青海省西宁市海湖中学2023-2024学年高三年级上学期开学考试（理科）数学试题

西宁市海湖中学2023—2024学年度第一学期

高三理科数学开学考试试卷

时间：120分钟满分：150分命题：张倩审题：吴克青

第I卷（选择题）

一、单选题（每小题5分，共60分）

',I

Y—__JV

1.曲线C经过伸缩变换｛2后，对应曲线的方程为：∕2+y2=ι,则曲线。的方程为（）

j'=3y

2

厂X2y2

A.—-+9y2=1B.4x2+—=1C.—+—=1D.4x2+9y2=1

4949

x=2COSe

2.圆＜的圆心坐标是（）

y=2sin6+2

A.(0,2)B.(2,0)C.(0,-2)D.(-2,0)

x=4cosφ

3.椭圆・（8为参数）的离心率是（）

y=5sinφ

aID.2

B-?c

∙I5

4.已知点4的极坐标为（2,2（1,则它的直角坐标是（）

A.(1,石)B.(l,-√3)C.(-1,√3)D.(-l,-√3)

5.下列极坐标方程表示圆的是（）

C万

A.p=4B.θ=-C.PSine=ID.p(sin^÷cosθ)=∖

2

6.圆的极坐标方程为p=2（cosΘ+sinθ）,则该圆的圆心极坐标是()

㈠为参数），则曲线C的普遍方程为（

X2V+V

A.----y=11C.-+y2=lD.--1--

2'842一84

X=]+COSCC

8.在平面直角坐标系XOy中，曲线G的参数方程为<（。为参数，π<a<2π∖以坐标原点

y=l+sina

。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为QCoS=孝心当G与有

两个公共点时，实数r的取值范围为（）

A.（2-√2,2+√2）B.[l,2+√2）C.（2-√2,l）D.（2-√2,l]

9.已知曲线。与曲线夕=5GCoSe-5Sine关于极轴对称，则曲线。的方程为（）

A.P=-IoCOSB.p=IOcos

+

C.p--IOcosI1D.p=IOcosθ+τ

10.极坐标方程2=4CoSe化为直角坐标方程是（）

A.(X-2)2+V=4B.X23+y2C.%2+(y-2)2=4D.(x-l)2+(y-l)2=4

X=2cos

11.过椭圆CHL（。为参数）的右焦点尸作直线/：交C于M,N两点，∣M∕q="z,ITVF∣=H,

y=√3sin^

则工+L的值为（）

mn

248

A.-B.-C.-D.不能确定

333

C.D.

第∏卷（非选择题）

二、填空题（每小题5分，共20分）

X=COSθ

13.参数方程4.,（。为参数，且。£尺）化为普通方程是_______.

y=2+sirrΘ

14.若点（-3,-3G）在参数方程［=6c°s'（。为参数）表示的曲线上，则e=

y=6si∏e

双曲线4的渐近线方程为

y=sect

16.若圆C的极坐标方程为p2-4pcos。—2PSine+1=0,则圆心C到直线y=x的距离为.

三、解答题（17题10分，其它各12分，共70分）

17.将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程

（1）1=4Sine

（2）Q=Sine+2COSe

X=非cosφ2

V

18.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为｛（。为参数），直线/的参数方程为r

Iy=Jl5sin。"+当

2

（7为参数）.以原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为.

（1）求点P的直角坐标，并求曲线C的普通方程；

（2）设直线/与曲线C的两个交点为A,B,求∣P4∣+∣P8∣的值.

19.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的X轴的正半轴重合，设点O为坐标

V—/

原点，直线/乂一（参数，∈R）与曲线C的极坐标方程为夕COS2e=2sin0.

y=2+2f

（1）求直线/与曲线C的普通方程；

（2）设直线/与曲线C相交于A,B两点,证明：QA∙OB=（）∙

20.以直角坐标系的原点。为极点，X轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线/的参

X=l÷∕cos-

数方程为《4为参数），曲线。的极坐标方程为夕Sin20=4COS6.

y=Zsin-

4

(1)求曲线。的直角坐标方程；

(2)设直线/与曲线。相交于A、B两点，求IABI的值.

21.在直角坐标系My中，以。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线。的极坐标方程为

0cos[1=1,M,N分别为C与X轴、y轴的交点.

(1)写出。的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；

(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.

