高中数学三年务必掌握的149个解题方法

【高中数学】高中三年务必掌握的149个解题方法

1.判断两集合关系的3种常用方法

:根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比

:较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系

从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形

;等技巧，从元素结构上找差异进行判断

物轴学］在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间

数相衣:.的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系

2.根据两集合的关系求参数的方法一

方法一；藕藐藐二3庙薪厂嘉名1

:解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性

方法一藕谷袤示威显示标而版「箱裱癌数轴霸涡示；

n.等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到

3.利用集合的运算求参数的值或取值范围的方萩一

(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到.

(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再

列方程(组)求解.

4.全称命题与特称命题真假的判断方法

命题名称真假判断方法一判断方法二

真所有对象使命题为真否定为假

全称命题

假存在一个对象使命题为假否定为真

真存在一个对象使命题为真否定为假

特称命题

假所有对象使命题为假否定为真

5.充分条件、必要条件的两种判断方法

(1)定义法：根据P-q,0P进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题

中涉及字母的范围的推断问题.

6.比较两个数(式)大小的方法

H判断差与o的大小卜।

作差法结

论

—判断商与1的大小一

［注意］

⑴与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还

经常采用特殊值验证的方法.

(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时

取到，会导致范围扩大.

7.利用待定系数法求代数式的取值范围的方法

已知<f(a,b)<N,MKf(a,b)<N,求g(a,b)的取值范围.

(1)设g(a,b)=pf(a,b)+qf(a,b);

(2)根据恒等变形求得待定系数p,q；

(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范围.

8.解一元二次不等式的方法和步骤

化f冠示尊菽丽三次衣素薮王学重面底淄形式

判一：计算对应方程的判别式

鑫_「亲出行莅而二完三族另彘布丁毓堀判别

求:式说明方程有没有实根：

写一利用“大于取两边，小于取中间”写出不锣的解集

9.解含参数的一元二次不等式的步骤

①二次项若含有参数应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式

转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式;

②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式△与0的关系；

③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异

实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集.

10.消元法求最值的方法

消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的

最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解.但

应注意保留元的范围.

11.求函数定义域的两种方法

方法解读适合题型

构造使解析式有意义的不等式已知函数的具体表达式，求f(x)

直接法

(组)求解的定义域

若y=f(x)的定义域为(a,b),

已知f(x)的定义域，求f(g(x))

则解不等式a〈g(x)〈b即可求出

的定义域

y=f(g(x))的定义域

转移法

若y=f(g(x))的定义域为(a,

已知f(g(x))的定义域，求f(x)

b),则求出g(x)在(a,b)上的

的定义域

值域即得f(x)的定义域

12.求函数解析式的4种方法

法一：由己知条件f.（xN）=F【力，可将F（kX改写成关

配凑法L于明动的解析式，然后以X替恒（幼，便得fg

■“./rrvi八

对于形如上ddyixjb的函数祥树式,i4t=yu,

法二

―从中求出然后代入解析式求出叫t）上

换元法再将t换成X,四菽恤＞的解析式,1要注意就上

的取侦海闹.

法三:先设出含旬待定系数的解析或1闻利用他等1.

一式的性质，或将已知条件代入，建立方程

待定系数法;颂），通过解方程（组）求出相应的待定系数

:已知关于f（x）与fq或f（-x）的解析式，可根

法四—辟已知和外再构揖出另外厂个詈式组成方=

解方程组法隹组，通过解方程组求出f（n

13.利用定义法证明或判断函数单调性的步骤

取值—设X,X|是定义域内的任意两个值，且X1024

作差丸差f'（版）-f（x,）L并通过的式分解、配方、#

一

变形塞他等方法M脚甫科手判断着的符特领谪J菊联

确定差的符号，当符号不确定时，可以进行分

定

号r类讨论

判断h根据定义作出结论

14.确定函数的单调区间的方法

定义法先求定义域，再利用单调性定义来求

由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是

图象法单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象

不连续的单调区间要分开写，用"和"或"」

联结，不能用"U"联结

导数法利用导数取值的正、负确定函数的单调区间

15.求函数最值的五种常用方法

单调性法一＜筑确宸/^的单调底J再曲单阊t求最修：

肉会件,一.:先作出函数的图象”再观察其最高点、最低

图象法1点，求出最值

其木不经才注：先婿解析式变形“使之具备“一正二定三

盘不：相等”的条件后用基本不等式求出最值

：形如ywcx+d千q，科肾轨甯建国「余敢

分离常数i抵一►：ax+b

；常数法”求解

在一吐:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉

换兀法一：的函数，再用相应的方法求最值

16.利用函数的单调性比较函数值大小的方法

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性

质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常

选用数形结合的方法进行求解.

