专题3二次函数与等腰直角三角形问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘含答案

挑战20224年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题3二次函数与等腰直角三角形问题二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。

【例1】(2021•广安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(3，0)，B点坐标为(﹣1，0)，连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)求b、c的值．(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【例2】(2021•上海)已知抛物线y＝ax2+c(a≠0)经过点P(3，0)、Q(1，4)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；②若C在抛物线上，求C的坐标．【例3】(2021•怀化)如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【例4】(2021•随州)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(1，﹣4)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；(3)如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．【题组一】1．(2021•昆明模拟)已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c(a＞0)过点(﹣1，0)与(0，﹣3)．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；(3)作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c(a＞0)和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．2．(2021•新泰市一模)如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A(﹣3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C．已知点D的坐标为(﹣1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．(1)求这个抛物线的表达式．(2)点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．(3)①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．3．(2021•广汉市模拟)已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，6)，C(﹣2，0)，tan∠ABO＝1，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．4．(2021•湖州模拟)二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣2)，直线l：x＝m(m＞3)与x轴交于点D．(1)求二次函数的解析式；(2)在直线l上找点P(点P在第一象限)，使得以点P，D，B为顶点的三角形与以点A，C，O为顶点的三角形相似，求点P的坐标(用含m的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使得△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．(2021•普宁市模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，直线y＝x+与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若P(m，0)是线段AB上的动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．①当m＜0时，是否存在一个m值，使得S△EFG＝S△OEG，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由；②当△EFH是以点F为直角顶点的等腰直角三角形时，求出点P的坐标．【题组二】6．(2021•辽宁模拟)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)．(1)求抛物线的解析式：(2)点E为抛物线上一点，且点E的横坐标为a，若∠EBA＝2∠ACO，请求出a的值；(3)点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N，点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．7．(2021•分宜县校级模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；(3)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由．8．(2021•秦都区模拟)如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x＝1，且该抛物线与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A，B两点，其中B点的坐标为(3，0)，且OB＝OC．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点(其中点M在点N的右侧)，在x轴上是否存在点Q，使△MNQ是以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．(2021•福建模拟)已知抛物线的顶点为A，点M(m，n)为第三象限抛物线上的一点，过M点作直线MB，MC交抛物线于B，C两点(点B在点C的左侧)，MC交y轴于D点，连接BC．(1)当B，C两点在x轴上，且△ABC为等腰直角三角形时，求c的值；(2)当BC经过O点，MC经过OA的中点D，且OC＝2OB时，设直线BM交y轴于E点，求证：M为BE的中点；(3)若△MBC的内心在直线x＝m上，设BC的中点为N，直线l1经过N点且垂直于x轴，直线l2经过M，A两点，记l1与l2的交点为P，求证P点在一条新抛物线上，并求这条抛物线的解析式．10．(2020秋•九龙坡区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，且A点的坐标为(﹣，0)，直线BC的解析式为y＝x﹣．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过A作AD∥BC，交抛物线于点D，点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接PB，PC，BD，CD，求四边形PBDC面积的最大值；(3)将抛物线y＝ax2+bx﹣(a≠0)向左平移个单位长度，平移后的抛物线的顶点为E，连接BE，将线段BE沿y轴平移得到线段B1E1(B1为B的对应点，E1为E的对应点)，直线B1E1与x轴交于点F，点Q为原抛物线对称轴上一点，连接E1Q，FQ，△E1FQ能否成为以E1F为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不能，请说明理由．【题组三】11．(2021秋•石景山区校级月考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B的左侧)．(1)若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．12．(2021秋•永城市月考)已知抛物线C的解析式为y＝2x2﹣4x+m，与y轴交于点A．(1)直接写出抛物线C的开口方向及顶点坐标(用含m的式子表示)．