2023届河北省唐山市一中等部分学校高三年级上册12月月考数学试题

唐山市部分学校2023届高三上学期12月月考

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无

效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A=N«„2},8={尤|凶<2},则AcB=（）

A.{x|-2<x<2}B.{x|0„x<2}

C.{Mx,2}D.{R—2<x,2}

2.已知z-（l+i）=4,则z的虚部为（）

A.-2B.2C.-2iD.2i

3.已知a=ln3,Z?=c=2，则（）

A.b<a<cB.a<c<b

C.a<b<cD.h<c<a

4.在数列{a,,}中，"数列{a“}是等比数歹厂是"a；的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

5.双曲线C：t—==l（a>0,0>0）的一条渐近线方程为*一6），=0,则。的离心率为（）

a~b~

A.汉IC.2D.也

33

6.若直线3x+y—a=0是曲线y=-41nx的一条切线，则实数”=（）

7.直线八方一。-3。+1=0被圆。：(％+1)2+。-2)2=25截得的弦长的最小值为()

A.4&B.4后C.3V2D.2后

8.如图，某几何体由两个相同的圆锥组成，且这两个圆锥有一个共同的底面，若该几何体的表面积为12%，体

积为V,则丫2的最大值为()

A处叵万2B.20G/C.史叵/D.24岳2

33

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知在某校运动会上，参加男子跳高比赛的8名运动员的成绩如图所示，设这8名运动员成绩的平均数是a

米，第40%分位数为8米，则()

A.Z?=1.75B.a=1.725C.b=l.7D.a=1.775

10.某大型商场开业期间为吸引顾客，推出单次消费满100元可参加抽奖活动，奖品为该商场的现金购物卡，

可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡面值y(元)的关系式为了=6侬+"+攵,3

等奖比4等奖面值多100元，比5等奖面值多120元，且4等奖面值是5等奖面值的3倍，则()

A.Q=-ln5B.2=15

等奖面值为3130元等奖面值为130元

11.已知抛物线。：/=4了的焦点为尸，过点尸的直线与抛物线相交于A8两点，下列结论正确的是()

A.若A(4,4),则|AF|=5

B.若E(2,3),则|AE|+|AF|的最小值为5

C.以线段AB为直径的圆与直线y=-1相切

D.若Ab=3FB，则直线AB的斜率为±百

12.在正方体ABCD-49中，A8=4,G为的中点，点p在线段fiC,上运动，点。在棱BC上运动，

M为空间中任意一点，则下列结论正确的有()

7171

A.异面直线。夕与44所成角的取值范围是

B.PQ+QG的最小值为2+2近

C.若33P=2PG，则平面AGP截正方体所得截面的面积是3万'

D.若M4+M£）=8，当三棱锥A—MB。的体积最大时，其外接球的表面积为人*

3

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知向量a=（2,T）,b=（/l,3）,若+则4=.

14.将函数/（x）=sin（2x+?）的图象向左或向右平移。（0＜。〈万）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若

g（x）是偶函数，则。的一个取值可能为.

15.《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若从一个阳马的8条棱中任取2

条，则这2条棱所在直线互相垂直的概率为.

16.已知（x+3y）（x-2y）6+…+仆,7,则q+/f+为=；dy*的系数为

.（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

A+r

在，一ABC中，内角ARC的对边分别为ag,c,且cosB+sinQ—=。.

（1）求角8的大小；

（2）若a：c=3:5,且AC边上的高为”走，求ABC的周长.

14

18.（12分）

设正项数列｛an｝的前n项和为Sn,且25“=a；+a,-2.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）若｛（。,用4）2%｝是首项为5,公差为2的等差数列，求数列｛2｝的前〃项和7；.

19.（12分）

如图，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=BC=2,ZABC=60,将qACD沿边AC翻折，使点。翻

折到P点，且P8=2jL

（1）证明：8C_L平面PAC.

（2）若E为线段PC的中点，求二面角E—AB—C的余弦值.

20.（12分）

甲、乙两个同学去参加学校组织的百科知识大赛，规则如下：甲先答2道题，至少答对1道题，乙同学才有机

会答题，乙同样答2道题.每答对1题可以得50分，己知甲答对每道题的概率都是P,乙答对第1道题的概率

为士,答对第2题的概率为2,乙有机会答题的概率为21.

5325

（1）求P；

（2）求甲与乙总得分X的分布列与数学期望.

21.（12分）

己知椭圆c：£+[=i（a>/?>o）与椭圆年+?=1的离心率相同，点为椭圆c上一点.

（1）求椭圆。的方程.

（2）若过点的直线/与椭圆。相交于A8两点，试问以A8为直径的圆是否经过定点M?若存在,

求出M的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（12分）

己知函数/（x）=er-ax2.

