广东省揭阳市广太中学2022-2023学年高二数学文联考试题含解析

广东省揭阳市广太中学2022-2023学年高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图,正方体中,,分别为棱,的中点,在平面内且与平面平行的直线

（▲）A．有无数条

B．有2条

C．有1条

D．不存在

参考答案：A2.函数y=tan（x﹣）（0＜x＜4）的图象如图所示，A为图象与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）?等于（）A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】令tan（x﹣）=0，0＜x＜4，可得x=2．设B（x1，y1），C（x2，y2）．由于函数y=tan（x﹣）（0＜x＜4）关于点（2，0）中心对称，可得x1+x2=4．利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：令tan（x﹣）=0，∵0＜x＜4，∴﹣＜，∴=0，解得x=2．设直线l的方程为：y=k（x﹣2），B（x1，y1），C（x2，y2）．由于函数y=tan（x﹣）（0＜x＜4）关于点（2，0）中心对称，∴x1+x2=4．∴（+）?=（x1+x2，y1+y2）?（2，0）=2（x1+x2）=8．故选：D．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、正切函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.已知，，，是空间四点，命题甲：，，，四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略4.设，，则满足条件，的动点P的变化范围（图中阴影部分含边界）是

(

）参考答案：A5.参数方程表示什么曲线(

)A．一个圆

B．一个半圆

C．一条射线

D．一条直线参考答案：C6.若函数的图象与的图象至少有12个交点，则的取值范围是（A）(1,14]

（B）[14,+∞) （C）(1,7] （D）[7,+∞)参考答案：D7.直线与椭圆相交于、两点，椭圆上的点使的面积等于12，这样的点共有

A.1个 B.2个

C.3个

D.4个参考答案：B8.已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣1，则数列{an}的通项公式为（）A．an=2n B．an=2n﹣1 C．an=2n﹣1 D．an=2n﹣1﹣1参考答案：C【考点】数列递推式．【分析】利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵Sn=2an﹣1，∴n=1时，a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣（2an﹣1﹣1），∴an=2an﹣1．∴数列{an}是等比数列，公比为2，首项为1．∴an=2n﹣1．故选：C．9.已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）=f（x﹣2），f（4）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（）A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（4，+∞） D．（﹣2，+∞）参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】可设函数g（x）=，求出导数，判断g（x）的单调性，由f（x+2）=f（x﹣2），f（4）=1，可得f（0），g（0），原不等式转化为g（x）＜g（0），由单调性，即可得到所求解集．【解答】解：可设函数g（x）=，g′（x）=，由f′（x）＜f（x），可得g′（x）＜0，即有g（x）在R上递减，f（x+2）=f（x﹣2），f（4）=1，可得f（0）=f（4）=1，g（0）==1，由f（x）＜ex即为＜1，可得g（x）＜g（0），由g（x）在R上递减，可得x＞0．则所求不等式的解集为（0，+∞）．故选：A．10.下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+B．当x时，sinx+的最小值为4C．当x＞0时，≥2D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值参考答案：C【考点】基本不等式在最值问题中的应用．

【专题】不等式的解法及应用．【分析】对于A，考虑0＜x＜1即可判断；对于B，考虑等号成立的条件，即可判断；对于C，运用基本不等式即可判断；对于D，由函数的单调性，即可得到最大值．【解答】解：对于A，当0＜x＜1时，lgx＜0，不等式不成立；对于B，当xx时，sinx∈（0，1]，sinx+的最小值4取不到，由于sinx=2不成立；对于C，当x＞0时，≥2=2，当且仅当x=1等号成立；对于D，当0＜x≤2时，x﹣递增，当x=2时，取得最大值．综合可得C正确．故选：C．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题和易错题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线，有下面四个命题：

（1）（2）（3）（4）

其中正确的命题的题号为_______.

参考答案：（1）（3）略12.已知直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，则m的值为

．参考答案：或3【考点】两直线的夹角与到角问题．【专题】直线与圆．【分析】由条件利用两条直线的夹角公式，求得m的值．【解答】解：由直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，它们的斜率分别为﹣2、m，可得tan=1=||，求得m=或3，故答案为：或3．【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，属于基础题．13.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an=_____．参考答案：【分析】由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.【详解】根据图形，因为都是直角三角形，,是以1为首项，以1为公差的等差数列，，，故答案为.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.14.已知tanx=2,则=_____________参考答案：15.从抛物线上一点引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且，则的面积为_________参考答案：略16.集合的子集的个数为

．

参考答案：1617.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，，M为PD的中点，E为AM的中点，点F在线段PB上，且．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若平面PDC⊥底面ABCD，且，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）（法一）如图，设中点为，连接，，，则有，利用线面平行的判定定理，证得平面，进而证得平面，从而证得平面平面，即可求得平面.（法二）连接、、，则有，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。【详解】解：（1）证明：（法一）如图，设中点为，连接，，，则有，∵平面，平面，∴平面，又∵，∴，∵平面，平面，∴平面，又∵，∴平面平面，∴平面.（法二）如图，设中点为，为线段上一点，且.连接、、，则有，∵，∴，∴，且，即为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面底面，且，∴底面，如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，设平面的一个法向量为，则，∴，取，可得，又易知平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角为，则，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和平面与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理。同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.（本题满分12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为（）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：70,76,72,70,72.(1)求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差；(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．参考答案：(1)∵＝75，∴＝6×75－70－76－72－70－72＝90，………2分s2＝(52＋12＋32＋52＋32＋152)＝49，∴s＝7.………4分(2)从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}．…8分选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下4种：{1,2}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，………10分故所求概率为.………12分20.(14分)已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且.（1）求{}的通项公式.（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：参考答案：（Ⅰ）解：由，解得a1＝1或a1＝2，又a1＝S1＞1，因此a1＝2.

-------------1分又，

------------------------3分因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去.因此，从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，-----------5分故｛an｝的通项为an＝.

----------------6分（Ⅱ）证明：由可解得

-----------------7分从而

----------8分因此

----------9分令,则

因，故.

---------------------12分特别的。从而，即.

-------------------------14分21.抛物线的焦点在轴正半轴上，过斜率为的直线和轴交于点，且(为坐标原点)的面积为,求抛物线的标准方程．参考答案：解：设抛物线方程为

………………1分则焦点坐标为，直线的方程为，它与轴的交点为，

……………5分所以的面积为，……………7分解得，所以抛物线方程为．……………9分

略22.已知函数 （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合； （3）求函数f（x）的单调递增区间． 参考答案：【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域． 【专题】计算题． 【分析】（1）先运用三角函数的两角和与差的正弦公式及二倍角公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根据T=可求出最小正周期； （2）因为f（x）取最大值时应该有sin（2x﹣）=1成立，即2x﹣=2kπ+，k∈Z，可得答案． （3）将2x﹣看做一个整体，根据正