(2)过点A作AB∥x轴交抛物线C于另一点B，当S△AOB＝6时，求此抛物线C的解析式．(3)在抛物线C的对称轴上存在一点P，使得△OAP为等腰直角三角形，请直接写出此时m的值．13．(2021秋•汉滨区校级月考)已知，如图，抛物线y＝﹣(x﹣2)2+8与x轴分别交于B，C两点(点C在点B的左边)，与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求A、B、C三点坐标；(2)求直线AB的解析式；(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．14．(2021秋•大连月考)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c过(﹣1，0)和(0，﹣3)两点，点M(a，y1)，N(a+1，y2)为该抛物线上两点．(1)抛物线的解析式为；(2)过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，当△MNQ为等腰直角三角形时，求a的值；(3)抛物线在M，N两点之间的部分为图象G(含M，N两点)，若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h关于a的函数解析式，并直接写出自变量a的取值范围．15．(2020•雁塔区校级模拟)如图，抛物线C1：y=-12x2+2x+2的顶点为A，且与y轴于点B，将抛物线C1沿y＝a对称后，得到抛物线C2与y(1)求A、B两点坐标；(2)若抛物线C2上存在点D，使得△BCD为等腰直角三角形，求出此时抛物线C2的表达式．【题组四】16．(2020•沙坪坝区校级一模)如图1，抛物线y=24x2+2x﹣62交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、(1)求△ACD的面积；(2)如图1，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PE∥y轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PG⊥AD于点G，求EF+52FG的最大值，以及此时(3)如图2，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN为直角边的等腰Rt△BMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．17．(2020•陕西模拟)如图，抛物线C的顶点坐标为(2，8)，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点D(0，6)．(1)求抛物线C的函数表达式以及点B的坐标；(2)平移抛物线C，使平移后的抛物线C′的顶点P落在线段BD上，过P作x轴的垂线，交抛物线C于点Q，再过点Q作QE∥x轴交抛物线C于另一点E，连接PE，若△PQE是等腰直角三角形，请求出所有满足条件的抛物线C′的函数表达式．18．(2020•鹿邑县一模)已知：如图，直线y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c过A、C两点，(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA，PC，试问△PAC的面积是否存在最大值，若存在，请求出△APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．19．(2020•碑林区校级模拟)抛物线C1：y=-14x2-12x+2交x轴于A、B两点(点A在点B(1)求A，B两点的坐标．(2)M为平面内一点，将抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，C2经过点A且抛物线C2上有一点P，使△BCP是以∠B为直角的等腰直角三角形．是否存在这样的点M？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．20．(2020•灌南县一模)如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点A的坐标为(﹣1，0)，与y轴交于点C(0，3)，作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；(2)当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；(3)当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；(4)当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．【题组五】21．(2020•项城市校级二模)二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A(﹣1，0)，点B(4，0)两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．(1)求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；(2)连接BD，当t=32时，求△(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．22．(2020•浙江自主招生)x、y是一个函数的两个变量，若当a≤x≤b时，有a≤y≤b(a＜b)，则称此函数为a≤x≤b上的闭函数．如y＝﹣x+3，当x＝1时y＝2；当x＝2时y＝1，即当1≤x≤2时，1≤y≤2，所以y＝﹣x+3是1≤x≤2上的闭函数．(1)请说明y=30x是1≤(2)已知二次函数y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的闭函数，求k和t的值；(3)在(2)的情况下，设A为抛物线顶点，B为直线x＝t上一点，C为抛物线与y轴的交点，若△ABC为等腰直角三角形，请直接写出它的腰长为10．23．(2019秋•南召县模拟)在平面直角坐标系中，直线y=12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=12x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与(1)直接写出：b的值为-32；c的值为﹣2；点A的坐标为(2)点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．①如图1，过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标1．24．(2020•濉溪县一模)在平面直角坐标系中，直线y=12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y=12x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．①过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标．25．(2020•石屏县一模)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C．(1)求这个二次函数的关系解析式；(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题3二次函数与等腰直角三角形问题二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。