17.求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

（已知

18.比较指数第大小的常用方法

一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较

大小，所以能够化同底的尽可能化同底.

二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特

别是0,1）比较大小，然后得出大小关系.

三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数

图象，借助图象比较大小.

19.求指数型复合函数的单调区间和值域的方法

(1)形如y=a'(a>0,且aWl)的函数求值域时，要借助换元法：令u=f(x),

先求出u=f(x)的值域，再利用y=a的单调性求出y=a”的值域.

(2)形如y=a(a〉O,且aW1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D,再分

两种情况讨论：

当a〉l时,若f(x)在区间(m,n)上(其中(m,n)CD)具有单调性,则函数y=a

在区间(m,n)上的单调性与f(x)在区间(m,n)上的单调性相同；

当O〈aG时，若f(x)在区间(m,n)上(其中(m,n)三D)具有单调性，则函数y=

d在区间(m,n)上的单调性与f(x)在区间(m,n)上的单调性相反.

20.对数式的化简与求值方法

-----喑加利用塞的运算把底数或真数进行变形「花'；

拆分成分数指数幕的形式，使嘉的底数最简，然后再：

亍」［用对数的运算性质化简合并：

」福需薮元面面同底薪需薪而萩一至「花藏运戴二

合并然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数：

J一；的积、商、嘉的运算：

21.对数函数图象的识别及应用方法

(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐

标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合

法求解.

22.比较对数值的大小的方法

函庙嬴f利甫分驳函编画单篇出比威.

一数值4响真数工利用囱豪法或转花方同底数对数的函数在第

』豪「真薮而示周｛成入用商富丽二工b?i辱3

23,解对数不等式的函数及方法

(1)形如logx>logb的不等式，借助y=log,x的单调性求解，如果a的取值不

确定，需分a>l与0<a<l两种情况讨论：

(2)形如log,x>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式.

24.函数图象的画法

国函数解析元(最无形后一的解标五)一显熟云的基：

直接法本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的

送键我骤作出图(象____________________：

转化法含有绝蝇值得官加函藏可脱蠢函需宿客号，转

.化为分段函数来画图象：

若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、

图衾翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注

温器意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的

要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位

及解析式的影响___________________!

25.函数图象的辨识方法

(1)抓住函数的性质，定性分析

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置;

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从周期性，判断图象的循环往复；

④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

(2)抓住函数的特征，定量计算

利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题,

26.判断函数零点所在区间的方法

方法解读适合题型

利用函数零点的存在性定理进能够容易判断区间端点值所对

定理法

行判断应函数值的正负

画出函数图象，通过观察图象

与X轴在给定区间上是否有交

图象法容易画出函数的图象

点来判断

27.判断函数零点个数的3种方法

(D方程法：令f(x)=O,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间［a,］上是连续不断的曲线，且

f(a)-f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对

称性)才能确定函数有多少个零点.

(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，

看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

28.根据函数零点的情况求参数有三种常用方法

(D直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参

数范围.

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，

然后数形结合求解.

29.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法

(D构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型，再结合

模型选图象.

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，

验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择符合实际情况的答案.

30.嵌套函数零点个数的判断

破解此类问题的主要步骤

(1)换元解套，转化为t=g(x)与尸f(t)的零点.

(2)依次解方程，令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个

数.

31.求曲线切线方程的步骤

(1)求出函数y=f(x)在点x=x，处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处

切线的斜率.

(2)由点斜式方程求得切线方程为y-f(x)=f(x)•(x-x).

32.导数的运算方法

=建乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导;

导...................".......................

