2023-2024学年高二年级上册数学人教A版（2019）选择性必修第一册-空间向量与立体几何训练

空间向量与立体几何

难点：1.没有三垂直如何建系

2.点的坐标非常难求

3.不适合建系时还是要有几何法

一、利用线面垂直建系

【例1】如图，四棱锥P-ABC。中，底面ABC。,底面ABCD是平行四边形，AB=2,8O=4,

8c=2逐，若平面ADP和平面所成的锐二面角余弦值为与，求PB的长.

【例2】如图，四棱锥P—ABCO中，PA±JgffiABCD,BC^CD^2,AC=4,ZACB=ZACD=-,F为

3

PC中点，AFL所，求R4的长.

总结：_________________________________________________________________

二、利用面面垂直建系

【例3】如图，在以A、B、C、D、E、E为顶点的五面体中，底面为正方形，AF=2FD,

ZAFD=90°,且二面角O—A厂—E与二面角-尸都是60°

(1)证明：平面4跳户_1_平面EFOC;

(2)求二面角E-BC-A的余弦值.”

A

总结：_________________________________________________________________

三、利用线线垂直建系

【例4】三棱柱ABC—AgG中，钻，4?,48=4。=2,侧面8。。4为矩形，幺"=石，二面角

A-8C-A的正切值为:，求侧棱A4的长.

总结：_________________________________________________________________

四、先几何分析再建系

【例5】在矩形ABCD中，48=4后,4。=26,将八钻。沿6。折起，使得点A折起至A,，设二面

角A'-B0-。的大小为。，当cos，=工时，求BC与平面A'B。所成角的正弦值.

总结：_________________________________________________________________

五、两种方法处理线面角

【例6】如图，四棱锥P-ABC。中，侧面PAO为等边三角形且垂直于底面ABC。，AB=BC=-AD,

2

NB4D=NA8C=90,点M在棱PC上，且直线8W与底面ABCD所成的角为45°,求二面角

A/-AB—。的余弦值.

总结：_________________________________________________________________

六、求二面角范围

【例7】如图，在梯形ABCD中，AB//Cr>,AO=OC=C5=l,NABC=60,四边形ACFE为矩形，平

面AC/石，平面ABC。，CF=1.

(1)求证：平面ACFE；

(2)点M在线段EE上运动，设平面与平面FCB所成二面角的平面角为6(。<90),试求cos。

的取值范围.

A

总结：_________________________________________________________________

七、冷门条件如何处理

【例8】四棱锥P-ABC。中，P4,平面ABC。,底面ABC。是边长为1的正方形，过且与直线PC

垂直的平面交PC于点E,当三棱锥E-3C。的体积最大时，求二面角E-3。-。的大小.

总结：_________________________________________________________________

八、几何法更简单

【例9】如图，DC1平面ABC,EB//DC,AC=BC=EB=2,ZACB=120,P、Q分别为AE.A8的中

点.

(1)证明：尸。//平面48；

(2)证明：平面AQE_L平面ABE；

(3)求AO与平面ABE所成角的正弦值.

【例10］如图所示，已知三棱锥P-ABC中ZAC8=90,5C=4,A8=2O,0为A3中点，且APDB是

等边三角形，PALPC.

(1)求证：平面巳4。_1_平面28。；P

(2)求二面角。-AP-C的正弦值./1\