[X=——艮t

22.设曲线G在平面直角坐标系中的参数方程为I51为参数)，以坐标原点。为极点，X轴的

2√5f1

y=----/-1

I5

非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线G：夕=2CoSe—4sin6.

(I)将G的方程化为普通方程，并求G的直角坐标方程(化为标准方程)：

(H)求曲线G和两交点之间的距离.

理科数学开学考试参考答案：

1.A

【分析】从变换规则入手，代入新方程化简可得.

,2

-L(1λ丫2

χx2

【详解】把《-2代入/+严=1,得±x+(3y)=l,化简可得二+9y2=i,故选A.

Iy=3y

【点睛】本题主要考查坐标变换，明确变换前和变换后的坐标之间的关系是求解关键.

2.A

【分析】利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为直角坐标方程，从而求得圆心坐标.

X=2COSe(X=2cos6C/、2

【详解】Y圆4，变形为4，两式平方后相加得：Y+(y-2)-=4,故圆心坐标

y=2sinO+21y-2=2sin6

为(0,2).

故选：A.

3.C

【分析】消去参数夕得到椭圆的标准方程后求出α,c可得椭圆的离心率.

22々

【详解】利用平方消元有上+上=1,故α=5,8=4,所以c=3,e=-,故选C.

22x=acosφ

【点睛】椭圆A+2=1的参数方程为<(0为参数)，注意此处0不是OP(P(X,y))与X轴正

aIry=bsinφ

向所成的角，另外我们需利用cosV+sin>=1来消元•

4.C

【分析】由F=PC°s,代值计算即可.

y=PSin6,

.2π1

X=2cos——=-1,

X=PCoSa,

【详解】直接代入公式《即得《3所以它的直角坐标是(-1,G)∙故选C.

y=夕Sinay=2sin券=∖Λ,

【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题.

5.A

【详解】对于A.0=4,表示圆心在极点，半径为4的圆;

对于B.O=]TF,表示y的非负半轴；

对于C.PSine=1,表示直线y=l；

对于D.∕?(Sine+cos6)=l,表示直线x+y-l=0

故选A.

6.B

【详解】圆的极坐标方程2=2(COSe+sin。)化为。2=2PCoSe+2psin6,则对应的直角坐标方程为

x2+y2=2x+2y,B∣J(x-l)2+(y-l)2=2,圆心(1,1),对应的极坐标为，故选择B.

7.B

【分析】先变形，平方后相减消去参数人得到普通方程

+得到定=/+；,又y=

【详解】由X=

两式平方后相减得：土—>2=4,即二一2L=L

284

故选：B.

8.D

【分析】求得曲线G的普通方程、曲线。2的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得f的取值范围.

x=l+cosax-l=cosa,

rwi(Æ<a<2Æ),HWfttafl(x-l)2+(y—l)2=1>

)’=l+sinay-1=sin«

mwc,iâmfôT^âP#.

pcos#+/?sin#=/,BPx+y—t-0,

1+Z

fêm,JWl^I<1,|2-/|<V2,

MWW4-4/+Z2<2,r-4/+2<0,m#2-V2<r<2+V2,

^S^nT^2-V2<r<l.D

9.B

[Wrl^Mp=5V3cos^-5siné?it^SÆ»OT,

^OTBIJnT.

Vp=5\/3cos^-5sin^,.*.p1=5\[3pcosO-5ps\nO,

^p2=x2+y2,pcos0=x,psin(9=y^À±S;,fâx2+y2=5^3x-5y,

:.CW+y2=5jïx+5y,

=5>/3cos0+5sinZ?,

B|Jp=5\/3cos#+sin#=lOcos0-—j.üiâ:B.

\6)

10.A

(WJ=4pcos0,

+/=4^,BP(X-2)2+/=4,

W¥iS.lOWWXIHJ.

11.B

[WrlfUWjWS.W!Ü

-tiWl,Wt^W-U-ÉW.

mn

x2v2,[x=l+/cosa

+2-=i,W.FI,O.

43[y=/sina

22

(tz>9»),RÀffffi^84Ht®^(3+sina^+6cosa-r-9=0.&t.+t2=-“,

911m+nki-1-,I\l(fi+h~4/.f>4

/,•/,=---------^<0(r„r2^).fé-+A=^-^=y—^=11'LL—LL=Z.&&B.

