数的概念：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．两个图象两个图象●●1、函数的图象：◆函数图象的定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.◆描点法画函数图象的一般步骤如下：第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.●●2、一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是经过（0，b）、（-bk，0）两点的一条直线，我们称它为直线y＝kx+b（k≠0）.当b=0时，它是正比例函数y=kx(k≠0)，它的图象是经过原点（0,0）和点(1，k一个性质一个性质●●1、一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0时，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．●●2、一次函数图象与系数的关系：当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．当b=0时，（0，b）在原点，直线经过原点．①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；③＞0，b=0⇔y＝kx+b的图象在一、三象限；④k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；⑤k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．⑥k＜0，b=0⇔y＝kx+b的图象在二、四象限．两个方法两个方法确定一次函数解析式的一般常用方法：一是待定系数法；二是平移法.●●1、待定系数法◆定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法.◆待定系数法求一次函数解析式一般步骤：设：设一次函数的一般形式y＝kx+b；（2）列：把图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式，组成二元一次方程组；（3）解：解二元一次方程组得k，b；（4）还原：把k，b的值代入一次函数的解析式．●●2、平移法将直线y＝kx（k≠0）沿着y轴平移|b|个单位得到直线y＝kx+b．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．【注意】①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；三个关系三个关系●●1、一次函数与一元一次方程的关系从“数”的角度看:求ax+b＝0（a≠0）的解就是函数y＝ax+b（a≠0）中，y=0时，x的值.从“形”的角度看：求ax+b＝0（a≠0）的解就是直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标.●●2、一次函数与二元一次方程（组）的关系从“数”的角度看：解方程组，相当于当求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看：解方程组，相当于确定的两条直线的交点坐标.●●3、一次函数与一元一次不等式（组）的关系从“数”的角度看：就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从“形”的角度看：就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．一个应用一个应用●●一次函数的应用◆1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题.◆2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤：审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系；设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式；解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题；得出结果.题型一题型一确定函数自变量的取值范围【例题1】（2023春•江阴市期中）函数y=3x+2中自变量A．x＞2 B．x＞﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜﹣2解题技巧提炼自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．【变式1-1】（2023•苏州一模）函数y=1x-1中自变量A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≠1【变式1-2】（2023春•花山区校级期中）函数y=x+1x的自变量A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＞﹣1或x≠0 D．x≥﹣1且x≠0【变式1-3】（2023春•海淀区期中）函数y=xx-5中，自变量x的取值范围是【变式1-4】（2023•白塔区一模）函数y=1x+x-1中自变量x的取值范围是题型二实际问题中的函数图象题型二实际问题中的函数图象【例题2】（2023•嵊州市一模）小刚从家里出发，以400米/分钟的速度匀速骑车5分钟后就地休息了6分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回家里掎回家里，s表示离家路程，t表示骑行时间，下列函数图象能表达这一过程的是（）A． B． C． D．解题技巧提炼正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义，抓住关键点，如起点、交点、终点的意义，明确图象变化趋势、快慢的意义.实际问题的过程，就能够识别实际问题中的函数图象.【变式2-1】（2023•盐田区二模）佳佳和爸爸一起从家出发，匀速行走25min后抵达离家1000m的报亭，佳佳随即按原速返回，爸爸看了10min报后返回，恰好与佳佳同时到家．则表示爸爸离家后距离与时间关系的大致图象是（）A． B． C． D．【变式2-2】（2023•温州模拟）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（）A．B． C．D．【变式2-3】（2023春•济阳区期中）在1000米中长跑考试中，小明开始慢慢加速，当达到某一速度后保持匀速，最后200米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小明跑步时的速度y（单位：米/分）与时间x（单位：分）之间的大致图象的是（）A．B． C．D．【变式2-4】（2023•安徽模拟）把一个长方体铁块放在如图所示的注满水的圆柱形容器内，容器底部有个水龙头，现打开水龙头按一定的速度放水，1min后将容器内水放完．