2023-2024学年江西宜春市高一年级下册第一次段考数学试题（含答案）

2023-2024学年江西宜春市高一下册第一次段考数学试题

一、单选题

1.与-330。角终边相同的角的集合为（）

A.j<2a=+2kn,kGZ>B.<aa=-^+2kn,kGZ

C.a=­Tt+2kjt,keZD.a=—+2kn,kGZ

【正确答案】B

【分析】根据终边相同角的定义即可求解.

【详解】解：-330。角的弧度数为-11耳JT，故与其终边相同的角的集合为

6

1aa=-^it+2kit,kez}=[aa=^+2kn,kGz|.

故选：B

2.下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是

A.y=sinxB.y=cosxC.y=lnxD.y=x3

【正确答案】A

【详解】根据函数的奇偶性定义可知函数y=sinx,y=V为奇函数，y=sinx为周期函数，

选A.

3.角。的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴.终边经过点(3,y),且sin®=-1,则tan*

()

A.--B.-C.--D.-

3344

【正确答案】A

3

【分析】本题首先可根据题意得出cos6>0,然后根据sin2e+cos2®=l解得cos0=1,最后

通过tan0=吗即可得出结果.

COS夕

【详解】因为sine=-g,终边经过点(3,y),

所以终边位于第四象限，cos6>0

4

sin0=—3

联立5,解得cos6二『

sin2+cos20=1

八sin64

则niltan0=------=——

cos。3

故选：A.

4.已知sin|a-g则cos（a+71的值是（）

6

1厂272D.一座

A.——B

3-133

【正确答案】A

【分析】结合诱导公式五化简求值即可.

【详解】Vsin(«-y)=1,

cos(a+看)=cosg+3-y)]=一sin(〃丄

3

故选：A.

5.我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程端娥五号探测器，顺利将

探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭

圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离

TT

月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转1■弧度，飞过的路程

约为（万=3.14）（）

A.1069千米B.1119千米C.2138千米D.2238千米

【正确答案】D

【分析】利用弧长公式直接求解.

【详解】嫦娥五号绕月飞行半径为400+1738=2138,

TTjr314

所以嫦娥五号绕月每旋转3弧度，飞过的路程约为/=cr=1x2138=q-x2138~2238（千

米）.

故选:D

71

6.己知。=cos7，b=sin—,=0.3-2,贝！J（）

88c

A.c>a>bB.b>c>aC.a>c>bD.c>b>a

【正确答案】A

【分析】由I>a=cosj>6=sing>0,c=0.3-2=W>1,判断可得选项.

889

【详解】解：因为l>a=cosg>Z?=sin£>0,c=0.3"=乎>1,所以c>4>。,

889

故选：A.

7.在（0,2万）内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是

【正确答案】C

直接画出函数图像得到答案.

乃5%

【详解】画出函数图像，如图所示:根据图像知xe

7'T

故选.C

本题考查了解三角不等式，画出函数图像是解题的关键.

8.底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比［存口的等腰三角形称为黄金三角形，其中顶

角为36。的黄金三角形被认为是最美的三角形.据此可得cos216。的值是（）

A4+-751+V5「3+石1-2亚

A.-----DR.-----L.------nU.---------

8484

【正确答案】B

【分析】根据已知条件求出cos72。，再根据二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得出答案.

【详解】解：如图，ABC为一个黄金三角形,

其中AB=AC,NR4C=36。，。为5c的中点，

根据题意可知生=選二L

AB2

1

BC

则C°SB®2V5—i,

ABAB4

即cos720=且」,

4

又COS720=2COS2360-1,

则2cos236°-1=叵4，

4

解得cos36。='+1，

4

所以cos216°=cos(180°+36。)=-cos36°=-.

故选：B.

二、多选题

9.下列命题正确的是（）

A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为｛a|a=2叔'MeZ｝

B.终边落在y轴上的角的集合为｛。隆=90。+以,%€2｝

C.第三象限角的集合为1a];r+2hTWa4^+2&;r,A€z｝

D.在-720。~0。范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315。

【正确答案】AD

【分析】根据任意角的定义判断即可.

【详解】终边落在x轴的非负半轴的角的集合为｛a\a=2k7r,k€Z｝故A正确.