【例1】(2021•广安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(3，0)，B点坐标为(﹣1，0)，连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)求b、c的值．(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)过点P作PH⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；(3)画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．【解答】解：(1)∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A(3，0)，B(﹣1，0)，则，解得：；(2)由(1)得：抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，C(0，3)，A(3，0)，∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，由点P的运动可知：AP＝t，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图，∴AH＝PH＝＝t，即H(3﹣t，0)，又Q(﹣1+t，0)，∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ＝＝＝(t﹣2)2+4，∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC＝，AB＝4，∴0≤t≤3，∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；(3)存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP．∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°，∴∠PMF＝∠QPE，在△PFM和△QEP中，，∴△PFM≌△QEP(AAS)，∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t，又OE＝3﹣t，∴点M的坐标为(3﹣2t，4﹣t)，∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，∴4﹣t＝﹣(3﹣2t)2+2(3﹣2t)+3，解得：t＝或(舍)，∴M点的坐标为(，)．【例2】(2021•上海)已知抛物线y＝ax2+c(a≠0)经过点P(3，0)、Q(1，4)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；②若C在抛物线上，求C的坐标．【分析】(1)P(3，0)、Q(1，4)代入y＝ax2+c即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+；(2)①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，A与Q(1，4)重合时，AB＝4，GH＝1，由△ABC是等腰直角三角形，得CH＝AH＝BH＝AB＝2，C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；②过C作CH⊥AB于H，先求出直线PQ为y＝﹣2x+6，设A(m，﹣2m+6)，则AB＝﹣2m+6，yC＝﹣m+3，xC＝﹣(﹣m+3﹣m)＝2m﹣3，将C(2m﹣3，﹣m+3)代入y＝﹣x2+解得m＝或m＝3(与P重合，舍去)，即可求出C(﹣2，)．【解答】解：(1)P(3，0)、Q(1，4)代入y＝ax2+c得：，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+；(2)①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，如图：当A与Q(1，4)重合时，AB＝4，GH＝1，∵△ABC是等腰直角三角形，∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，∴CH＝AH＝BH＝AB＝2，∴CG＝CH﹣GH＝1，而抛物线y＝﹣x2+的对称轴是y轴(x＝0)，∴C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；②过C作CH⊥AB于H，如图：设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P(3，0)、Q(1，4)代入得：，解得，∴直线PQ为y＝﹣2x+6，设A(m，﹣2m+6)，则AB＝|﹣2m+6|，∴CH＝AH＝BH＝AB＝|﹣m+3|，当﹣m+3≥0，yC＝﹣m+3时，xC＝﹣(﹣m+3﹣m)＝2m﹣3，将C(2m﹣3，﹣m+3)代入y＝﹣x2+得：﹣m+3＝﹣(2m﹣3)2+，解得m＝或m＝3(与P重合，舍去)，∴m＝，2m﹣3＝﹣2，﹣m+3＝，∴C(﹣2，)当﹣m+3＜0，yC＝﹣m+3时，xC＝m﹣(m﹣3)＝3，C(3，﹣m+3)，由P(3，0)可知m＝3，此时A、B、C重合，舍去，∴C(﹣2，)【例3】(2021•怀化)如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)当∠CP′M为直角时，则P′C∥x轴，即可求解；当∠PCM为直角时，用解直角三角形的方法求出PN＝MN+PM＝6+＝，即可求解；(3)作点C关于函数对称轴的对称点C′(2，8)，作点D关于x轴的对称点D′(0，﹣4)，连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，进而求解；(4)分两种情况，证明△ANQ≌△QMC(AAS)，则QN＝CM，即可求解．【解答】解：(1)由题意得，点A、B、C的坐标分别为(﹣2，0)、(4，0)、(0，8)，设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，则，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8；(2)存在，理由：当∠CP′M为直角时，则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似时，则P′C∥x轴，则点P′的坐标为(1，8)；当∠PCM为直角时，在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝＝2＝tanα，则sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，则BM＝＝3，同理可得，MN＝6，由点B、C的坐标得，BC＝＝4，则CM＝BC﹣MB＝，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，则PM＝＝＝，则PN＝MN+PM＝6+＝，故点P的坐标为(1，)，故点P的坐标为(1，8)或(1，)；(3)∵D为CO的中点，则点D(0，4)，作点C关于函数对称轴的对称点C′(2，8)，作点D关于x轴的对称点D′(0，﹣4)，连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，理由：G走过的路程＝DE+EF+FC＝D′E+EF+FC′＝C′D′为最短，由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y＝6x﹣4，对于y＝6x﹣4，当y＝6x﹣4＝0时，解得x＝，当x＝1时，y＝2，故点E、F的坐标分别为(，0)、(1，2)；G走过的最短路程为C′D′＝＝2；(4)存在，理由：①当点Q在y轴的右侧时，设点Q的坐标为(x，﹣x2+2x+8)，故点Q作y轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，∵∠MQC+∠RQN＝90°，∠RQN+∠QRN＝90°，∴∠MQC＝∠QRE，∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，∴△ANQ≌△QMC(AAS)，∴QN＝CM，即x＝﹣x2+2x+8，解得x＝(不合题意的值已舍去)，故点Q的坐标为(，)；②当点Q在y轴的左侧时，同理可得，点Q的坐标为(，)．综上，点Q的坐标为(，)或(，)．【例4】(2021•随州)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(1，﹣4)．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，若点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；(3)如图2，M是直线BC上一个动点，过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点，当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．