曲面及其方程

关于曲面及其方程八个卦限zyx01.

空间直角坐标系第2页,共71页，2024年2月25日，星期天八个卦限zyx0.

1.

空间直角坐标系第3页,共71页，2024年2月25日，星期天八个卦限zyxⅡⅢⅠⅣⅤⅥⅧ0MxyNz(x,y,z)M

(x,y,z)点的坐标.

1.

空间直角坐标系第4页,共71页，2024年2月25日，星期天0zyx0MxyNz(x,y,z)(x,y,z)坐标和点

M1.

空间直角坐标系.第5页,共71页，2024年2月25日，星期天0zyx0NM点到坐标面的距离M点到原点的距离M点到坐标轴的距离PQ到z轴:到x轴:到y轴:M(x,y,z)d1d2d3...1.

空间直角坐标系.第6页,共71页，2024年2月25日，星期天x0zyM点的对称点关于xoy面:(x,y,z)

(x,y,-z)关于x轴:(x,y,z)

(x,-y,-z)Q0关于原点:(x,y,z)

(-x,-y,-z)1.

空间直角坐标系.M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)第7页,共71页，2024年2月25日，星期天uABc两矢量的和在轴上的投影等于投影的和A´B´c´2.

两矢量和在轴上的投影第8页,共71页，2024年2月25日，星期天AcuA´B´c´B..两矢量的和在轴上的投影等于投影的和2.

两矢量和在轴上的投影第9页,共71页，2024年2月25日，星期天引理ca将矢量a一投一转（转900），证明

引入

证毕(a+b)

c=(a

c)+(b

c)c03.

证明矢量积的分配律:两矢方向:一致；a2|a2|=|a1|a2得a2第10页,共71页，2024年2月25日，星期天(a+b)

c=(a

c)+(b

c)cbaa+b(a+b)

ca

c由矢量和的平行四边形法则，得证c03.

证明矢量积的分配律:..b

c将平行四边形一投一转(a+b)

c=(a

c)+(b

c)第11页,共71页，2024年2月25日，星期天bc

a

baS=|a

b|

h4.

混合积的几何意义第12页,共71页，2024年2月25日，星期天h

ac

a

bb4.

混合积的几何意义.第13页,共71页，2024年2月25日，星期天h

ac

a

bb4.

混合积的几何意义.其混合积[abc]=0

三矢a,b,c共面因此，第14页,共71页，2024年2月25日，星期天xzy0母线F(x,y)=0z

=0准线

(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面S上每一点都满足方程；曲面S外的每一点都不满足方程F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面点N满足方程，故点M满足方程5.

一般柱面

F(x,y)=0第15页,共71页，2024年2月25日，星期天母线准线(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面6.

一般柱面

F(y,z)=0第16页,共71页，2024年2月25日，星期天abzxyo7.

椭圆柱面第17页,共71页，2024年2月25日，星期天zxy=0yo8.

双曲柱面第18页,共71页，2024年2月25日，星期天zxyo9.

抛物柱面第19页,共71页，2024年2月25日，星期天曲线CCy

zo绕z轴10.

旋转面的方程第20页,共71页，2024年2月25日，星期天曲线CxCy

zo绕z轴.10.

旋转面的方程第21页,共71页，2024年2月25日，星期天曲线C旋转一周得旋转曲面

SCSMNzPy

zo绕z轴.f(y1,z1)=0M(x,y,z)10.

旋转面的方程.x

S第22页,共71页，2024年2月25日，星期天曲线C旋转一周得旋转曲面

SxCSMNzP.绕z轴..f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=010.

旋转面的方程.y

zo

S第23页,共71页，2024年2月25日，星期天x0y11.

双叶旋转双曲面绕x

轴一周第24页,共71页，2024年2月25日，星期天x0zy.绕x

轴一周11.

双叶旋转双曲面第25页,共71页，2024年2月25日，星期天x0zy.11.

双叶旋转双曲面.绕x

轴一周第26页,共71页，2024年2月25日，星期天axyo12.

单叶旋转双曲面上题双曲线绕y

轴一周第27页,共71页，2024年2月25日，星期天axyoz.上题双曲线绕y

轴一周12.

单叶旋转双曲面第28页,共71页，2024年2月25日，星期天a.xyoz..12.

单叶旋转双曲面上题双曲线绕y

轴一周第29页,共71页，2024年2月25日，星期天13.

旋转锥面两条相交直线绕x

轴一周x

yo第30页,共71页，2024年2月25日，星期天.两条相交直线绕x

轴一周x

yoz13.