那么容器内水面的高度y（cm）与放水时间x（s）之间的函数关系图象大致是（）A．B． C．D．题型三题型三从函数图象中获取信息解决问题【例题3】（2023春•道里区校级月考）某油库有一储油量为40吨的储油罐，在开始的一段时间内只开进油管，不开出油管；在随后的一段时间内既开进油管，又开出油管直至储油罐装满油，若储油罐中的储油量（吨）与时间（分）的函数关系如图所示．现将装满油的储油罐只开出油管，不开进油管，则放完全部油所需的时间是（）A．16min B．20min C．24min D．44min解题技巧提炼函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．【变式3-1】（2023•南岗区校级二模）某天早晨，小明从家出发步行上学，小明爸爸发现若小明按目前步行速度每分钟100米的速度上学则要迟到，于是立即骑上自行车从家出发追赶小明，追上小明后带着小明一起到学校，结果比小明步行到达学校少用3分钟，假设步行和骑车的速度均为匀速，如图表示小明爸爸出发时间x（分钟）与离家距离y（米）的函数图象，则小明家到学校的距离是（）米．A．500 B．600 C．1500 D．1600【变式3-2】（2022秋•巴彦县期末）某超市对某种水果采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量x（kg）与所需金额y（元）的函数关系如图所示，小丽用100元去购买该种水果，则她购买的数量为（）A．18kg B．19kg C．20kg D．21kg【变式3-3】（2023春•嵩县期中）小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，小李先出发行驶0.5h后小陆出发，他们离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的关系图象如图所示，根据图中的信息，有下列说法：①他们都行驶了20km；②小陆全程共用了2h；③小陆出发后1h，小陆和小李相遇；④小李在途中停留了0.5h；其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-4】（2023•历下区二模）已知A，B两地相距1500米，甲步行沿一条笔直的公路从A地出发到B地，乙骑自行车比甲晚5分钟从B地出发，沿同一条公路到达A地后立刻以原速度返回，并与甲同时到达B地，甲、乙离A地的距离y（米）与甲行走时间x（分）的函数图象如图所示，则甲出发后两人第一次相遇所需的时间是（）A．132分钟 B．7分钟 C．152分钟 D．【变式3-5】（2023•西城区校级模拟）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（）cm2．​A．24 B．12 C．18 D．21题型四正比例函数的定义题型四正比例函数的定义【例题4】（2023春•长沙期中）下列函数是正比例函数的是（）y=x3 B．y=3x C．y＝x2+1 D．y解题技巧提炼正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．【变式4-1】（2022春•长安区校级期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y=x3；③y=1x；④y＝A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式4-2】（2023春•通州区期中）已知函数y＝（m+1）x+m2﹣1是正比例函数，则常数m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．±1【变式4-3】（2022春•新华区校值为（）A．0 B．1 C．0或2 D．2【变式4-4】已知y关于x的函数y＝x|m﹣1|+m2﹣4是正比例函数，则m的值是．题型五正比例函数的图象与性质题型五正比例函数的图象与性质【例题5】已知正比例函数y=57x，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解题技巧提炼1、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，因此可以用“两点法”画正比例函数的图象，所以经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．2、正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．【变式5-1】（2023•金牛区模拟）在平面直角坐标系xOy中，若正比例函数y＝（n﹣1）x的图象经过第一、三象限，则n的取值范围是．【变式5-2】（2020•铜川一模）对于正比例函数y＝﹣3x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（）A．﹣3 B．3 C．-13 D【变式5-3】（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（）A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2）【变式5-4】（2023•东胜区模拟）一次函数y＝（1﹣m）x的图象如图所示，则化简1-2m+mA．2m﹣1 B．1﹣2m C．2m D．1题型六一次函数的定义题型六一次函数的定义【例题6】（2023春•渝中区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（）A．y=-12x2+5xC．y＝3x+5 D．y=解题技巧提炼判断函数式是否是一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx+b的结构特征：（1）k≠0；（2）自变量的次数为1；（3）常数项b可以为任意实数.【变式6-1】（2023春•普陀区期中）下列关于x的函数中，一次函数是（）A．y=x-2 B．y=1x+1 C．y＝x2+2 D．y【变式6-2】下列函数①y＝﹣x+3；②y=3x；③y＝x2﹣1；④y＝x（x﹣1）﹣x2，是关于A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式6-3】（2022春•微山县期末）已知函数y＝（m﹣3）xm2-8+4是关于A．m＝±3 B．m≠3 C．m＝3 D．m＝﹣3【变式6-4】已知关于x的函数y＝（m+1）x2﹣|m|+n+4．（1）当m，n为何值时，此函数是一次函数？（2）当m，n为何值时，此函数是正比例函数？题型七一次函数的图象题型七一次函数的图象【例题7】（2022秋•市北区校级期末）下列图象中，可以表示一次函数y＝kx﹣b与正比例函数y＝kbx（k，b为常数，且kb≠0）的图象不可能的是（）A．B．C．D．解题技巧提炼一次函数的图象的画法是用“两点法”画：即经过两点（0，b）、（-bk，0）作直线y＝kx+【变式7-1】（2023春•福州期中）若k＞0，b＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（）A．