3+sin‘tzmnmnkr^lKi’^l3

[âWl

12.D

[#tlf]’WÆMMx2+y1=1,BPM«Ù&

[ÎW]W/=-KÀy=-Jt^-i,OmiWx2+/=l,-ÈLx,ym?^-B,«D.

xt

[âffiliêa^ÿ^^TO«TRâ98^^1g7KY

13.x2+y=3

x2=cos23n

(Wrl

y-2-sin2#

x2=cos20

ronM'JWM$X2+j-2=l.*.x2+y-3.

y-2=sin2#

J?mM2j8>yx2+)'=3.x2+y=3

[.^Bf1(1)(2)

Û<J-®^8^dU>^Û<Jfâ,(3>|g^fê#:®Ü^Bi+»tBsina>cosa,OJffl

—Æta^Æsin2<7+cos3tf=1

4Æ

14.—+2k7t(keZ)

3

//—\[x=6cos#

L$<]-3,-3V3)RÀ#f(W^W^BBPWW.

v’[_y=6sin0

/,,,[x=6cos0

[WW1Éâ-3,-3V3)Æ#^gr^

'’[>’=6sin<9

cos0z>=---i,

2Arr

W-5^e=—+'ikn(keiryOM^Y+2h(ieZ)

s•ina0=------,

2

15.x±_y=0

WW:È#SJSWMM^S^y2-x2=1.JWa=l,b=\.

^^^y=+x,®x±y=O.

[5W1^fô^féW^ït^MWWïiJia-ù>jC(2,l),Sœamœ^m

[WW]@1CP2-4pcos0-2psin<9+1=0,Bpx2+y2-4x-2y+1=0,

(X-2)2+(>-1)2=4,®4^C(2,1),0I^Cï!jt^y-x=O»^l|J=2^.

5

17.(1)x2+(y-2)2=4;

4!

EÈ»^MÆ^Zl'n4fKjW^z^<RWBPnT.

[WW1(1)p=4sin0=>p2=4psin#=>x1+y2—4y=>x2+(y-2)=4;

225

(2)yo=sin(9+2cos^=>p=psiné*+2pcos0=>x~+y=>’+2x=>(x-1)'+y—4:

L&ffilB-T-STO.

18.(1)^CTO»y+^=l;(2)6.

X=X?COS0

[WlTïtO<:(1W£ïU

y=psiné?

PÆÉfrM»,<pp]W^Cûf)Mœ-+L=1;

515

(2)WM^miKCfômg,fOJA

fôm<WtW|PA|+|PB|=|z,|+|f2|,^nTlU^tB|PA|+|PB|âÜtt.

1OTW:(1)APWMWx=V3cos-=0,^.Pâ<jMféx=V3sin-=>/3,

22

22

WP(O,V3),y+^=1-

(2),mou±.wwrmÀùticmm

2

z+2r-8=0,TOWJZ,,/2.JW:t,+t2=-2,r,r2=-8,

Ètfô/LM»=|PA\+1PB\=|r,-121=^+^-4^=6.

2

19.(1)/:y=2x+2,C:x=2y;(2)WWI/r.

(W)(1)fôlHOWfô

(2)

[WWl(I)ÈM/â<J#^Mi^#W^ë^=2x+2,

ÉttÊêCMfe^MIWp.®p2cos20=2/xinp,SPx2=2y

ffrUptlaCÛ<J«A®x2=2y.

y-2x+2

(2)i$A(^,y),P(%,j’),É<

122[x=2y

2

yfâx-4x-4=0,PWx,+x2-4,xl-x2=-4,

YY

4

WO'iJÙ=y-7^=’•’•OAOB=xlx2+yly2=0.

20.(1)y2=4x(2)8

(2)^iJffl^-fe^^WBPnT.

22

[WWJ(1)Èpsin(9=4cos#,^(psin6>)“=4pcos0,^fWft^CWMÆ^feM^rS^y=4x;

(2)É@M^fê^y=x-l,ftÀft^y2=4x,Wx2-6x+l=0,

i£A,BJW.&(x,,y,),(A^,y2),

5101AZ?|=^/(x2—x,)'4-(y2-y,)'=V2|x2-x,|=V2J(xl+x2)'-4x,x2,

XXI+X2=6,X!X2=1,.*.|AB|=\Z2x>/32=8,BP|AB|8.

/2^3£

21.(1)x+V