线性代数第三章 向量与向量空间及线性空间练习题

线性代数练习题第三章向量与向量空间系专业班姓名学号第一节n维向量第二节向量间的线性关系一．选择题1．n维向量线性相关的充分必要条件是[D]（A）对于任何一组不全为零的数组都有（B）中任何个向量线性相关（C）设，非齐次线性方程组有无穷多解（D）设，A的行秩＜s.2．若向量组线性无关，向量组线性相关，则[C]（A）必可由线性表示（B）必不可由线性表示（C）必可由线性表示（D）比不可由线性表示二．填空题：设则设，其中，，则已知线性相关，则2设向量组线性无关，则满足关系式abc=0三．计算题：设向量，，，，试问当为何值时（1）可由线性表示，且表示式是唯一？（2）可由线性表示，且表示式不唯一？（3）不能由线性表示？(向量组的秩ppt)设向量，，，，试问当为何值时，（1）不能由线性表示？（2）有的唯一线性表达式？并写出表达式。a=-1,b≠0.a≠-1线性代数练习题第三章向量与向量空间系专业班姓名学号第三节向量组的秩一．选择题：1．已知向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是[C]（A）（B）（C）（D）过渡矩阵满秩2．设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：线性表示，记向量组（Ⅱ）：，则[B]（A）不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示（B）不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示（C）可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示（D）可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示3．设n维向量组的秩为3，则[C]（A）中任意3个向量线性无关（B）中无零向量（C）中任意4个向量线性相关（D）中任意两个向量线性无关4．设n维向量组的秩为，则[C]（A）若，则任何n维向量都可用线性表示（B）若，则任何n维向量都可用线性表示（C）若，则任何n维向量都可用线性表示（D）若，则二．填空题：1．已知向量组的秩为2，则t=32．已知向量组，，，，则该向量组的秩为2向量组，，，的秩为2，则a=2b=5三．计算题：1．设，，，，（1）试求的极大无关组（2）d为何值时，可由的极大无关组线性表示，并写出表达式（1）（2）2．已知3阶矩阵A有3维向量x满足，且向量组线性无关。（1）记，求3阶矩阵，使；（2）求|A|线性代数练习题第三章向量与向量空间系专业班姓名学号第四节向量空间综合练习一．选择题：1．设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是[C]（A）（B）（C）（D）2．设矩阵A的秩，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是[D]（A）A的任意m个列向量必线性无关（B）A通过初等行变换，必可以化为（Em0）的形式（C）A的任意m阶子式不等于零（D）非齐次线性方程组一定有无穷多组解二．填空题：1．设，三维列向量，已知与线性相关，则a=-12．从的基，到基，的过渡矩阵为三．计算题：1．设，试用施密特正交化方法将向量组标准正交化。参考课本P107页例2．已知的两个基为，，及，，求由基到基的过渡矩阵P。则线性空间练习题一、单项选择题R3中下列子集（）不是R3的子空间．A．B．C．D．二、判断题1.设则是的子空间.2、已知为上的线性空间，则维(）＝2.3、设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组线性表出，则维(W)＝s4、设是线性空间V的子空间，如果则必有三、1．已知,是的两个子空间，求的一个基和维数．2．已知关于基的坐标为（1，0，2），由基到基的过渡矩阵为，求关于基的坐标．四、设是数域P上的n维列向量空间，记1.证明：都是的子空间；2.证明：.线性变换练习题一、填空题1．设是线性空间的一组基，的一个线性变换在这组基下的矩阵是则在基下的矩阵＝_________，而可逆矩阵T＝_________满足在基下的坐标为_________.2．设为数域上秩为的阶矩阵，定义维列向量空间的线性变换：,则＝_______，＝______，＝_____.3．复矩阵的全体特征值的和等于________，而全体特征值的积等于_______.4．设是维线性空间的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为________变换.5．数域上维线性空间的全体线性变换所成的线性空间为_______维线性空间，它与________同构.6．设阶矩阵的全体特征值为，为任一多项式，则的全体特征值为________.二、判断题1．设是线性空间的一个线性变换，线性无关，则向量组也线性无关.（）2．设为维线性空间的一个线性变换，则由的秩＋的零度＝，有（）3．在线性空间中定义变换：，则是的一个线性变换.（）4．若为维线性空间的一个线性变换，则是可逆的当且仅当＝｛0｝.（）5．设为线性空间的一个线性变换，为的一个子集，若是的一个子空间，则必为的子空间.（）三、计算与证明1．设，问为何值时，矩阵可对角化?并求一个可逆矩阵，使.2．在线性空间中定义变换：（1）证明：是的线性变换.（2）求与（3）3．若是一个阶矩阵，且，则的特征值只能是0和1.欧氏空间练习题一、填空题1．设是一个欧氏空间，，若对任意都有，则＝_________．2．在欧氏空间中，向量，，那么＝_________，＝_________．3．在维欧氏空间中，向量在标准正交基下的坐标是，那么＝_________，＝_________．4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．5．已知是一个正交矩阵，那么＝_________，＝_________．二、判断题1．在实线性空间中，对于向量，定义，那么构成欧氏空间。()2．在维实线性空间中，对于向量，定义，则构成欧氏空间。()3．是维欧氏空间的一组基，与分别是V中的向量在这组基下的坐标，则。()4．对于欧氏空间中任意向量，是中一个单位向量。()5．是维欧氏空间的一组基，矩阵，其中，则A是正定矩阵。()6．设是一个欧氏空间，，并且，则与正交。()7．设是一个欧氏空间，,并且，则线性无关。()8．若都是欧氏空间的对称变换，则也是对称变换。()三、计算题1．把向量组，扩充成中的一组标准正交基.2．求正交矩阵，使成对解角形。四、证明题1．设，为同级正交矩阵，且，证明：．2．设为半正定矩阵，且，证明：．3．证明：维欧氏空间与同构的充要条件是，存在双射，并且有小测验九一、填空题1、已知三维欧式空间中有一组基，其度量矩阵为，则向量的长度为。2、设在此内积之下的度量矩阵为。3、在n维欧几里德空间中，一组标准正交基的度量矩阵为。4、在欧氏空间中，已知，则，与的夹角为（内积按通常的定义）。5、设为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式：。二、已知二次型（1）t为何值时二次型f是正定的？（2）取，用正交线性替换化二次型f为标准形三、设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为（1）令，证明是一个单位向量；（2）若与正交，求四、设为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换A如下：证明：（1）A为第二类的正交变换（称为镜面反射）。（2）V的正交变换B是镜面反射的充要条件为1是B的特征值，且对应的特征子空间的维数为n-1.五、已知是对称变换，证明：的不变子空间的正交补也是的不变子空间．小测验(六)一、填空题1、已知是的一个子空间，则维（V）＝，V的一组基是.2、在P4中，若线性无关，则k的取值范围是.3、已知a是数域P中的一个固定的数，而是Pn+1的一个子空间，则a＝，而维(W)＝.4、设Pn是数域P上的n维列向量空间，记则W1、W2都是Pn的子空间，且W1＋W2＝，＝.5、设是线性空间V的一组基，，则由基到基的过渡矩阵T＝，而在基下的坐标是.二