B． C．D．【变式7-2】（2022秋•黄岛区校级期末）如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（）A．B． C．D．【变式7-3】（2023春•璧山区校级期中）两条直线y1＝ax+b与y2＝bx+a在同一坐标系中的图象可能是图中的（）A．B． C．D．【变式7-4】（2023•蚌山区校级二模）在平面直角坐标系中，已知m为常数，且m≠2，m≠3，则关于x的一次函数y＝（m﹣3）x+4﹣2m与y＝（4﹣2m）x+m﹣3的图象可能是（）A．B． C．D．题型八一次函数的性质题型八一次函数的性质【例题8】（2023•定远县模拟）下列函数中，y随x的增大而增大的是（）A．y＝﹣3x B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣3x+10 D．y＝﹣2x﹣1解题技巧提炼1、当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．2、当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．【变式8-1】（2023春•昆明期中）已知点A（﹣2，m），B（3，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．无法确定【变式8-2】（2023春•海安市期中）已知一次函数y＝﹣0.5x+2，当1≤x≤4时，y的最大值是（）A．2 B．1.5 C．2.5 D．﹣6【变式8-3】（2023春•龙凤区期中）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，下列说法：①ak＜0；②函数y＝ax+k不经过第一象限；③函数y＝ax+b中，y随x的增大而增大；④3k+b＝3+a；其中说法正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式8-4】（2023春•海安市期中）已知实数x，y满足2x﹣y＝4，并且x≥0，y≤1，则S＝x﹣y的最小值是（）A．﹣1 B．32 C．53 D【变式8-5】已知一次函数y＝（4+2m）x+m﹣4，求：（1）m为何值时，y随x的增大而减小？（2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？（3）m为何值时，图象经过第一、三、四象限？（4）图象能否过第一、二、三象限？题型九用待定系数法求一次函数的解析式题型九用待定系数法求一次函数的解析式【例题9】若点A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）在同一条直线上，则a的值是（）A．6或﹣6 B．6 C．﹣6 D．6和3解题技巧提炼本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，若同时有多个点可以选择时，往往选取数值较小，且容易计算的点的坐标代入求值.【变式9-1】（2021•陕西模拟）一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，3），每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数表达式是（）A．y＝x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x﹣3 D．y＝4x﹣4【变式9-2】标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长（）A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8【变式9-3】（2022秋•仪征市期末）如图，一次函数y=43x-4的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，过点A作直线l将△ABO分成周长相等的两部分，则直线l【变式9-4】（2023春•如东县期中）已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝1时，y＝7．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设点（a，﹣2）在（1）中函数的图象上，求a的值．题型十一次函数图象与几何变换题型十一次函数图象与几何变换【例题10】（2023春•长沙期中）将直线y＝2x向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（）A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+2 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣2解题技巧提炼一次函数图象的平移规律：一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”.①y=kx+b向左平移m个单位是y=k(x+m)+b,向右平移m个单位是y=k(x﹣m)+b；②y=kx+b向上平移n个单位是y=kx+b+n,向下平移n个单位是y=kx+b﹣n.【变式10-1】（2023•雁塔区校级模拟）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，4），当x增加一个单位长度时，y增加3个单位长度，则将此函数的图象向左平移2个单位长度得到的图象所对应的函数表达式是（）A．y＝3x+4 B．y＝3x﹣8 C．y＝3x+3 D．y＝3x﹣3【变式10-2】（2023•滑县二模）在平面直角坐标系中，将y＝﹣2x+1向下平移3个单位，所得函数图象过（a，3），则a的值为．【变式10-3】（2023春•如东县期中）把直线y＝2x+1向左平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，则得到的直线是．【变式10-4】（2023•礼泉县二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-23x+3经过点A，点A的横坐标为3，点A（1）求点B的坐标；（2）将直线l沿y轴向下平移得到直线l′，l′与y轴交于点C，若△ABC的面积为3，求平移后的直线l′的函数表达式．题型十一一次函数与一元一次方程题型十一一次函数与一元一次方程【例题11】（2023春•渝中区校级期中）如图，直线y＝3x与y＝kx+b相交于点P（m，3），则关于x的方程kx+b＝3的解是（）​A．x=12 B．x＝1 C．x＝2 D．x解题技巧提炼解关于x的一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0），从“数”的角度来看,相当于当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值；从“形”的角度来看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值．