【分析】(1)根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2﹣4，将点A(﹣1，0)代入，求出a即可得出答案；(2)利用待定系数法求出直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，再运用待定系数法求出直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，联立方程组即可求出P1(4，5)，过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，证明△OCE≌△GCF(ASA)，运用待定系数法求出直线CF解析式为y＝x﹣3，即可求出P2(，﹣)；(3)利用待定系数法求出直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BC解析式为y＝x﹣3，再分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．【解答】解：(1)∵顶点D的坐标为(1，﹣4)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2﹣4，将点A(﹣1，0)代入，得0＝a(﹣1﹣1)2﹣4，解得：a＝1，∴y＝(x﹣1)2﹣4＝x2﹣2x﹣3，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)∵抛物线对称轴为直线x＝1，A(﹣1，0)，∴B(3，0)，设直线BD解析式为y＝kx+e，∵B(3，0)，D(1，﹣4)，∴，解得：，∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，过点C作CP1∥BD，交抛物线于点P1，设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C(0，﹣3)代入，得﹣3＝2×0+d，解得：d＝﹣3，∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，解得：x1＝0(舍)，x2＝4，故P1(4，5)，过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，∴四边形OBGC是正方形，设CP1与x轴交于点E，则2x﹣3＝0，解得：x＝，∴E(，0)，在x轴下方作∠BCF＝∠BCE交BG于点F，∵四边形OBGC是正方形，∴OC＝CG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，即∠OCE＝∠GCF，∴△OCE≌△GCF(ASA)，∴FG＝OE＝，∴BF＝BG﹣FG＝3﹣＝，∴F(3，﹣)，设直线CF解析式为y＝k1x+e1，∵C(0，﹣3)，F(3，﹣)，∴，解得：，∴直线CF解析式为y＝x﹣3，结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝x﹣3，解得：x1＝0(舍)，x2＝，∴P2(，﹣)，综上所述，符合条件的P点坐标为：P1(4，5)，P2(，﹣)；(3)设直线AC解析式为y＝m1x+n1，直线BC解析式为y＝m2x+n2，∵A(﹣1，0)，C(0，﹣3)，∴，解得：，∴直线AC解析式为y＝﹣3x﹣3，∵B(3，0)，C(0，﹣3)，∴，解得：，∴直线BC解析式为y＝x﹣3，设M(t，t﹣3)，则N(t，t2﹣2t﹣3)，∴MN＝|t2﹣2t﹣3﹣(t﹣3)|＝|t2﹣3t|，①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图2，∵MQ∥x轴，∴Q(﹣t，t﹣3)，∴|t2﹣3t|＝|t﹣(﹣t)|，∴t2﹣3t＝±t，解得：t＝0(舍)或t＝或t＝，∴M1(，﹣)，Q1(﹣，﹣)；M2(，)，Q2(﹣，)；②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图3，∵NQ∥x轴，∴Q(，t2﹣2t﹣3)，∴NQ＝|t﹣|＝|t2+t|，∴|t2﹣3t|＝|t2+t|，解得：t＝0(舍)或t＝5或t＝2，∴M3(5，2)，Q3(﹣5，12)；M4(2，﹣1)，Q4(0，﹣3)；③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图4，过点Q作QH⊥MN于H，则MH＝HN，∴H(t，)，∴Q(，)，∴QH＝|t﹣|＝|t2+5t|，∵MQ＝NQ，∴MN＝2QH，∴|t2﹣3t|＝2×|t2+5t|，解得：t＝7或1，∴M5(7，4)，Q5(﹣7，18)；M6(1，﹣2)，Q6(0，﹣3)；综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：M1(，)，Q1(﹣，)；M2(，﹣)，Q2(﹣，﹣)；M3(5，2)，Q3(﹣5，12)；M4(2，﹣1)，Q4(0，﹣3)；M5(7，4)，Q5(﹣7，18)；M6(1，﹣2)，Q6(0，﹣3)．【题组一】1．(2021•昆明模拟)已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c(a＞0)过点(﹣1，0)与(0，﹣3)．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；(3)作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c(a＞0)和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．【分析】(1)将点(﹣1，0)、(0，﹣3)分别代入得到方程组，然后求出a、c，最后得到解析式；(2)对于直线y＝x﹣6，先求出点A、B的坐标，过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，然后设点P的坐标，然后即可表示出点D的坐标，最后利用三角形的面积表示出△PAB的面积，从而利用二次函数的性质求得面积小值时点P的横坐标；(3)用含有t的式子表示点E和点F的坐标，然后表示出EC和EF的长度，最后利用等腰直角三角形的性质列出方程求解．【解答】解：(1)将点(﹣1，0)、(0，﹣3)分别代入y＝ax2﹣2ax+c(a＞0)得，，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．(2)对直线y＝x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6，当y＝0时，x＝6，∴A(6，0)，B(0，﹣6)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点，连接PA和PB，设P(x，x2﹣2x﹣3)，则D(x，x﹣6)，∴PD＝x2﹣2x﹣3﹣(x﹣6)＝x2﹣3x+3，∴S△PAB＝S△PBD+S△PAD＝•x•PD+•(6﹣x)•PD＝3(x2﹣3x+3)＝3(x﹣)2+，∴x＝时，S△PAB有最小值，∴△PAB的面积最小时，点P的横坐标为．(3)由题意可设，E(m，m2﹣2m﹣3)，F(m，m﹣6)，∴EF＝m2﹣2m﹣3﹣(m﹣6)＝m2﹣3m+3，由y＝x2﹣2x﹣3可知抛物线的对称轴为直线x＝1，∵△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，点C在抛物线对称轴上，∴点C的横坐标为1，m≠1，当点E为直角顶点时，CE＝EF，C(1，m2﹣2m﹣3)，∴CE＝|m﹣1|，∴|m﹣1|＝m2﹣3m+3，解得：m＝2，∴点C的纵坐标为22﹣2×2﹣3＝﹣3；当点F为直角顶点时，CF＝EF，C(1，m﹣6)，∴CF＝|m﹣1|，∴|m﹣1|＝m2﹣3m+3，解得：m＝2，∴点C的纵坐标为2﹣6＝﹣4；综上所述，点C的纵坐标为﹣3或﹣4．2．(2021•新泰市一模)如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A(﹣3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C．已知点D的坐标为(﹣1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．