海南省海口嘉勋高级中学2023-2024学年度高二年级上册开学考试数学试题【解析版】

海南省海口嘉勋高级中学2023-2024学年度高二上学期开

学考试数学试题【解析版】

一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）

1.下列说法：

①零向量是没有方向的向量；

②零向量的方向是任意的；

③零向量与任意一个向量共线.

其中，正确说法的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

2.己知向量a=(l,2),b=(3,l),则［-J=()

A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)

3.若复数z=（2T）（4-i）,则彳=（）

A.—7—6iB.—7+6iC.7-6/D.7+6/

4.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在［60,

5.从编号为1、2、3、4的4球中，任取2个球，则这2个球的编号之和为偶数的

概率是（）

\1B—C—D-

A.3氏彳J23

6.甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为：?，34，2那么三人中恰

345

有两人合格的概率是

7.已知〃、b为两条不同的直线，夕为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若Q//b,bua,则

B.若“ua,bu。，a!lb,贝夕

C.若。//月，aaa,则a/R

D.若a"。，aca,bu0,贝!]a//A

8.已知AO,BE分别为:A5C的边BC,4c上的中线，设">="，BE=bMBC=（）

24

B.-a+—b

。J

24r2.4

C.3a-3bD.--a+~b

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有

选错的得0分）

9.若”,beR,且(a+i)i=b+i,则()

A.a=\B.a=-]C.b=lD.b=-1

10.棱台具备的特点有（）

A.两底面相似B.侧面都是梯形

C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点

11.如图，在四面体PA8C中，AB=AC,PB=PC,D,E,尸分别是棱AB,BC,

C4的中点，则下列结论中成立的是（）

A.BC〃平面PDFB.。尸1平面PAE

C.平面P£）E_L平面D.平面P/加_L平面ABC

12.为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，利用简单随机抽样从中抽取了

20名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（）

A.2000名运动员是总体;B.所抽取的20名运动员是一个样本;

C.样本容量为20；D.每个运动员被抽到的机会相等.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.-4+5i+(i-2)2=.

14.已知q,e2是两个不共线的向量，而。=公4+(1-］人泡，6=2q+3e2是两个共线

向量，则实数&=.

15.广东某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂的2500套座椅进行

抽查，共抽检了100套,发现有5套次品，试问该厂所产的2500套座椅中大约有套

次品.

16.在A4BC中，8D为/ABC的平分线，AB=3,BC=2,AC=币,则sin/ABD等

于.

四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.)

17.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E、尸分别是必、BD

上的点且E、F分别是小、BO的中点.求证：EF〃平面PBC.

18.设A,B,C,。为平面内的四点，且A(1,3),B(2,-2),C(4,1).

(1)若AB=CD，求。点的坐标；

(2)设向量a=AB力=2C,若向量版-匕与〃+33平行，求实数k的值.

19.某数学兴趣小组共有5名学生，其中有3名男生4、&、A,,2名女生及、B2,

现从中随机抽取2名学生参加比赛.

(1)问共有多少个基本事件(列举说明)？

(2)抽取的学生恰有一男生一女生的概率是多少？

20.已知三棱锥P-ABC中，PC,底面ABC,AB=BC,2尸分别为AC,PC的中

点，于E.

p

(1)求证：AP人平面

(2)求证：平面平面3£>F.

21.在“8C中,已知角AB,C所对的边分别为“涉,c,S.2c2=(2a-^)a+(2b-a)b

(1)求角C的大小；

⑵求2cosA+2cos3的最大值.

22.某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，乙班为实验班，甲班为对

比班，甲、乙两班均有50人，一年后对两班进行测试，成绩分别如表1和表2所

示(总分：150分).

表1

[80,90)[90,100)

成绩[100,110)[110,120)[120,130)

频数42015101

表2

[80,90)[904(X))

成绩[100,110)[110,120)[120,130)

频数11123132

(1)现从甲班成绩位于［90,120)内的试卷中抽取9份进行试卷分析，用什么抽样方法更

合理？并写出最后的抽样结果；

(2)根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是101.8,请你估计乙班的平均分,

并计算两班平均分相差几分.