【变式11-1】（2022•市南区校级二模）若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（）A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5）【变式11-2】（2022春•长葛市期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（）A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20【变式11-3】已知关于x的方程mx+3＝4的解为x＝1，则直线y＝（m﹣2）x﹣3一定不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式11-4】如图，一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝kx的图象交于点P（﹣2，﹣1），则关于x的方程ax+b＝kx的解是．题型十二一次函数与二元一次方程（组）题型十二一次函数与二元一次方程（组）【例题12】（2023•延安一模）已知二元一次方程组x-y=-5x+2y=-2的解为x=-4y=1，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y=-12A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1）解题技巧提炼利用二元一次方程组的解可以确定两个一次函数图象的交点坐标，反之，根据两个一次函数图象的交点坐标，可以确定二元一次方程组的解.【变式12-1】已知二元一次方程组x-y=-5x+2y=-2的解为x=-4y=1，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y=-12x﹣1的交点坐标为【变式12-2】（2022秋•沈河区期末）已知直线y＝3x与y＝﹣2x+b的交点为（﹣1，a），则方程组y-3x=0y+2x-b=0A．x=-1y=-3 B．x=-1y=3 C．x=1y=-3 【变式12-3】在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组y-kA．x=1y=1 B．x=1y=2 C．x=2y=1 【变式12-4】（2022秋•中宁县期末）如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（﹣4，﹣2），则关于x，y的二元一次方程组y=ax+by=kx的解是题型十三一次函数与一元一次不等式（组）题型十三一次函数与一元一次不等式（组）【例题13】（2023•婺城区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与两坐标轴的交点分别为（2，0），（0，3），则不等式ax+b＞0的解为（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3解题技巧提炼1、代数法：将题中信息转化为解不等式，可求出不等式的解集；2、图象法：先找出直线与坐标轴的交点，画出函数的图象，再观察图象，确定两直线的交点坐标，最后观察图象交点两侧直线的位置，直接得出不等式的解集.【变式13-1】（2023春•即墨区期中）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，1）两点，则不等式﹣kx﹣b＜0的解集为（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2【变式13-2】（2023春•台江区期中）一次函数y1＝kx﹣1（k≠0）与y2＝﹣x+2的图象如图所示，当x＜1时，y1＜y2，则满足条件的k的取值范围是（）A．k＞﹣1，且k≠0 B．﹣1≤k≤2，且k≠0 C．k＜2，且k≠0 D．k＜﹣1或k＞2【变式13-3】（2023春•龙泉驿区期中）如图，已知一次函数y1＝﹣2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为线段AB的中点，一次函数y2＝x+b与x轴交于点D．（1）当一次函数y2＝x+b经过点C时，若y1≤y2，请直接与写出x的取值范围；（2）当x＜3时，若y1＞y2，结合图象直接写出b的取值范围．【变式13-4】（2022春•明+b（k、b为常数，且k≠0）的图象（如图1）．（1）方程kx+b＝0的解为，不等式kx+b＜4的解集为；（2）正比例函数y＝mx（m为常数，且m≠0）与一次函数y＝kx+b相交于点P（如图2），则不等式组mx＞0kx+b＞0的解集为（3）比较mx与kx+b的大小（直接写出结果）．题型十四一次函数的实际应用题型十四一次函数的实际应用【例题14】（2023•碑林区校级模拟）星期天早晨，小明从家出发跑步锻炼身体，他沿一条直路跑到与家相距1600m的公园．小明出发的同时，他的爸爸以64m/min的速度从公园出发沿同一条道路散步回家．小明在公园休息2min后沿原路以原速跑回．设他们出发后经过xmin时，小明与家之间的距离为y1m，小明爸爸与家之间的距离为y2m，图中折线OABD、线段EF分别表示y1、y2与x之间的函数关系的图象．（1）求y2与x之间的函数关系式；（2）小明从公园开始返回到爸爸回家之前，x为何值时，两人相遇？解题技巧提炼一次函数的实际应用，通常是待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与方程（组）、不等式（组）的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【变式14-1】（2023•洪山区模拟）甲，乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲，乙两车行驶的路程y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数图象，则在乙车行驶的过程中两车相距40km时，乙车行驶的时间为（）A．74或114h B．52或92h C．12或【变式14-2】（2023•洛阳三模）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）当入园次数12次时选择哪种卡消费比较合算．【变式14-3】（2023春•旅顺口区期中）某工厂甲，乙两组工人同时加工某种机器零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍，两组各自加工零件的数量y（单位：件）与时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．（1）甲组的工作效率是件/h；图中a的值为；（2）求乙组更换设备后加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式；（3）当x为何值时，甲、乙两组一共加工零件500件？