终边落在y轴上的角的集合为⑷a=90°+版"，荘Z｝属于角度制和弧度制的混用，故B错误.

第三象限角的集合为jal，+2版■<a<3+2k;r,keZj不能取等号，等号时表示轴线角，故

C错误.

-720。~0。范围内所有与45。角可以表示为„=45+360-k,k=-\-^,故。=-675°或

£=-315°,故D正确.

故选：AD

10.一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心。距离水面1.8米.己知水轮按逆时针做匀速

转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点尸从水面浮现时（图中点外位置）开始计时，则

下列判断正确的有（）

A.点P第一次到达最高点需要20秒

B.在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方

C.当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米

D.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米

【正确答案】ABC

【分析】结合周期性以及角度判断出正确答案.

【详解】设水面为4A,

过。作直径IB丄《6,垂足为A,

依题意Q4=1.8米，所以=60。，Z^=120°,

P第一次到达最高点片需要的时间为三x60=20秒，A选项正确.

36（）

根据对称性可知，户由外运动到A，需要时间20x2=40秒，B选项正确.

当水轮转动95秒时，位置与95-60=35秒时相同，

35

35秒转过的角度为二、360。=210。，

如图中匕的位置，其中。耳丄。鸟，故此时P在水面上方，距离水面的距离等于。4=1.8米,

C选项正确.

当水轮转动50秒时，位于B的位置，距离水面3.6-1.8=1.8米，D选项错误.

故选：ABC

PA

11.已知函数>=2sinx的定义域为［凡句，值域为［-2,0］,则6-a的值可能是()

7t门兀-2兀八4几

A.-B.-C.—D.—

3233

【正确答案】BC

【分析】根据值域分析sinx能取得最小值-1,最大值能取到0,利用正弦函数的性质即可

得出范围，从而得出答案.

【详解】函数y=2sinx的定义域为［〃,目，值域为

故sinx能取得最小值T,最大值能取到0.

当。=2祈+兀(％£Z)时，2foc+—<Z?<2Z：7r+2n(^eZ),b-ae—,n；

2_2_

当6=2E+2兀(ZeZ)时，2kit+n<a<2kn+—(ZcGZ),b-ae—,n.

2_2_

所以，BC符合要求.

故选：BC.

12.设函数/(x)=2xcosx,则()

A./(x)是R上的偶函数

B.fM在区间［0,2可内有3个零点

C.对Vxe(0,4w),者|5有/(x)</+l

D.当x>0时，不等式f(x)<0的解集为{X5+2E<X<£+2E,&WN}

【正确答案】BCD

【分析】A选项根据函数奇偶性判断，./(-x)=-/(x),为奇函数；B选项求解零点，分为

x=0或cosx=0,注意定义域即可；C选项利用基本不等式及余弦函数的值域即可证明；D

选项根据余弦值在为负时所在区间范围即可得到答案.

【详解】/(—x)=—2xcosx=—/(x),函数f(x)为奇函数，A错误；

令/(x)=xcosx=。，则此函数在［0,2可内有0,当三个零点，B正确；

当x>0时，=+=1,当且仅当x=l时等号成立；而cosxWl,当

2x22xv22x

x=2E,kwN*等号成立，所以上述等号不会同时成立，故d+i>2xcosx,BP/(x)<x2+1,

C正确；

(兀371)

x>0时，/(x)<0,贝ljcosx<0,则解集为(5+2E，3~+2htJ,Z：eN,D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13.如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的

隹厶

匚］_____•

产

A75

I。

8、330。

【正确答案】{4公360°-30°<。<公360°+75。,左€2}

【分析】利用终边相同的角的集合定义即可得出.

【详解】阴影部分内的角的集合为{平-360。-30。<，<&.360。+75。,荘2}

故答案为.{叫人360。一30。<6<h360。+75。,％€2}

acca

I4-a为第三象限的角，且。叱是第——象限的角.

【正确答案】二

aan

【分析】根据。为第三象限的角，写出a,［的范围，再根据题意得cos］40,即可判断三所

222

在象限.