数「分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函;

的|数或较为简单的分式函数,再求导：

运*’对数形式：先化为和、差的形式，再求导

算二二二二二二二二二二二二二二二二二二

方根式形式：先化为分数指数寝的形式，再求导：

法一三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形

式再求导：

33.利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数

满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围.

34.讨论函数f(x)单调性的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

⑵求导数f|(x),并求方程f(x)=O的根；

(3)利用f(x)=O的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨

论f(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性，

35.利用导数求函数单调区间的方法

(1)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)>0或f(x)<0求出单调区间.

(2)当方程f'(x)=0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区

间，确定各区间内f(x)的符号，从而确定单调区间.

(3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据f(x)的结构特征，利用图象与

性质确定f(x)的符号，从而确定单调区间.

36.由函数的单调性求参数的取值范围的方法

(1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为

f(x)NO(或f(x)WO)对xGD恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题,

要注意“=”是否取到.

(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f(x)>0(或f(x)〈O)

在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题，

(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单

调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.

37.利用导数研究函数极值问题的一般步骤

.求定义域］

1求导If(X)|

求〈，，用

极1极殖

(解方程3(x)=o［(知方程f(x)碗的情况1

,I、,I:

［验根左右f(x)的符号)得关于参数的方程函等式)

TT7,1-、~

(W)।参数值(范围)：

38.求函数f(x)在［a,b］上最值的方法

⑴若函数在区间［a,b］上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为

最小值.

(2)若函数在闭区间［a,b］内有极值，要先求出［a,b］上的极值，与f(a),f(b)

比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.

(3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)

值点，此结论在导数的实际应用中经常用到，

39.判断函数零点个数的3种方法

直接法令f(x)=0,则方程解的个数即为零点的个数

画图法转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数

定理法利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决

40.象限角的2种判断方法

在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知

图象法

角是第几象限角

先将已知角化为k-360°+a(0°Wa<360°,kdZ)的形式，即

转化法找出与已知角终边相同的角a,再由角a终边所在的象限判断已知角

是第几象限角

41.求减n。（nGN）所在象限的步骤

n

①将0的范围用不等式（含有k,且kez）表示;

②两边同除以n或乘以n;

③对k进行讨论，得纵敝nO（ndN）所在的象限.

42.三角函数值符号的判断方法

要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据

正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在的象限，那

就要进行分类讨论求解.

43.sina±cosa与sinacosa关系的应用方法

(1)通过平方，sina+cosa,sina-cosa,sinacosa之间可建立联

系，若令sina+cosa=t,则sinacos®；^',sinu—cosu

困

士2-t（注意根据a的范围选取正、负号）.

⑵对于sina+cosa,sina—cosa,sinacosa这三个式子，可以矢口

一求二.

44.诱导公式的用法

①化负为正，化大为小，化到锐角为止;

②角中含有加雪的整数倍时，用公式去考的整数倍.

45.常见的互余和互补的角写法

K+_0等；

—;+呜:44

②常见的互补的角：-，。蜡/=般4+0,猾uO等.

46.三角函数公式活用方法

①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；

②tanatan0,tana+tanB(或tana-tanB),tan(a+B)(或tan(a

-B))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用，

47.三角函数公式逆用和变形使用方法

①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；

②注意特殊角的应用，当式子中同%亳，3等这些数值时，一定要考虑引

入特殊角，把"值变角”以便构造适合公式的形式.

48.三角公式求值中变角的解题方法

①当"已知角”有两个时，”所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形

式：

②当“已知角”有一个时，此时应着眼于〃所求角"与"已知角”的和或差的关

系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”，

49.常见的配角方法

(2+B(I-B

2a=(a+B)+(a-B),a=(a+B)-B,8=二一­a=

50.三角函数名的变换方法

明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余

弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.

51.求三角函数单调区间的两种方法

⑴代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或

t),利用复合函数的单调性列不等式求解.

(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间.

52.三角函数值域的求法

(1)利用y=sin*和y=cosx的值域直接求.

(2)把所给的三角函数式变换成y=Asin(wx+4>)+b(或y=Acos(wx+e)+b)

的形式求值域.

(3)把sinx或cosx看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域.