（1）/（x）在（0,+。）上单调递增，求”的取值范围；

（2）若见1,证明：当x..O时，/（x）..（e—2）x+a.（参考数据：In2ao.69）

唐山市部分学校2023届高三上学期12月月考

数学参考答案

因

13.-4

喝（或浮浮詈）（只需喝，六言，皆中写一个答案即可）

3

15.一

7

16.4;-240

17.解：（1）因为cosB+sin"+°=0,所以cosB+cosO=0,

22

BBBlB

所以2cos2—+cos——1=0,解得cos-=—或cos-=-l（舍去）,

22222

B7i2zr

则上=作，故B=工

233

(2)因为c:a=5:3,所以。=5加,。=3〃2(相＞。)，

由三角形面积公式可得,acsinB=L/?x"叵，则15Z?==7x15/n2，故b=ll.

2214

由余弦定理可得。2=/+c2—2occos3，则49"=49>，解得"2=1.

从而。=3,c=5,Z?=7,故二ABC的周长为〃+b+c=15.

18.解：(1)因为2s-2,所以2sI=及1+4_I-2(九.2),

所以24=寸+%-(。3+«„-!)(«•-2)>即4；-4T=。(〃..2),

所以(4+«„-1)(«„-a„.i-1)=0(??..2).

因为。“>0,所以a“—a〃T-1=0,即a“-a“_i=l.

当〃=1时，2S]=2q=a；+q-2,解得4=2或4=-1(舍去)，

则｛%｝是首项为2,公差为1的等差数列，

故a“=q+(«-1)6/=〃+1.

(2)由(1)可得(％+]4)2=[(”+2)(〃+1)]2=5+2)2(〃+1)2.

因为｛(/+£,)%"｝是首项为5,公差为2的等差数列，所以3+4)2d=5+2(〃-1)=2〃+3,

2n+3___1________1_

则“一(〃+2)2(〃+Ip-(〃+1)2—5+2)2，

+,„_,,,111111_11一九2+4〃

故(=4+仇++2=初一三+三一不++许-谑了=-砖厂诉万I，

19.(1)证明：因为AO=OC=8C=2,/A8C=60,所以AB=4,所以AC=2百，

则AC?+8C?=AB?,故BCJ_AC.

取AC的中点。，连接ORO8,则OP=1,OB=J7.

因为。22+052=依2,所以OPJ_OB.

因为R4=PC,且。为AC的中点，所以OPJ_AC.

因为AC,OBu平面ABC,且ACcQB=O,所以OP_L平面ABC.

因为3Cu平面ABC,所以0P_L3C.

因为OP,ACu平面Q4C,且OPcAC=O,所以BC_L平面P4c.

（2）解：以。为坐标原点，分别以0C,。尸的方向为y，z轴正方向，过0

作8c的平行线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

（出］、

由题意可得A（0,-G,0）,B（2,G,0）,E0,-y,-,则AB=（2,2g,

0座」

0）,AE

，2'2；

设平面ABE的法向量为n=（x,y,z）,

n-AB-2x+2+y=0,

则《n-AE=^y+^z=0,令》=百，得〃

平面ABC的一个法向量〃2=（0,0』）.

设二面角E—AB—C为6,由图可知。是锐角，

/\nm3J33J93a/no

则cose=cos{n,m）=^^=*=得一，即二面角七一AB-C的余弦值为王丝.

'/“卜〃屈3131

20.解：（1）甲先答2道题，至少答对1道题，乙才有机会答题，且乙有机会答题的概率为不，所以

l-（l-p）2=—

25

,43

所以（1一0）2=解得p=《.

（2）随机变量X的可能取值为0,50,100,150,200,

4

则P（X=0）=

25

32114

p（X=50）=C；X—X-X-X—=-------

5553125

⑶24112、27

P（X=100）xZ+"2x—x—+—x—

$532555353；125

、

32（4112、32422

P（X=150）=jX—X—+—X—+C；x—X—X—X—

（535

755535

\2

P（X=200）=（|4224

x—x—

753125

所以X的分布列为

X050100150200

4427224

P

251251255T25

4“4…27…2…24608

KiJE（X）=Ox—+50x----F100x----F150x—F200x----=----

12512551255

21.解：（1）设椭圆的焦距为2c,

a2=2,

由题意可得解得/=1,

c_\/2C2=1.

、。2'

2

故椭圆C的方程为/+匕=1.

2

（2）当直线/的斜率为0时，以AB为直径的圆方程为丁+>2=1.

以AB为直径的圆方程为（x—』216

当直线/的斜率不存在时,+/=—

I3J9

f+J?=1,

联立卜1Y216X=一1

解得《八’故若存在定点M，则此定点为M（—1,0）.

+/=—y=0,

当直线/斜率存在，且不为。时;设直线/:x=/M）>+g,A（X],y）,8（了2，%），

2y2_1

XH---=1,

2

联立《整理得（18疗+9）尸+12冲-16=0,

x=my+—,

3

M112m16「山

则…=-底工”2=一宣育因为

44]

+l,yJG+L%)=my\+-

2

—167772-16-16m216(2m+l)

2