【变式14-4】（2023•周口二模）党的二十大报告在总结新时代伟大变革时强调，十年来，我们经历了对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事，其中之一就是完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标．为了振兴乡村经济，脱贫致富，某市为定点帮扶乡免费提供一种优质草莓及栽培技术，鼓励广大农户种植草莓，并将这些草莓精加工成A，B两种饮料进行销售．某经销商购进A，B两种草莓饮料，A种草莓饮料进价为30元/箱；B种草莓饮料的进货总金额y（单位：元）与B种草莓饮料进货量x（单位：箱）之间的关系如图所示．已知A，B两种草莓饮料的售价分别为42元/箱和50元/箱．（1）求出0＜x＜1000和x＞1000时，y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商购进A，B两种草莓饮料共5000箱，并能全部售出．其中B种草莓饮料的进货量不低于1000箱，且不高于4000箱，求销售完A，B两种草莓饮料所获总利润W的最大值．题型十五一次函数的应用---方案选择与设计题型十五一次函数的应用---方案选择与设计【例题15】（2022秋•江北区期末）某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾区安置点，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满，根据表提供的信息，解答下列问题：物资种类食品药品生活用品每辆汽车运载量/吨654每吨所需运费/元120160100（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x的函数解析式；（2）若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于6，则车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采取哪种安排方案？并求出最少运费．解题技巧提炼选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断筛选出最佳方案的过程，此类问题往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起.【变式15-1】（2023•洛阳二模）双流某商场购进A、B两种服装共100件，已知购进这100件服装的费用不得超过18750元，且其中A种服装不少于65件，它们的进价和售价如表．服装进价（元/件）售价（元/件）A200300B150240其中购进A种服装为x件，如果购进的A、B两种服装全部销售完，根据表中信息，解答下列问题．（1）求获取总利润y元与购进A种服装x件的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）该商场对A种服装以每件优惠m（0＜m＜20）元的售价进行优惠促销活动，B种服装售价不变，那么该商场应如何调整A、B服装的进货量，才能使总利润y最大？【变式15-2】（2022秋•贵池区期末）某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋600千克．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出400千克，乙养殖场每天最多可调出450千克，从甲、乙两养殖场调运鸡蛋到该超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米）运费（元/千克•千米）甲养殖场900.05乙养殖场400.03设从甲养殖场调运鸡蛋x千克，总运费为W元．（1）从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为，从乙养殖场需要调运鸡蛋的数量，用代数式表示为；（2）试写出W与x的函数关系式；（3）怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少？【变式15-3】（2022•陕西模拟）冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如表：A款玩偶B款玩偶进货价（元/个）2015销售价（元/个）2820（1）第一次小冬550元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．（2）第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？题型十六一次函数与图形的面积题型十六一次函数与图形的面积【例题16】（2022•盐城开学）如图，已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，直线AB的函数解析式是y=-43x（1）求证：△ABC≌△BAO；（2）求△ABC的面积．解题技巧提炼一次函数与几何图形的面积问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．【变式16-1】（2023春•普陀区期中）如图，在平面直角坐标xOy中，已知直线AB：y＝2x+4与直线CD相交于点P（m，6），且直线CD与y轴交于点C（0，7）．（1）求直线CD的表达式；（2）求四边形PAOD的面积；【变式16-2】（2022春•金川区校级期中）如图，直线y=43x+4交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝kx﹣2k交x轴于点C，交y轴正半轴于点D，交直线AB于点（1）求AC的长；（2）若S△AOB＝S△EAC，求点E的坐标及直线CD的解析式．【变式16-3】如图，在直角坐标系中，经过点A（2，6）、点B（10，2）的直线与两条坐标轴分别相交于C、D两点，点P是x轴上的一点（1）求直线AB的函数解析式；（2）若∠APB＝90°，求△APB的面积；（3）若△APB的面积等于20，求P的坐标．题型十七一次函数与动点运动问题题型十七一次函数与动点运动问题【例题17】（2023•金水区校级三模）正方形ABCD与正方形BEFG按照如图所示的位置摆放，其中点E在AB上，点G、B、C在同一直线上，且AB＝4，BE＝2，正方形BEFG沿直线BC向右平移得到正方形B′E′F′G′，当点G′与点C重合时停止运动，设平移的距离为x，正方形B′E′F′G′与正方形ABCD的重合部分面积为S，则S与x之间的函数图象可以表示为（）A．B． C．D．解题技巧提炼动点问题的函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，化动为静，通过看图获取信息，可以提高分析问题、解决问题的能力．【变式17-1】（2023•滨湖区校级一模）如图（1），点P为菱形ABCD对角线AC上一动点，点E为边CD上一定点，连接PB，PE，BE．图（2）是点P从点A匀速