(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系将原函数转换成二次函数求值域，

53.已知函数单调性求参数必须明确一个不同，掌握两种方法

(1)明确一个不同.“函数f(x)在区间上单调”与“函数f(x)的单调区间为A”

两者的含义不同，显然是N的子集.

(2)掌握两种方法.已知函数在区间上单调求解参数问题，主要有两种方法：

一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利

用导数，转化为导函数在区间上的保号性，由此列不等式求解.

54.三角函数奇偶性的判断方法

三角函数中奇函数一般可化为丫=八5[[1X的形式，而偶函数一

般可化为丫=人(205wx+b的形式.

55.三角函数周期的计算方法

利用函数y=Asin(x+6)(a>0),y=Acos(ax+小)(w>0)的最小正周期为

，函数y=Atan(ux+4>)(@>0)的最小正周期“求解

3M

56.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法

(1)思路：函数y=Asin(x+6)图象的对称轴和对称中心可结合y=sinx图

象的对称轴和对称中心求解.

(2)方法：利用整体代换的方法求解，令，，.lh-，k£Z,解得x=

kGZ,即对称轴方程；令wx+@=kn,kez,解得x=

23

蟹二J,kez,即对称中心的横坐标(纵坐标为0).对于丫=八(:。5由*+<1>),丫

=Atan(x+6),可以利用类似方法求解(注意y=Atan(ex+6)的图象无对

称轴).

57.解决三角函数图象与性质综合问题的方法

先将y=f(x)化为y=asinx+bcosx的形式，然后用辅助角公式化为丫=

Asin(wx+6)的形式,再借助y=Asin(6x+6)的性质(如周期性、对称性、

单调性等)解决相关问题，

58.三角函数中@值的求法

(1)利用三角函数的周期T求解

Ow

解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期g-与所给区间的关系，从而建

立不等关系.

(2)利用三角函数的单调性求解

根据正弦函数的单调递增区间，确定函数g(x)的单调递增区间，根据函数g(x)

=2sinox(a>0)在区间6'i上单调递增，建立不等式，即可求a的取值

范围.

(3)利用三角函数的对称性求解

三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”摩相邻的

对称轴和对称中心之间的"水平间隔”爱j这就说明，我们可根据三角函数的

对称性来研究其周期性，进而可以研究””的取值.值得一提的是，三角函数

的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)=

Asin(ax+<D)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这就说明，我们也可利用

三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定

“W”的取值.

(4)利用三角函数的最值求解

利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于w的不等式，进而求出

的值或取值范围.

59.函数丫二人5皿0*+中)(人>0">0)的图象的两种作法

TI3

设Z=x+6,由Z取0,,Ji,o,2兀来求出相应的X,通

五点法

过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象

由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(wx+@)的图象，

图象变换法

有两种主要途径”先平移后伸缩"与"先伸缩后平移”

60.确定产Asin(wx+。)+b(A>0,w>0)的步骤和方法

(1)求A,b,确定函数的最大值和最小值m,

r,V-m,V,m

则1.b

22

(2)求，确定函数的最小正周期T,则可得副匚

(3)求小，常用的方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A,,b已知)或代入图象与直线

y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；

②特殊点法：确定6值时，往往以寻找"最值点"为突破口，具体如下：

节点“(印图象的“峰也”)时s+(AeZ);“最小值

(即图象的“谷点”州寸3H»='"+2An(Aez)

2

61.求解三角函数图象与性质的综合问题的方法

先将y=f(x)化为y=Asin(x+6)+B的形式，再借助y=Asin(wx+6)的图

象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.

(1)正、余弦定理的选用

①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边

或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；

②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边

或角；二是已知三边求角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解

也是唯一的.

(2)三角形解的个数的判断

已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，

该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判

断.

62.判定三角形形状的两种常用途径

通过正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数

恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断

通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用=

角恒等变换得出三角形内角之间的关系进行

判断：

63.求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个

角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积：

(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公

式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.

64.已知三角形面积求边、角的方法

(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；

(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.

共人丁证丽向量共练对于向量a,b,若存在一实薮X,

线

向便归AbQ关0)一，则2与9共缱........."1

量

定：定前芝百美磁「碧春石羹薪二通B1赢、：

理..则A,B,C三点共线.......................

