等腰三角形的判定

关于等腰三角形的判定OAB如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？问题情境：第2页,共34页，2024年2月25日，星期天探究新知●

操作一做一做你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？

●操作二量一量，线段AB与AC的长度。画△ABC.使∠B＝∠C＝30°AB=AC怎样用数学推理进行证明呢？第3页,共34页，2024年2月25日，星期天ABCD12已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC你还有其他证法吗?证明:作∠BAC的平分线AD∴∠1=∠2在△BAD和△CAD中如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等∠B=∠C(已知)∠1=∠2(已证)AD=AD(公共边)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)∴△BAD≌△CAD(A.A.S.)∵第4页,共34页，2024年2月25日，星期天证明：作AD⊥BC，垂足为D∴∠ADB=∠ADC=900在△BAD和△CAD中，∠B=∠C(已知)∠ADB=∠ADC(已证)AD=AD(公共边）∴△BAD≌△CAD（A.A.S.）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC∵□ABCD□第5页,共34页，2024年2月25日，星期天ABC如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等几何语言：∵∠B=∠C(已知)∴AB=AC(等角对等边)

等腰三角形的判定定理：(简写成“等角对等边”)。注意：在同一个三角形中应用哟！第6页,共34页，2024年2月25日，星期天等腰三角形的性质与判定有区别吗?性质是:1.等边等角2.三线合一判定是:等角等边第7页,共34页，2024年2月25日，星期天已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.求证:BD=CE.

证明：∵DE∥BC∴∠1=∠B,∠2=∠C

∵∠1=∠2

∴AD=AE(等角对等边)∠B=∠C(等量代换)

∴AB=AC(等角对等边)

∴AB-AD=AC-AE

即BD=CEBCEAD21第8页,共34页，2024年2月25日，星期天已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC求证：AB=ADABCD证明：∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC

∵

BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠DBC

∴∠ABD=∠ADB(等量代换)

∴AB=AD(等角对等边)

∴AB=AC(等角对等边)第9页,共34页，2024年2月25日，星期天已知：在△ABC中，∠1=∠3,∠2=∠4，AD平分∠BAC。求证：AD⊥BCABCD1234证明：∵

∠1=∠3,∠2=∠4∴∠1+∠2=∠3+∠4即∠ABC=∠ACB∴AB=AC(等角对等边)

∵

AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

∴AD在等腰△ABC的顶角的角平分线上

∴AD⊥BC(等腰三角形的“三线合一”)第10页,共34页，2024年2月25日，星期天例：如图,上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离解：∵∠NAC=40°∠NBC=80°∴∠C=∠NBC-∠NAC

=80°-40°=40°∴∠C=∠A∴BA=BC（等角对等边）∵AB=20×（12-10）=40（海里）∴BC=40（海里）答：B处到达灯塔C的距离为40海里。小试牛刀80°40°NBAC北第11页,共34页，2024年2月25日，星期天在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系∴∠2＝∠ABO，∠3＝∠ACOOABCEF若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？(1)中结论还成立吗？解：EF=BE+CF理由如下：ABCOEF1324∵EF∥BC∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB∴∠1＝∠ABO∠4＝∠ACO∴BE＝EOFC=FO(等角对等边)

∵EF=EO+FO∴EF＝BE+FC第12页,共34页，2024年2月25日，星期天求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。EBADC21已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC求证：AB=AC分析：要证AB=AC，就要证∠B=∠C，而已知有∠1=∠2，只要找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系就可以了。第13页,共34页，2024年2月25日，星期天解：∵AD∥BC∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等）∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2∴∠B＝∠C(等量代换)∴AB=AC(等角对等边）EBADC21已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC。求证：AB=AC第14页,共34页，2024年2月25日，星期天ABC从以上讲解我们可以得到什么结论？已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C求证：AB=AC=BC第15页,共34页，2024年2月25日，星期天这是由判定定理推导出的一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的一种方法。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。第16页,共34页，2024年2月25日，星期天符号语言：在△ABC中，

∵∠A=∠B=∠C，

∴△ABC是等边三角形．细心观察，探索性质等边三角形的判定定理1：

三个角都相等的三角形是等边三角形．CAB第17页,共34页，2024年2月25日，星期天ABC60°60°你又可以得到什么？已知：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60°(或者∠B=60°）求证：AB=AC=BC第18页,共34页，2024年2月25日，星期天推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。这是由判定定理推导出的又一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的另外一种方法。第19页,共34页，2024年2月25日，星期天

等边三角形的判定定理2：

有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．CAB符号语言：在△ABC中，∵BC=AC，∠A=60°∴△ABC是等边三角形．第20页,共34页，2024年2月25日，星期天证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°．∴∠A=∠ADE=∠AED=60°．∴△ADE是等边三角形．△ABC是等边三角形，DE∥BC,分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形.ABCDE第21页,共34页，2024年2月25日，星期天证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°∵DE∥BC∴∠ABC=∠D=60°∠ACB=∠E=60°∴∠A=∠D=∠E=60°∴△ADE是等边三角形动脑思考，变式训练

变式1：若点D、E在边AB、AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？ADEBC第22页,共34页，2024年2月25日，星期天变式2：若点D、E在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？证明：∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=∠B=∠C=60°∵DE∥BC∴∠B=∠D=60°∠C=∠E=60°∴∠EAD=∠D=∠E=60°∴△ADE是等边三角形ADEBC第23页,共34页，2024年2月25日，星期天证明：延长BC到D，使BD=AB，连结AD，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°,∴∠B=180

°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-30°=

60°∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形)由等边三角形的性质可知，AC也是BD边上的中线，已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．ABCD

∴BC=BD=AB．追问：你还能用其他方法证明吗？30°60°第24页,共34页，2024年2月25日，星期天证明：作∠BCE=60°，交AB于E，连结CE，∵∠ACB=90°∴∠ACE=90°-60°=30°在△ABC中∵∠ACB=90°，∠A=30°∴∠B

=90°-∠A=60°在△BCE中，∵∠BCE=60°,∠B=60°∴∠BEC=∠BCE=∠B=60°∴△BCE是等边三角形．∴BC=BE=CE．EABC已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．在△ACE中，∵∠A=30°，∠ACE=30°∴△AEC是等腰三角形．∴CE=AE．∴BC=BE=CE=AE．∴BC=AB．60°30°30°60°第25页,共34页，2024年2月25日，星期天符号语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

动手操作，探索性质

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ABC∴BC=AB．

30°第26页,共34页，2024年2月25日，星期天5课堂练习练习1如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC的长为

．ABC30°第27页,共34页，2024年2月25日，星期天1课堂练习练习2如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=

.ABCD30°4260°30°第28页,共34页，2024年2月25日，星期天

如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大小．X0X02X0X02X02X0X0X0+X0+2X0+X0+X0=1800解得X0=300∴

∠BAC=4×300=1200第29页,共34页，2024年2月25日，星期天

如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大小．解：∵PQ=AP=AQ∴∠PAQ=∠A