1.c

【分析】根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可.

【详解】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确：

故选：C

2.B

【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解.

【详解】由平面向量的坐标运算可知，b-“=(3,1)-(1,2)=(2,-1),

故选：B.

3.D

【解析】由复数乘法运算求得z,根据共规复数定义可求得结果.

【详加单】z=(2—i)(4—i)=8—6i+/=7—6i,.-.z=l+6i.

故选：D.

4.D

【分析】计算出160,70)的频率，再乘以总数即可.

【详解】由于时速在［60,70)的频率为0.04x10=0.4,

所以时速在［60,70)的汽车大约有200x0.4=80.

故选：D.

5.A

【分析】列举法求解古典概型的概率.

【详解】从编号为1、2、3、4的4球中，任取2个球，一共有以下情况：

(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况，

其中这2个球的编号之和为偶数的情况有(1,3),(2,4),共2种情况

故这2个球的编号之和为偶数的概率为

O3

故选：A

6.B

【详解】分析：本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三

种情况，这三种情况是互斥的，写出三个人各有一次合格的概率的积，再求和.

详解：由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，

三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的

・••三人中恰有两13人2合2格1的22概3率327

34534534515

故选B.

点睛：本题考查相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是看出事件发生包括的所有

的情况，这里的数字比较多，容易出错.

7.C

【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对四个选项逐一判断即可.

【详解】对于A：若a//b,bua,则a//a或“uc,故A错误；

对于B：若“ua,bu/3,a〃4则。〃?或a与夕相交，故B错误；

对于C：若«〃夕，aua,则a〃夕，故C正确；

对于D：若a〃尸，aua,bu/J,贝肥〃。或。与/,异面，故D错误.

故选：C.

8.B

【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解.

【详解】4。,8后分别为；钻。的边8。,4。上的中线，

贝ijA£>=8。-BA」BC-BA,

2

BE=BA+AE=BA+^AC=BA+^AB+BC)=^BA+BC),

由于A£)=a，BE=b,所以a=58(7184,6=584+28(7,

24

故解得=+

故选：B

9.AD

【分析】根据复数的乘法运算和复数相等的定义计算即可.

【详解】因为(a+i)i=-l+“i=b+i,

a=\

所以

b=-l

故选：AD.

10.ABD

【分析】根据棱台是由平行棱锥底面的平面截得的判断.

【详解】解：因为棱台是由平行棱锥底面的平面截得的，

所以棱台的两底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点，

故选：ABD

11.ABC

【分析】根据几何体的结构特征，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即

可求得.

【详解】对于A中，因为R尸分别为AC的中点，可得BC//EF,

又因为平面PDF,且£>Fu平面叨尸，所以BC//平面灯叶,所以A正确；

对于B中，因为"=AC,且E为8C的中点，可得BCLAE,

又因为尸B=PC,且E为BC的中点，可得

因为平面R4E,所以BC1平面R4E,

又因为。尸〃BC,所以少厂工平面K4E，所以B正确.

对于C中，由B项知：平面因为DFu平面PDF,

所以平面P/)F_L平面24E,所以C正确；

对于D中，设直线AE=O,易得运尸，可得P£>=PF,所以尸O_LO产，

假设平面PDF_L平面48C,且平面PDF平面=P。匚平面尸£尸，

所以P0工平面A8C,

因为OEu平面ABC,所以PO_LQE,

又因为尸。与。E不一定垂直，所以平面PE>尸与平面A3C不一定垂直，所以D错误.

故选：ABC.

12.ABCD

【分析】根据总体、样本、总体容量、样本容量等概念及在整个抽样过程中每个个体被抽到

的机会均等即可求解.

【详解】由已知可得，2(X)0名运动员或他们的年龄是总体，20名运动员或他们的年龄是样

本，总体容量为2000,样本容量为20,在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为，°,

所以A、B、C、D均正确.

故选：ABCD.

【点睛】本题主要考查总体、样本、总体容量、样本容量等概念及抽样的公平性问题，属基

础题.

13.-l+z##z-l

【分析】根据复数的乘法运算和加法运算计算即可.

【详解】-4+5i+(i-2)2=-4+5i+3-4i=-l+i.