的

兼参薮前宿「莉南买面向夏比显比向基相辱的

应I

用「条件列方程(组)求参数的值.............；

65.巧建系妙解题，常见的建系方法如下

(1)利用图形中现成的垂直关系

若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以

利用这两条直线建立坐标系.

(2)利用图形中的对称关系

图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰

三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系.建立平面直角坐标系的基本原

则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限.

66.求向量的模或其范围的方法

(1)定义法：Ia|=a=a,a,Ia±b|=(a±b)?=a±2a,b+b.

(2)坐标法:设a=(x,y),则|a|=Jx+y.

(3)几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用

解三角形的相关知识求解.

67.处理平面向量与三角函数的综合问题方法

(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等

式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形

式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域

等.

68.由递推关系求数列的通项公式的常用方法

珈然注♦形如an=pan-l+mGp、m为常数，mWO)时，；

构超运；构造等比数列

,________________________________________，

累加法［形如a=an-l+f(n)(If(n))可求和)时'用累加法］

:'求解j

累积法：形如皿河(n)(鹏(加｝前棚)时，用累积法求解：

'........arthl....................................................................'

69.解决数列单调性问题的三种方法

①用作差比较法，根据a+-a,的符号判断数列｛a)是递增数列、递减数列还是

常数列；

拉'',iJ巧用作商陵法,根据典〈0)与1的大小关系进行判断：

4

③结合相应函数的图象直观判断.

70.求数列最大项或最小项的方法

①可以利用不等式田‘'''(n'2)找到数列的最大项；

，(n22)找到数列的最小项。

电Wa+I

71.解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.

推断数列的通项公式

解答此类问题的具体步骤：

(1)分式中分子、分母的特征；

(2)相邻项的变化特征；

(3)拆项后的特征；

(4)各项的符号特征和绝对值特征；

(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母

之间的关系；

(6)对于符号交替出现的情况，可用(一1)'或(一l),kGN处理.

72.等差数列的判定与证明方法

如果一个数例m,也从第2项起11每l项陆宏的弓

定义法

前一项的差等于同一个常数，那么可以判断

教列［"］为等差数列_______________________

等差中加果一个数列（副。对任意的正整数n都满足

项法2时亍a+p+4那么可以判断｛a,J方等差数列

通项公如果一个数冽匣，的通项公式满足afpn+g依

式法吸常数%的形式，那么可以得出｛qn1尾首项

为R+3公'差为P的等差数列

如果一个数列Na”的前n项和'公'式楠足5=人〃

前n项

和公式法+Bn（4,B为常数％的形।式，那么可以得出数列.

73.求等差数列㈤的前n项和S的最值的方法

二次当公差dWO时，将S,南-作关于n的二次函数,

函数法运用配方法I,借助函数的单调性及数1形结合”

使问题得解

通项|-

_-求使a,训（或a,《0）成立的最火n值即可得S,的

公式衽一，犀木।建被值

1

聿i助S“持大时，|有I,SeSzT,5?2,n邛*）,解|［-

不等

式组法,此不等式剃确定11的范围，进而确定n的隼和对

应'的值（该值即为S的耳大值），类似可求最小

值

74.等比数列的判定与证明

.如果一个数列［a/从第2项起，每一项与它的

定义法—幡-项的比等于同一个非零常数但即吧L

q（qWO）,那么数列｛a,｝是等比数列

等比中如果对任意退整数m都存於a■-公源，且制

—

项法#0,那么数列54为等比数列

通项公如果数列la"的通项公式满足aj=c-lg~11（2g

均是不为0的常数），那么数列是首项为

式法的公比为q的等比数列

前n项和如果数列加］的前n项和满足S二kq〃rk（妫常

公式法数且kW0,?W0,“，那么数列｛卜）［是等比数列（

75.数列求和的五种常用方法

(1)分组转化求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求

和时可用分组求和法，分别求和后再相加减.

(2)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其

和.

(3)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那

么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法

推导的.

(4)倒序相加法

如果一个数列｛a｝的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个

常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公

式即是用此法推导的.