【详解】因为&为第三象限的角，有万+2%i<a〈甘+2br,&eZ,

所以工+及7<4〈且+%肛&eZ,又cos^=-cost,所以cos440；

224222

ary

当改为偶数时，•^是第二象限角，满足cos/。；

当&为奇数时，券是第四象限角，不满足cos^WO；

故答案为二.

本题主要考查象限角的范围以及三角函数值在各象限的符号.

1冗冗2冗

=彳，旦0<。<一,则sin(—+a)+cos(—+a)=______.

H3263

【正确答案】0

【分析】先用换元,再用诱导公式，将所求转化为换元后的三角函数，计算结果即可.

TT(7TTC\\

【详解】解:由题知，令夕=7-，所以cosP),

3I63丿3

式2471

sin(—+a)+cos(——+a)=sin(7?)+cos(4-J3)=cos0-cos/7=0

632

故答案为：0

16.已知函数/(无)=|siav|-cosx,给岀以下四个命题：

◎(x)的图象关于y轴对称；

②y(x)在［-兀，0］上是减函数：

⑧f(x)是周期函数：

®f(x)在［-n,用上恰有三个零点.

其中真命题的序号是.(请写出所有真命题的序号)

【正确答案】①③

求函数的奇偶性即可判断①；结合取值范围，可去绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解

析式，从而可求单调性即可判断②；由/a+2兀)=/a)可判断③；求［-兀，0］上的解析式,

从而可求出该区间上的零点，结合函数的奇偶性即可判断［-兀，兀］上零点个数.

【详解】解：对于①，函数/(x)=sinx-COSX的定义域为R,且满足/(-x)=f(x),

所以/(x)是定义域在R上的偶函数，其图象关于)，轴对称，①为真命题；

对于②，当xe［-7t,0］时，siorSO,f(x)=-(si«x+cosx)=-&si"(x+?J,

对于y=&si"(x+?),x+?e，所以在［-兀，0］上先减后增，那么/(x)在［-兀,

0］上先增后减，②为假命题；

对于③，因为f(x+2jt)=|sin(JC+2TT)|-cos(x+2n)=|sinx|-cosx=/(x),函数f(x)是

周期为2兀的周期函数，③为真命题；

对于④，当工口-兀，0］时，sinA<0,f(x)=-(sinx+cosx)=-41sin+j>且

-^,7，/(X)在［-兀，0］上恰有一个零点是一(，又由①知道f(x)是定义在R

TT

上的偶函数，所以在(0,兀］上有一个零点是3,则④为假命题.

故答案为:①③.

关键点睛：在判断命题②④时，关键是结合自变量的取值范围去掉绝对值号，结合辅助角公

式求出函数的解析式，再结合正弦函数的性质进行判断.

四、解答题

17.用“五点法''作出函数y=l-2sinx,xe［-乃，加的简图，并回答下列问题：

(1)观察函数图像，写出满足下列条件的》的区间.

①y>i；②y<L

(2)若直线>与y=l-2sinx,xe［-小乃|的图像有两个交点，求。的取值范围.

【正确答案】(1)当xe(一巴0)时，y>l；当xe(O,不)时，y<l；(2)(-1,1)(1,3).

【分析】(1)用五点作图法画出函数图象，观察图象，即可写出满足条件的x的区间；

(2)根据图象，用数形结合，判断交点个数.即可求出a的取值范围.

【详解】列表如下：

乃71

X-7171

0~2

sinx0010

l-2sinx131-11

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如下图:

（1）由图像可知，图像在直线y=i上方部分时>>1,在直线y=i下方部分时y<i,

所以①当xe（rr,O）时，y>\；②当x«0,%）时,y<\.

（2）如图所示，当直线y=〃与y=l-2sinx,xe[rr,句的图像有两个交点时，1<。<3或

所以。的取值范围是（T,l）。,3）.

本题考查了正弦函数的图象，考查了五点作图法，数形结合思想是高中重要的一种思想，应

熟练灵活掌握，属于基本知识的考查.

18.A,B是单位圆。上的点，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限.记

4

ZAOB="且sin，=w.

（I）求B点坐标；

7T

fsinO+6）+2sin（——&）任

（II）求2的值.

2tan（^--0）

【正确答案】（I）（—=3=4）；（H）3

554

【分析】（I）根据角。的终边与单位圆的交点为（cosasin。），结合同角三角函数关系和

sinO=1,可得8点的坐标；

（II）根据诱导公式化简题中的式子，结合（I）中结论代入即可结果.