(1)求这个抛物线的表达式．(2)点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．(3)①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．【分析】(1)由交点式可求a的值，即可求解；(2)由S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC，即可求解；(3)①分两种情况讨论，通过证明△MAD≌△DOC，可得AM＝DO，∠MAD＝∠DOC＝90°，可求解；②可证点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，延长M'C交对称轴与N''，可证∠MM'C＝∠MN''C＝45°，即可求解．【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A(﹣3，0)和点B(1，0)，∴抛物线的表达式为：y＝a(x+3)(x﹣1)＝a(x2+2x﹣3)＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；(2)连接OP，设点P(x，﹣x2﹣x+2)，∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2交y轴于点C，∴点C(0，2)，则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝＝×3×(﹣x2﹣x+2)+×2×(﹣x)﹣×2×1＝﹣x2﹣3x+2，∵﹣1＜0，S有最大值，∴当x＝时，S的最大值为．(3)①如图2，若点M在CD左侧，连接AM，∵∠MDC＝90°，∴∠MDA+∠CDO＝90°，且∠CDO+∠DCO＝90°，∴∠MDA＝∠DCO，且AD＝CO＝2，MD＝CD，∴△MAD≌△DOC(SAS)∴AM＝DO，∠MAD＝∠DOC＝90°，∴点M坐标(﹣3，1)，若点M在CD右侧，同理可求点M'(1，﹣1)；②如图3，∵抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣(x+1)2+；∴对称轴为直线x＝﹣1，∴点D在对称轴上，∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，∴点D是MM'的中点，∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，∴∠MCM'＝90°，∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，∵点C(0，2)，点D(﹣1，0)∴DC＝，∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上，∴点N(﹣1，)，点N'(﹣1，﹣)延长M'C交对称轴与N''，∵点M'(1，﹣1)，点C(0，2)，∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x+2，∴当x＝﹣1时，y＝5，∴点N''的坐标(﹣1，5)，∵点N''的坐标(﹣1，5)，点M'(1，﹣1)，点C(0，2)，∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°，∴MM'＝MN''，∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°∴点N''(﹣1，5)符合题意，综上所述：点N的坐标为(﹣1，)或(﹣1，﹣)或(﹣1，5)．3．(2021•广汉市模拟)已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0，6)，C(﹣2，0)，tan∠ABO＝1，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】(1)求出B(6，0)，再将点A(0，6)，C(﹣2，0)，B(6，0)代入y＝ax2+bx+c，即可求解；(2)过P作x轴的垂线，交线段AB于点D，求出直线AB的解析式为y＝﹣x+6，设P(t，﹣t2+2t+6)，则D(t，﹣t+6)，S△PAB＝﹣(t﹣3)2+，当t＝3时，S△PAB有最大值，求出P(3，)；(3)由已知可得PE⊥PD，由抛物线的对称轴为直线x＝2，则PE＝2t﹣4，可得﹣t2+3t＝2t﹣4，即可求P(4，6)．【解答】解：(1)∵点A(0，6)，∴OA＝6，∵tan∠ABO＝1，∴OB＝6，∴B(6，0)，将点A(0，6)，C(﹣2，0)，B(6，0)代入y＝ax2+bx+c，得，∴，∴y＝﹣x2+2x+6；(2)过P作x轴的垂线，交线段AB于点D，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+6，设P(t，﹣t2+2t+6)，则D(t，﹣t+6)，∴PD＝﹣t2+3t，∴S△PAB＝×6×(﹣t2+3t)＝﹣(t﹣3)2+，∴当t＝3时，S△PAB有最大值，∴P(3，)；(3)存在点P使△PDE为等腰直角三角形，理由如下：∵PE∥x轴，∴PE⊥PD，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴PE＝2t﹣4，∵PD＝PE，∴﹣t2+3t＝2t﹣4，解得t＝2(舍)或t＝4，∴P(4，6)，当点P在对称轴左侧时，同理可求点P(5﹣，3﹣5)∴△PDE为等腰直角三角形时，P点坐标(4，6)或(5﹣，3﹣5)．4．(2021•湖州模拟)二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，﹣2)，直线l：x＝m(m＞3)与x轴交于点D．(1)求二次函数的解析式；(2)在直线l上找点P(点P在第一象限)，使得以点P，D，B为顶点的三角形与以点A，C，O为顶点的三角形相似，求点P的坐标(用含m的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使得△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣2)代入抛物线，待定系数法即可求得二次函数的解析式；(2)根据△PDB与△ACO相似，分或两种情况分别表示出P的坐标即可；(3)根据△BPQ为等腰直角三角形得∠BPQ＝90°，PQ＝BP，再由∠QMP＝∠BDP＝90°，即可证明△BDP≌△PMQ，进而有QM＝PD，PM＝BD，再分P(m，2m﹣6)或两种情况分别求出m即可．【解答】解：(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣2)代入y＝ax2+bx+c(a≠0)，得：a﹣b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，c＝﹣2，解得：，，c＝﹣2，∴；(2)当时，，∴，∴，当时，，∴PD＝2m﹣6，∴P(m，2m﹣6)，综上，P(m，2m﹣6)或；(3)如图，过点Q作QM⊥l于点M∵△BPQ为等腰直角三角形，∠BPQ＝90°，PQ＝BP，又∵∠QMP＝∠BDP＝90°，∴△BDP≌△PMQ(AAS)，∴QM＝PD，PM＝BD，①当P为时，，，∴，代入，解得：m1＝4，m2＝3(舍去)∴②当P为(m，2m﹣6)时，QM＝PD＝2m﹣6，DM＝PM+PD＝3m﹣9，∴Q(6﹣m，3m﹣9)，代入，解得：，m2＝3(舍去)∴，此时的点Q不在第一象限内，故舍去，综上，可得．5．(2021•普宁市模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，直线y＝x+与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若P(m，0)是线段AB上的动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．①当m＜0时，是否存在一个m值，使得S△EFG＝S△OEG，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由；②当△EFH是以点F为直角顶点的等腰直角三角形时，求出点P的坐标．