等比数列求和公式及性质

关于等比数列求和公式及性质等差数列等比数列定义

通项公式等差（等比）中项下标和公式SnSn=？an－an-1=d(n≥2)(n≥2)an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)dan=a1·qn-1(q≠0)an=am·qn-mA=G=若m+n=p+q,则am+an=ap+aq若m+n=p+q,则aman=apaq复习第2页,共26页，2024年2月25日，星期天问题提出小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍，試计算30天后两人各得的钱数.设小林30天得到的钱数T30设小明30天得到的钱数S30第3页,共26页，2024年2月25日，星期天引入新课同学们考虑如何求出这个和？≈1073.741万元这种求和的方法,就是错位相减法!第4页,共26页，2024年2月25日，星期天推导公式等比数列前n项求和公式已知：等比数列{an}，a1，q，n求：Sn解：Sn=a1+a2

+a3

+a4

+…+an

qsn=(1-q)Sn=a1-a1qna1qa1q23…a1qn-1=a1+a1q++++作减法若：q≠1若q=1,Sn={na1(1-q)1-q(q=1)(q=1)n·a1∴第5页,共26页，2024年2月25日，星期天6(一)用等比定理推导当q=1时Sn=na1因为所以第6页,共26页，2024年2月25日，星期天7Sn=a1+a2+a3+…….+an-1+an=a1+a1q+a1q2+…..+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+….+a1qn-3+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn–an)Sn=a1(1–qn)1–q(二）公式推导第7页,共26页，2024年2月25日，星期天于是等比数列前n项求和公式通项公式:an=a1•qn-1第8页,共26页，2024年2月25日，星期天等比数列的前n项和例题解:

例5（1）

求等比数列的前10项的和.第9页,共26页，2024年2月25日，星期天（2）已知等比数列{an}中，a1=2,q=3,求S3例6五洲电扇厂去年实现利税300万元，计划在5年中每年比上年利税增长10%，问从今年起第5年的利税是多少？这5年的总利税是多少？（结果精确到万元）第10页,共26页，2024年2月25日，星期天等比数列的前n项和例题第11页,共26页，2024年2月25日，星期天等比数列的前n项和练习11.根据下列条件，求相应的等比数列的第12页,共26页，2024年2月25日，星期天等比数列的前n项和练习2-32.求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.从第5项到第10项的和:3.求等比数列从第3项到第7项的和.从第3项到第7项的和:第13页,共26页，2024年2月25日，星期天142、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。1、等比数列1，2，4，8，…从第5项到第10项的和为或3、求和：第14页,共26页，2024年2月25日，星期天等比数列前n项和的公式第二课时第15页,共26页，2024年2月25日，星期天等比数列复习第16页,共26页，2024年2月25日，星期天（2）（1）（3）若数列是等比数列，则

也是等比数列（4）等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列等比数列的性质第17页,共26页，2024年2月25日，星期天等比数列判定方法：（1）定义法：（2）递推公式法：（3）看通项法：（4）看前n项和法：第18页,共26页，2024年2月25日，星期天例一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度,都是它在前一分钟上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得

an+1=4/5an因此，数列{an}是首项a1=25,公比q=4/5的等比数列热气球在n分时间里上升的总高度第19页,共26页，2024年2月25日，星期天练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项解：设这个等比数列的第1项是，公比是，那么答：这个数列的第1项与第2项分别为与8消元第20页,共26页，2024年2月25日，星期天练习、求和分析：公比是字母，分q=1和q≠1两种情况讨论解：（1）该数列为等比数列，记为{an}，其中a1=a,q=a当q=1时,Sn=na当q≠1时,Sn=第21页,共26页，2024年2月25日，星期天（1）如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前15项的和等于多少？练习:第22页,共26页，2024年2月25日，星期天思考：求和：.为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.）设，其中为等差数列，（提示：第23页,共26页，2024年2月25日，星期天你能登上月球吗?能?!

只要你把你手上的纸对折38次我就能沿着它登上月球。哇…M=1+2+4+8+…+2

（页）37列式：第24页,共26页，2024年2月25日，星期天2.灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注意公比q1.等比数列前项和