【详解】解：（I）设B点坐标为（x，y）,

4

贝！Jy=sin6=m,

3

因为点8在第二象限，所以x=cose=-[,

即5点坐标为：（-314?；

sin(乃+e)+2sin(；-。)sin0+2cOs0«3

2tan(»-9)-2tan084

3

19.已知函数〃x)=sin(会-2x).

⑴求〃x)的单调递增区间；

7171

(2)求〃x)在区间上的值域.

【正确答案】⑴,-工，E+］卜eZ)；

⑵H』］

【分析】(1)用诱导公式将/(X)化简，再用整体代入法求单调区间;

(2)先判断f(x)在定区间内的单调性，根据单调性求值域.

【详解】(1)/(x)=sin［与-2x)=sin7t-(--2x\=sinf2x4-—^,

LI3)\I3丿

令2也-5<2x+《v21ai+^kGZ),

得E-工<x<E+左wZ),

(571+国仏eZ).

\/(x)的单调递增区间为石，阮

,、兀兀八兀兀5兀一

(2)XGLT7p•-2x+3eL3,Tj,

sin(2x+g)w-与,1,

TT兀刿

\/(%)在区间-了1上的值域为一

20.已知一扇形的圆心角为a(a>0),所在圆的半径为R.

(1)若a=60，R=l0cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

(2)若扇形的周长为20c姉当扇形的圆心角a等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?

【正确答案】(1)等。明(^£―25百10疝)；(2)a=2rad.

(1)由公式/=。7?算出弧长，弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积

(2)由周长为定值可得出弧长和半径的关系，再把S用R表示出来，运用函数的知识即可求

出最大值.

【详解】(1)设扇形的弧长为/,弓形面积为S,则

a=60=—,R=10,I=—xl0=-^-cw,

333

(2)设扇形弧长为/,则/+2R=20,即/=20-2/?(法<??<10

，扇形面积5=丄小=丄(20-27?)./?=-紹+10/?=—(/?-5)2+25,

22

.•.当R=5cvn时，S有最大值25。〃?？，此时/=a=—=2rad.

R

因此当a=2rad时，这个扇形面积最大.

C=i+2R,S=-IR

2

当周长C为定值时可得面积S=g(C-2R)R=-R2+gcR

当面积S为定值时可得周长C=4+2R.

R

21.已知函数/(x)=asinx+6(a,Z>eR).

(1)若"0,函数/(x)的最大值为0,最小值为T,求匕的值；

(2)当6=1时，函数g(x)=/(*)+cos?x的最大值为2,求。的值.

a=-2

【正确答案】(1)-2；⑵°，

—ci+b=0

【分析】(1)由题意可得a+b=^由此求得的值.

(2)利用整体换元法将g(x)化为二次型函数，分类讨论求得最大值，即可求得a值.

【详解】(1)由题意。<(),所以sinx=-l时，/(x)最大，sinx=l时，/(x)最小,

-a+h=Qa=-2

可得

a+b=—4>\h=—2

(2)，g(x)=f(x)+cos2x

=l+6rsinx+cos2x

=2+as\nx-sin2x

=—+2-(sinx--)2,

42

令r=sinx,

2

g(/)=—+2-(/——)2,V/G[—1,1],

42

分类讨论：

若@<-1,即a<・2,

2

gmax=g(-1)=2—。-1=2,故。=一1；(舍去)；

即-2&W2,

2

2

gmax=g(-)=—+2=2,得。=0(舍去)；

24

若凹>1,即。>2,

2

gnuix—g(1)=2+a-l=2,得a=l(舍去)

.•.可得：a=0.

本题主要考查了正弦函数的图象和性质，同角三角函数基本关系式的应用，考查了二次函数

求最值的方法，考查了分类讨论思想，属于中档题.

22.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆(半径为1cm的圆)的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从

点4(1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过a角，黑蚂蚁每秒爬过4角(其中

0°<a</<180°).如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象

限.

(1)求a,夕的值.

(2)两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A黑町付匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A

顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离.

3605404

【正确答案】（1）a=；(2)-71cm.