【分析】(1)根据抛物线解析式中a＝和交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，利用交点式可得抛物线的解析式；(2)①如图1，先利用待定系数法求直线BC的解析式，联立方程可得交点E的坐标，根据P(m，0)，且MH⊥x轴，表示点G(m，m+)，F(m，﹣m2+m+4)，由S△EFG＝S△OEG，列方程可得结论；②存在，根据等腰直角三角形的性质得：FH＝EF，∠EFH＝90°，由P(m，0)，得H(m，﹣m+4)，F(m，﹣m2+m+4)，分两种情况：F在EM的左侧，在EM的右侧，根据EF＝FH，列方程可得结论．【解答】解：(1)∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A(﹣3，0)，B(4，0)两点，∴y＝﹣(x+3)(x﹣4)＝﹣x2+x+4；(2)①如图1，∵B(4，0)，C(0，4)，∴设BC的解析式为：y＝kx+n，则，解得，∴BC的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝，解得：x＝1，∴E(1，3)，∵M(m，0)，且MH⊥x轴，∴G(m，m+)，F(m，﹣m2+m+4)，∵S△EFG＝S△OEG，∴＝ON(xE﹣xG)，∴[(﹣m2+m+4)﹣(m+)](1﹣m)＝，化简得：4m2+5m+6＝0，∵Δ＝52﹣4×4×6＝﹣71＜0，∴此方程无解，∴当m＜0时，不存在一个m值，使得S△EFG＝S△OEG；②存在，由①知：E(1，3)，∵△EFH是以点F为直角顶点的等腰直角三角形，∴FH＝EF，∠EFH＝90°，∵P(m，0)，且PH⊥x轴，∴H(m，﹣m+4)，F(m，﹣m2+m+4)，分两种情况：i)当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EH的左侧，∴FH＝(﹣m+4)﹣(﹣m2+m+4)＝m2﹣m，∵EF＝FH，∴m2﹣m＝1﹣m，解得：m1＝(舍)，m2＝，∴P(，0)，ii)当1＜m＜4时，点F在EH的右边，如图3，同理得﹣m2+m＝m﹣1，解得：m1＝，m2＝(舍)，同理得P(，0)；综上，点P的坐标为：(，0)或(，0)．【题组二】6．(2021•辽宁模拟)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)．(1)求抛物线的解析式：(2)点E为抛物线上一点，且点E的横坐标为a，若∠EBA＝2∠ACO，请求出a的值；(3)点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N，点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)将点A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝ax2+bx+3，即可求解析式；(2)在y轴上取点H(0，1)，连接HB，作O点关于HB的对称点O'，连接BO'与抛物线交点即为E，连接OO'，过O'作O'G⊥y轴交于点G，设GO'＝n，由tan∠ACO＝＝tan∠O'OG，求出GH＝3n﹣1，在Rt△GHO'中，由勾股定理求出n＝，则可知O'(，)，求出直线BO'的解析式为y＝﹣x+，联立，即可求a＝﹣；再求直线BO'关于x轴对称的直线为y＝x﹣，联立，再求得a＝﹣；(3)由题意可知P(t﹣1，0)，直线AC的解析式为y＝3x+3；分三种情况讨论：①当MP＝MN时，M(t﹣1，3t+3)，N(4t+2，3t+3)，求得t＝；②当MN＝NP时，N(t﹣1，﹣t2+4t)，M(，﹣t2+4t)，再由NP＝MN，求得t＝；③当MP＝PN时，作M、N点分别作x轴的垂线，交于点E、F，设M(m，3m+3)，N(2t﹣2﹣m，3m+3)，由ME＝PE，得t＝4m+1，则N(7m+6，3m+3)，求得t＝．【解答】解：将点A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝ax2+bx+3，得，∴，∴y＝﹣x2+2x+3；(2)如图1，在y轴上取点H(0，1)，连接HB，作O点关于HB的对称点O'，连接BO'与抛物线交点即为E，∵AO＝HO＝1，OC＝OB＝3，∴△ACO≌△HBO(SAS)，∴∠ACO＝∠OBH，由对称性可得，∠O'BH＝∠HBO，∴∠O'BO＝2∠ACO，连接OO'，过O'作O'G⊥y轴交于点G，∵OO'⊥HB，∴∠OBH+∠O'OB＝90°，∠GOO'+∠O'OB＝90°，∴∠GOO'＝∠HBO，设GO'＝n，∵tan∠ACO＝，∴tan∠O'OG＝，∴OG＝3n，∴GH＝3n﹣1，在Rt△GHO'中，O'H2＝GO'2+GH2，∴n2+(3n﹣1)2＝1，∴n＝，∴O'(，)，设直线BO'的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+，联立，解得x＝﹣或x＝3(舍)，∴a＝﹣；直线BO'关于x轴对称的直线为y＝x﹣，联立，解得x＝﹣或x＝3(舍)，∴a＝﹣；综上所述：a的值为﹣或﹣；(3)存在t，使以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，理由如下：由题意可知P(t﹣1，0)，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝3x+3；①如图2，当MP＝MN时，M(t﹣1，3t)，∴MP＝3t+3＝MN，∴N(4t﹣1，3t)，∴3t＝﹣(4t﹣1)2+2(4t﹣1)+3，解得t＝或t＝0(舍)；②如图3，当MN＝NP时，N(t﹣1，﹣t2+4t)，∴M(，﹣t2+4t)，∵NP＝﹣t2+4t，MN＝t﹣1﹣，∴﹣t2+4t＝t﹣1﹣，解得t＝或t＝0(舍)；③当MP＝PN时，作M、N点分别作x轴的垂线，交于点E、F，设M(m，3m+3)，∴PE＝t﹣1﹣m＝PF，∴F(2t﹣2﹣m，0)，∴N(2t﹣2﹣m，3m+3)，∵ME＝PE，∴3m＝t﹣1﹣m，∴t＝4m+1，∴N(7m+6，3m+3)，∵3m+3＝﹣(7m+6)2+2(7m+6)+3，∴m＝﹣或m＝﹣1(舍)，∴t＝；综上所述：当以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，t的值为或或．7．(2021•分宜县校级模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；(3)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；(2)先写出抛物线的顶点式，再写出对称轴，有B和C对称即可得出点C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可得出面积；(3)分M，E，N三个点为直角顶点讨论，作辅助线构造一线三垂直模型，利用全等的性质即可确定点N的坐标．【解答】解：(1)把A(4，0)，B(1，3)代入抛物线y＝ax2+bx中，得，解得，所以该抛物线表达式为y＝﹣x2+4x；(2)∵y＝﹣x2+4x＝﹣(x﹣2)2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵点C和点B关于对称轴对称，点B的坐标为(1，3)，∴C(3，3)，又∵BC＝2，∴；(3)以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图，∵CM＝MN，∠CMN＝90°，在△CBM和△MHN中，，∴△CBM≌△MHN(AAS)，∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3﹣2＝1，∴N(2，0)；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴EM＝CD＝5，∵OH＝1，∴ON＝NH﹣OH＝5﹣1＝4，∴N(﹣4，0)；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图，CN＝MN，∠CMN＝90°，做辅助线，同理得Rt△NEM≌Rt△MDC，∴ME＝NH＝DN＝3，∴0N＝3﹣1＝2，∴N(﹣2，0)；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图，做辅助线，同理得ME＝DN＝NH＝3，∴0N＝1+3＝4，∴N(4，0)；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上可知当△CMN为等腰直角三角形时N点坐标为(2，0)或(﹣4，0)或(﹣2，0)或(4，0)．