故答案为：-1+i.

14.一2或!##［或一2

33

【分析】由已知，根据给的“，b借助两向量共线，可直接建立等量关系求解出实数h

【详解】由已知，q,是两个不共线的向量，

2

a-ke,+(l-^k)e2,6=2q+3e2是两个共线向量，

所以然2=2(1-：幻，解得：%=—2或％=：.

故答案为：一2或;.

15.125

【分析】根据共抽检了100套，发现有5套次品，得到次品率，再求2500套座椅中的次品

数.

【详解】因为共抽检了100套，发现有5套次品，

所以次品率为痴，

所以该厂所产的2500套座椅中大约有之x2500=125.

20

故答案为：125

【点睛】本题主要考查随机事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

16号

【详解】试题分析：因为3。为/"C的平分线，所以乙=由余弦定理得

COSNABC=-心=32+22-(")2=1；.cos=1一2s*ZAB。=L

2xABxBC2x3x222

.•.sinNA8O=g.所以答案应填：1.

考点：1、余弦定理；2、二倍角公式.

17.证明见解析.

【分析】根据线面平行的判断定理，即可证明.

【详解】因为在平行四边形ABC。中，尸分别是BO的中点，

所以F是AC的中点，

因为E是孙的中点，所以EF//PC,

又所二平面P3C,PCu平面PBC,

所以所〃平面PBC.

18.(1)0(5,-4)；

⑵

【分析】(1)求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.

(2)求出a)的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答.

【详解】(1)设。(x,y),因为他=而，于是(2,—2)—(l,3)=(x,y)—(4,1),整理得

(l,-5)=(x-4,y-l),

Jx-4=1fx=5

即有,〈，解得/

g=-5[y=-4

所以£>(5,-4).

1ULUI1UlUi

(2)因为。=AB=(1,-5),。=BC=(4,1)-(2,-2)=(2,3),

所以《一力=k(l,-5)-(2,3)=伏一2,-5k-3),«+3ft=(1,-5)+3(2,3)=(7,4),

因为向量桁-万与a+36平行，因此7(-5%-3)-4(%-2)=0,解得*=_；,

所以实数%的值为

19.(I)答案见解析

【分析】（1）列举出所有情况，得到基本事件数；

（2）求出抽取的学生恰有一男生一女生的基本事件数，利用古典概型求概率公式进行求解.

【详解】（1）列举出所有情况，如下：

｛（A，4）,（A，A），（A，4），（A，男），（4，A），（4,4），（&也）,（44），（A居）,（4用）｝,

共10个基本事件；

（2）记事件“抽取的学生恰有一男生一女生”为A,

则A包含基本事件｛（4，耳》（\幻,（4,4）,（4,8）（4,4）,（4，名）｝共6个，

因此P（A）=*|.

20.（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）首先根据线面垂直的判定得到831平面PAC,从而得到申_L8£>,再利用线

面垂直的判定即可得到AP1平面BDE.

（2）根据已知得到£>£_L8r>,DFLBD,尸为平面B£）E与平面8。斤的二面角，又因

为NEDF=90,即可证明平面平面

【详解】（1）:PC_L底面A8C,即匚底面45。，...尸。，3。；

义AB=BC,。为AC的中点，

二BD1AC,

又PC,ACu平面PAC,PCcAC=C,

.••瓦）1平面PAC,R4u平面PAC,

APALBD,又DE1.AP,BDcDE=D，

：.AP二平面8£>E；

（2）由4P1平面8DE1知，AP±DE；又。，尸分别为AC,PC的中点，

二DF是△PAC的中位线，；.DF//AP,：.DFIDE,即NEDF=90,

由3£>工平面PAC可知，DE±BD,DF1BD,

/££将'为平面BDE与平面8£>F的二面角，又NEDF=90,

,平面BDE_L平面BDF.

21.（l）j

(2)2

【分析】（1）将条件化简，然后利用余弦定理求解即可；

（2）先利用cosB=—cos（A+C）化简整理得到2cosA+2cosB=2sin（A+。，再利用正弦

函数的性质及A的范围求最值.

【详解】（1）由己知2c2=