旋转锥面第31页,共71页，2024年2月25日，星期天x

yoz.两条相交直线绕x

轴一周得旋转锥面.13.

旋转锥面第32页,共71页，2024年2月25日，星期天yoz14.

旋转抛物面抛物线绕z

轴一周第33页,共71页，2024年2月25日，星期天yoxz.抛物线绕z

轴一周14.

旋转抛物面第34页,共71页，2024年2月25日，星期天y.oxz生活中见过这个曲面吗？.14.

旋转抛物面抛物线绕z

轴一周得旋转抛物面第35页,共71页，2024年2月25日，星期天卫星接收装置14.例.第36页,共71页，2024年2月25日，星期天15.环面yxorR绕y轴旋转所成曲面第37页,共71页，2024年2月25日，星期天15.环面z绕y轴旋转所成曲面yxo.第38页,共71页，2024年2月25日，星期天15.环面z绕y轴旋转所成曲面环面方程.生活中见过这个曲面吗？yxo..第39页,共71页，2024年2月25日，星期天救生圈.15.环面第40页,共71页，2024年2月25日，星期天截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo16.

椭球面第41页,共71页，2024年2月25日，星期天xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面17.

椭圆抛物面第42页,共71页，2024年2月25日，星期天xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面17.

椭圆抛物面.第43页,共71页，2024年2月25日，星期天用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法

（马鞍面）18.

双曲抛物面第44页,共71页，2024年2月25日，星期天截痕法.18.

双曲抛物面

（马鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面第45页,共71页，2024年2月25日，星期天截痕法.18.

双曲抛物面

（马鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面第46页,共71页，2024年2月25日，星期天

单叶：双叶：...yx

zo

在平面上，双曲线有渐近线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐近锥面。

用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。渐近锥面：19.

双曲面的渐进锥面第47页,共71页，2024年2月25日，星期天

直纹面在建筑学上有意义含两个直母线系

例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。.20.

单叶双曲面是直纹面第48页,共71页，2024年2月25日，星期天

含两个直母线系21.双曲抛物面是直纹面第49页,共71页，2024年2月25日，星期天

n次齐次方程F(x,y,z)=0的图形是以原点为顶点的锥面；方程F(x,y,z)=0是n次齐次的：准线顶点n次齐次方程F(x,y,z)=0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是锥面是直纹面x0z

yt是任意数22.

一般锥面第50页,共71页，2024年2月25日，星期天23.

空间曲线——圆柱螺线P同时又在平行于z轴的方向等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。

圆柱面yz0xa

x=

y=z=acostbtM(x,y,z)asinttM螺线从点P

Q当

t

从0

2，叫螺距N.Q（移动及转动都是等速进行，所以z与t成正比。)点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转；第51页,共71页，2024年2月25日，星期天

1.解yxzo得交线L：24.空间曲线在坐标面上的投影由第52页,共71页，2024年2月25日，星期天z=0.1yxzo解L...得交线L：24.空间曲线在坐标面上的投影.投影柱面由第53页,共71页，2024年2月25日，星期天

L:xz

y0()25.空间曲线作为投影柱面的交线(1)

消去zy2=–4xy2=–4x第54页,共71页，2024年2月25日，星期天

L:xz

y0()

消去z(消去x)25.空间曲线作为投影柱面的交线(1).y2+(z–2)2=4y2+(z–2)2=4y2=–4xy2=–4x第55页,共71页，2024年2月25日，星期天

L：L:xz

y0L转动坐标系，有下页图()转动坐标系，有下页图.

消去z(消去x).y2+(z–2)2=4y2=–4xy2+(z–2)2=4y2=–4x25.空间曲线作为投影柱面的交线(1)第56页,共71页，2024年2月25日，星期天L：Lxz

y0y2+(z–2)2=4y2=–4x(消去z)y2+(z–2)2=4(消去x)y2=–4x26.空间曲线作为投影柱面的交线(2)第57页,共71页，2024年2月25日，星期天666x+y+z=63x+y=6227.作图练习x0z

y

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图第58页,共71页，2024年2月25日，星期天666x+y+z=63x+y=62.x0z

y

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图27.作图练习第59页,共71页，2024年2月25日，星期天3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图27.作图练习第60页,共71页，2024年2月25日，星期天3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的立体图27.作图练习第61页,共71页，2024年2月25日，星期天42x+y+z=6.x0z

y666

平面y=0,