8．(2021•秦都区模拟)如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x＝1，且该抛物线与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A，B两点，其中B点的坐标为(3，0)，且OB＝OC．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点(其中点M在点N的右侧)，在x轴上是否存在点Q，使△MNQ是以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)根据OB＝OC，可得C(0，﹣3)，由抛物线的对称轴为直线x＝1，可得A(﹣1，0)，利用待定系数法可得出答案；(2)设点M(m，m2﹣2m﹣3)且m＞1，则MN＝2(m﹣1)，①当点M、N在x轴下方时，若∠QMN＝90°，且MN＝MQ时，△MNQ为等腰直角三角形，建立方程求解即可，②当点M、N在x轴上方时，若∠QMN＝90°，且MN＝MQ时，△MNQ为等腰直角三角形，建立方程求解即可．【解答】解：(1)∵B点的坐标为(3，0)，且OB＝OC，∴C点的坐标为(0，﹣3)，∵抛物线的对称轴为直线x＝1，B点的坐标为(3，0)，∴A点的坐标为(﹣1，0)，设抛物线的函数表达式为y＝a(x+1)(x﹣3)(a≠0)．将C(0，﹣3)代人y＝a(x+1)(x﹣3)中，解得：a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝(x+1)(x﹣3)＝x2﹣2x﹣3．(2)∵MN∥x轴，且M、N在抛物线上，∴M、N关于直线x＝1对称，设点M(m，m2﹣2m﹣3)且m＞1，则MN＝2(m﹣1)，①当点M、N在x轴下方时，若∠QMN＝90°，且MN＝MQ时，△MNQ为等腰直角三角形，∴MQ⊥MN，即MQ⊥x轴，∴2(m﹣1)＝﹣(m2﹣2m﹣3)，解得：m1＝，m2＝﹣(舍去)，∴点M为(，2﹣2)，Q1(，0)．由MQ1＝MN可得﹣(2﹣2)＝﹣xN，解得：xN＝2﹣，∴点N为(2﹣，2﹣2)，故当∠MNQ2＝90°，MN＝NQ2时，点Q2的坐标为(2﹣，0)．②当点M、N在x轴上方时，若∠QMN＝90°，且MN＝MQ时，△MNQ为等腰直角三角形，∴MQ⊥MN，即MQ⊥x轴，∴2(m﹣1)＝m2﹣2m﹣3，解得：m1＝2+，m2＝2﹣(舍去)，∴点M为(2+，2+2)，点Q3为(2+，0)，由MQ3＝MN，可得2+2＝2+﹣xN，解得xN＝﹣，∴点N为(﹣，2+2)．当∠MNQ4＝90°，MN＝NQ4时，点Q4的坐标为(﹣，0)．综上所述，存在满足条件的点Q，其坐标分别为(，0)或(2﹣，0)或(2+，0)或(﹣，0)．9．(2021•福建模拟)已知抛物线的顶点为A，点M(m，n)为第三象限抛物线上的一点，过M点作直线MB，MC交抛物线于B，C两点(点B在点C的左侧)，MC交y轴于D点，连接BC．(1)当B，C两点在x轴上，且△ABC为等腰直角三角形时，求c的值；(2)当BC经过O点，MC经过OA的中点D，且OC＝2OB时，设直线BM交y轴于E点，求证：M为BE的中点；(3)若△MBC的内心在直线x＝m上，设BC的中点为N，直线l1经过N点且垂直于x轴，直线l2经过M，A两点，记l1与l2的交点为P，求证P点在一条新抛物线上，并求这条抛物线的解析式．【分析】(1)令得，再由△ABC为等腰直角三角形得．解出c即可；(2)设B点坐标为，由OC＝2OB得直线BC的解析式．再由得，，再由D为OA的中点得直线MC的解析式为，再和抛物线联立即可求得或，即可证得M为BE的中点；(3)过点B作BG⊥直线x＝m于点G，过点C作CH⊥直线x＝m于点H，设，，由△MBC的内心在直线x＝m上可证△BMG∽△CMH，．由此可得得x1+x2＝﹣2m，从而直线l1的解析式为x＝﹣m．再求直线MA的解析式，将x＝﹣m代入直线MA的解析式，得，即可证得证P点在一条新抛物线上．【解答】(1)解：令，解得．∴．∵△ABC为等腰直角三角形，∴OB＝OC＝OA＝c，∴．解得c1＝0(舍去)，c2＝2，∴c＝2；(2)证明：如图，设B点坐标为，∵OC＝2OB，∴，设直线BC的解析式为y＝kx，将点B代入，得，∴∴．将点代入，得，整理得，∴(正值已舍)，∴，．∵D为OA的中点，∴D点坐标为，则直线MC的解析式可设为，将点代入，解得，∴直线MC的解析式为，由，得，解得或，∴，即M为BE的中点；(3)证明：如图，过点B作BG⊥直线x＝m于点G，过点C作CH⊥直线x＝m于点H，设，，∵△MBC的内心在直线x＝m上，∴∠BMG＝∠CMH，∴△BMG∽△CMH．∴，则有，得x1+x2＝﹣2m，∴直线l1的解析式为x＝﹣m．设直线MA的解析式为y＝k2x﹣c，将代入，得，解得，∴直线MA的解析式为．将x＝﹣m代入直线MA的解析式，得，∴P点在新抛物线上．10．(2020秋•九龙坡区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，且A点的坐标为(﹣，0)，直线BC的解析式为y＝x﹣．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过A作AD∥BC，交抛物线于点D，点P为直线BC下方抛物线上一动点，连接PB，PC，BD，CD，求四边形PBDC面积的最大值；(3)将抛物线y＝ax2+bx﹣(a≠0)向左平移个单位长度，平移后的抛物线的顶点为E，连接BE，将线段BE沿y轴平移得到线段B1E1(B1为B的对应点，E1为E的对应点)，直线B1E1与x轴交于点F，点Q为原抛物线对称轴上一点，连接E1Q，FQ，△E1FQ能否成为以E1F为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不能，请说明理由．【分析】(1)求出B点坐标后，将A(﹣，0)，B(3，0)代入y＝ax2+bx﹣，即可求解析式；(2)过点P作x轴的垂线交直线BC于点K，由题意可求S△BCD＝S△ABC＝，设P(t，t2﹣t﹣)，K(t，t﹣)，则S△BPC＝﹣(t﹣)2+，所以当t＝时，S△BPC有最大值，则S四边形PBDC＝S△BCD+S△BPC的最大值为；(3)先求出平移后的顶点E(0，﹣3)，再分四种情况讨论：当E1F⊥E1Q，F点在x轴正半轴时，求得Q(，﹣3﹣)；当E1F⊥E1Q，F点在x轴正半轴时，求得Q(，﹣3+)；③当QF⊥E1F，Q点在x轴上方时，求得Q(，)；④当QF⊥E1F，Q点在x轴下方时，求得Q(，)．【解答】解：(1)直线BC的解析式为y＝x﹣，令y＝0，则x＝3，∴B(3，0)，将A(﹣，0)，B(3，0)代入y＝ax2+bx﹣，得，∴，∴y＝x2﹣x﹣；(2)如图1，过点P作x轴的垂线交直线BC于点K，y＝x2﹣x﹣中令x＝0，则y＝﹣，∴C(0，﹣)，∴OC＝，∵A(﹣，0)，B(3，0)，∴AB＝4，∵AD∥BC，∴S△BCD＝S△ABC＝×AB×OC＝××4＝，设P(t，t2﹣t﹣)，K(t，t﹣)，∴PK＝(t﹣)﹣(t2﹣t﹣)＝﹣t2+t，∴S△BPC＝×OB×PK＝×3×(﹣t2+t)＝﹣(t﹣)2+，∴当t＝时，S△BPC有最大值，∴S四边形PBDC＝S△BCD+S△BPC，∴S四边形PBDC的最大值为+＝；(3)存在Q点，使△E1FQ成为以E1F为直角边的等腰直角三角形；理由如下：∵y＝x2﹣x﹣＝(x﹣)2﹣3，∴函数的顶点坐标为(，﹣3)，∵向左平移个单位长度，∴平移后的顶点E(0，﹣3)，∵B(3，0)，∴OE＝3，OB＝3，∴tan∠OBE＝＝，∴∠OBE＝30°，∵点Q为原抛物线对称轴上一点，∴Q点的横坐标为，分四种情况讨论：①如图2，当E1F⊥E1Q，F点在x轴正半轴时，过点Q作MQ⊥y轴交于点M，∵∠FE1Q＝90°，∴∠OE1F+∠ME1Q＝90°，∵∠OE1F+∠OFE1＝90°，∴∠ME1Q＝∠OFE1，∵E1F＝E1Q，∴△OE1F≌△MQE1(AAS)，∴OF＝E1M，OE1＝MQ，∵MQ＝，∴OE1＝，∵E1B1∥EB，∴∠OFE1＝30°，∴∠ME1Q＝30°，∴E1M＝3，∴OM＝3+，∴Q(，﹣3﹣)；②如图3，当E1F⊥E1Q，F点在x轴正半轴时，过点E1作y轴的垂线GH，过点F、Q分别作x轴的垂线，分别与GH交于点G、H，∵∠FE1Q＝90°，∴∠GE1F+∠HE1Q＝90°，∵∠GE1F+∠GFE1＝90°，∴∠HE1Q＝∠GFE1，∵E1F＝E1Q，∴△GE1F≌△HQE1(AAS)，∴GF＝E1H，GE1＝HQ，∵E1H＝，∴GF＝，∵E1B1∥EB，∴∠GE1F＝30°，∴E1G＝3，∴HQ＝3，∴Q(，﹣3+)；③如图4，当QF⊥E1F，Q点在x轴上方时，过点F作x轴的垂线MN，过点Q、E1作y轴的垂线，分别交MN于点M、N，同理，△QMF≌△FNE1(AAS)，∴QM＝FN，FM＝NE1，∵∠OFE1＝30°，∴∠FE1N＝30°，∴∠QFM＝30°，∴MF＝QM，∵MF＝+QM，∴+QM＝QM，∴MQ＝，∴MF＝，∴Q(，)；④如图5，当QF⊥E1F，Q点在x轴下方时，过点Q作QT⊥x轴，交于点T，同理，△OFE1≌△TQF(AAS)，∴OF＝TQ，OE1＝FT，∵∠OFE1＝30°，∴OF＝OE1，∵OF+FT＝，∴OE1+OE1＝，∴OE1＝，∴TQ＝，∴Q(，)；综上所述：△E1FQ成为以E1F为直角边的等腰直角三角形时，Q点的坐标为(，﹣3﹣)或(，﹣3+)或(，)或(，)．