⑸并项法

一个数列的前n项和中，可两两结合求和，称为并项法求和，形如：(一l)”f(n)

类型，可考虑利用并项法求和.

76.用错位相减法求和的方法及步骤

(1)掌握解题“3步骤”

m八"把数列的通项化为等差数列、等比数列的通

I均分析J项的积，并求出等比数列的公比

国袅免列出前n项和的表达式，然后乘以等比数'

WJ牵5M列的公比得到一个新的表达式，两式作差.

超菽)T酊根据差式制版进行海确翱..........：

(2)注意解题“3关键”

①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.

②在写出"S"与"qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步

准确写出"S-qS”的表达式.

③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比g=l和q#l

两种情况求解.

77.裂项求和的基本步骤

裂项H观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式

:累加将数列裂项后的备项相加■

将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限

〔强啰J一项相加，得到数列的前n项和

78.处理数列与不等式的综合问题的方法

(1)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列

对应的函数的单调性比较大小，

(2)以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值.

(3)考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有

时也可以通过构造函数进行证明，

79.解决数列问题的七大常用方法

方法一巧用性质减少运算

等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求

出每个量，从整体上使用公式.

方法二巧用升降角标法实现转化

在含有a,S,对任意正整数n恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再得出

一个等式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式求得数列的通项公式和

解决其他问题.

方法三巧用不完全归纳找规律

解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出其一

般性规律.

方法四巧用辅助数列求通项

已知数列的递推式求数列的通项公式时，基本思想就是通过变换递推式把其转化

为等差数列、等比数列(辅助数列)，求出辅助数列的通项，再通过变换求出原数

列的通项公式.

(1)当出现a,=a,-;+m(n，2)时，构造等差数列；

(2)当出现a,=xa-+y(n±2)时，构造等比数列.

方法五巧用裂项求和

裂项相消法是数列求和的基本方法之一，在通项为分式的情况下，注意尝试裂项,

裂项的基本原则是a,=f(n)-f(n+1).

方法六巧用分组妙求和

分组求和方法是分类与整合思想在数列求和问题中的具体体现，其基本特点是把

求和目标分成若干部分，先求出部分和，再整合部分和的结果得出整体和，

方法七巧用特值验算保准确

使用”错位相减法〃求和的方法学生都能够掌握，但求解的结果容易出现错误,

应该在求出结果后使用a=S进行检验，如果出现aWS,则说明运算结果一定

错误，这时可以检查解题过程找出错误、矫正运算结果，

80.空间几何体概念辨析问题的常用方法

紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的

管Q去’情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等

基本元素，根据定义进行判定

三区、二'ii忘左祠前面加福缸施行解后「血羹视询二不届

的心沙；论是错误的，只要举出一个反例即可

81.三类几何体表面积的求法

只需将它们沿着棱"剪开"展成平面图形，利用求

求多面体的表面积

平面图形面积的方法求多面体的表面积.

可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其

展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线

求旋转体的表面积

长与对应侧面展开图中的边长关系.

通常将所给儿何体分割成基本的柱体、锥体、台体，

先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再

求不规则几何体的表面积

通过求和或作差，求出所给几何体的表面积.

82.处理不规则几何体体积问题的步骤

指的是转换底面与高，将原来不容易求面积的

茸-底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容

易看出的高转换为容易看出并容易求解的高

'指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单

而的几何体，便于计算

指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如

有时将一个三校锥复原成一个三校柱，将一

分个三棱柱复原成一个四棱柱，还台为锥，这

些都是拼补的方法

83.求几何体体积的常用方法

直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算

把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者

把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的

割补法

几何体，便于计算

等体选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用

积法三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换

84.共面、共线、共点问题的证明方法

⑴证明点或线共面：

①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）

在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.

⑵证明点共线：

①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都

在同一条特定的直线上.

⑶证明线共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.

85.空间两直线位置关系的判断方法

空

间

：定理法或反证法

两

直

平行直线：可利用中位线性

线判断

质、公理4、线面、面面平行-技巧

的

的性质定理

位

置

垂直关系：利用线面垂直的

关

性质判定

系

方法

判定

行的

面平

、平

.直线

86

.

条件

视的

易忽

理中