【题组三】11．(2021秋•石景山区校级月考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B的左侧)．(1)若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．【分析】(1)先根据抛物线的对称性求出点A、点B的坐标，再将点A、点B的坐标代入y＝﹣x2+mx+n，列方程组求出m、n的值即可；(2)设平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx，将点P的坐标用含b的式子表示，过该抛物线的顶点P作PD⊥x轴于点D，根据等腰直角三角形的性质，可列方程求出b的值及点P的坐标．【解答】解：(1)∵抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，∴点A与点B关于直线x＝﹣3对称，∵点A在点B的左侧，且AB＝4，∴A(﹣5，0)，B(﹣1，0)，把A(﹣5，0)、B(﹣1，0)代入y＝﹣x2+mx+n，得，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣6x﹣5．(2)根据题意，平移后的抛物线经过原点，设平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx，当y＝0时，由﹣x2+bx＝0得x1＝0，x2＝b，∴C(b，0)，∴该抛物线的对称轴为直线x＝b，当x＝b时，y＝﹣(b)2+b2＝b2，∴P(b，b2)；如图，作PD⊥x轴于点D，则OD＝CD，∵△OCP是等腰直角三角形，∴∠OPC＝90°，∴PD＝OC＝OD，∴b2＝b，解得b1＝2，b2＝0(不符合题意，舍去)，∴P(1，1)．12．(2021秋•永城市月考)已知抛物线C的解析式为y＝2x2﹣4x+m，与y轴交于点A．(1)直接写出抛物线C的开口方向及顶点坐标(用含m的式子表示)．(2)过点A作AB∥x轴交抛物线C于另一点B，当S△AOB＝6时，求此抛物线C的解析式．(3)在抛物线C的对称轴上存在一点P，使得△OAP为等腰直角三角形，请直接写出此时m的值．【分析】(1)把抛物线解析式化为顶点式，即可得出答案；(2)利用三角形面积公式得出关于m的方程，解方程即可得出m的值；(3)分OA＝AP、OA＝OP、AP＝OP三种情况讨论，即可得出m的值．【解答】解：(1)∵y＝2x2﹣4x+m＝2(x2﹣2x+1﹣1)+m＝2(x﹣1)2+m﹣2，∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1，m﹣2)；(2)当x＝0时，y＝m，∴A(0，m)，∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，∴|AB|＝2，∴S△AOB＝•|OA|•|AB|＝6，∴×2×|m|＝6，解得：m＝±6，∴抛物线的解析式为：y＝2x2﹣4x+6或y＝2x2﹣4x﹣6；(3)分三种情况分类讨论：①当OA＝AP时，|m|＝1，解得：m＝±1，②当OA＝OP时，|m|＝1，解得：m＝±1，③当OP＝AP时，12+()2＝()2，解得：m＝±2，综上所述，当△OAP为为等腰直角三角形m的值为±1或±2．13．(2021秋•汉滨区校级月考)已知，如图，抛物线y＝﹣(x﹣2)2+8与x轴分别交于B，C两点(点C在点B的左边)，与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求A、B、C三点坐标；(2)求直线AB的解析式；(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】(1)通过解析式即可得出C点坐标，令y＝0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标；(2)设直线AB的解析式为：y＝kx+b，将点A、B的坐标代入计算即可；(3)设点P的横坐标为a，点E的横坐标为b，表示出PD，PE的长，根据等腰三角形的性质得方程，求解即可．【解答】解：(1)由抛物线y＝﹣(x﹣2)2+8可知点A(0，6)，令y＝0，则0＝﹣(x﹣2)2+8，解得x＝﹣2或x＝6，∴点C(﹣2，0)，B(6，0)；(2)设直线AB的解析式为：y＝kx+b，将A(0，6)，B(6，0)代入得，，解得，，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6；(3)如图：∵△PDE为等腰直角三角形，∴PD＝PE，设点P的横坐标为a，点E的横坐标为b，∴PD＝﹣(a﹣2)2+8﹣(﹣a+6)＝﹣a2+3a，＝﹣，∴b＝4﹣a，∴PE＝|a﹣(4﹣a)|＝|2a﹣4|＝2|2﹣a|，∴﹣a2+3a＝2|2﹣a|，∴a＝4或a＝5﹣，∴P(4，6)或P(5﹣，3﹣5)．14．(2021秋•大连月考)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c过(﹣1，0)和(0，﹣3)两点，点M(a，y1)，N(a+1，y2)为该抛物线上两点．(1)抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；(2)过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点Q，当△MNQ为等腰直角三角形时，求a的值；(3)抛物线在M，N两点之间的部分为图象G(含M，N两点)，若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h关于a的函数解析式，并直接写出自变量a的取值范围．【分析】(1)利用待定系数法即可求得答案；(2)根据题意，可得出：MQ＝xN﹣xM＝a+1﹣a＝1，NQ＝|yN﹣yQ|＝|(a+1)2﹣2(a+1)﹣3﹣(a2﹣2a﹣3)|＝|2a﹣1|，再由等腰直角三角形性质建立方程求解即可；(3)分三种情况：①当点M，N在对称轴左侧时，②当点M，N在对称轴左右两侧时，③当点M，N在对称轴右两侧时，分别讨论计算即可．【解答】解：(1)∵抛物线y＝x2+bx+c过(﹣1，0)和(0，﹣3)两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故答案为：y＝x2﹣2x﹣3；(2)∵MQ⊥y轴，NQ⊥x轴，∴MQ＝xN﹣xM＝a+1﹣a＝1，NQ＝|yN﹣yQ|＝|(a+1)2﹣2(a+1)﹣3﹣(a2﹣2a﹣3)|＝|2a﹣1|，∵△MNQ为等腰直角三角形，∴MQ＝NQ，∴|2a﹣1|＝1，∴2a﹣1＝1或2a﹣1＝﹣1，∴a＝1或a＝0，∴a的值为1或0；(3)∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，①当点M，N在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，此时a+1≤1，∴a≤0，∴h＝a2﹣2a﹣3﹣[(a+1)2﹣2(a+1)﹣3]＝﹣2a+1，②当点M，N在对称轴左右两侧时，若y1＝y2，则＝1，∴a＝，此时最低点为顶点，最低点的纵坐标为﹣4．当0＜a≤时，最高点为M，∴h＝a2﹣2a﹣3﹣(﹣4)＝a2﹣2a+1，当＜a≤1时，最高点为N，∴h＝(a+1)2﹣2(a+1)﹣3﹣(﹣4)＝a2．③当点M，N在对称轴右两侧时，此时a＞1，y随x的增大而增大，∴h＝(a+1)2﹣2(a+1)﹣3﹣(a2﹣2a﹣3)＝2a﹣1．综上所述，h＝．15．(2020•雁塔区校级模拟)如图，抛物线C1：y=-12x2+2x+2的顶点为A，且与