高考数学（新高考版）一轮复习教师用书素养提升 高考中函数与导数解答题的提分策略

素养提升1高考中函数与导数解答

题的提分策略

示例

⑴讨论了(X)的单调性；

(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间［0,1］上的最小值为1且最大值为1?若存在，求出a,b的所有

值;若不存在，说明理由.

思维导引〉本题可拆解成以下几个小问题：

⑴①求函数〃X)=2X3ax2+b的导数;②利用分类讨论思想判断函数的单调性.

⑵①对a分类讨论,求函数/(x)的单调区间;②分别求函数〃x)的最值，列出关于a,b的方程

组;②解方程组，判断a,b是否符合相应区间.

规范解答〉(劫对〃X)=2X3ax2+b求导，

得f0=6x22ax=2x(3xa)....................................................

令f'(x)=(X得x=。或x=：.

若a>0,则当xG(8,o)ug,+8)时/，(x)>0;当xG(0,e时/0<0.故/伍)在(8,0)和6,+8)

上单调递增，在(09上单调递减....................................................

若。=0/(刈在(8,+8)上单调递増................................................。

若0<0,则当XW(8,|)U(0,+8)时/贅)>0；当XWg,。)时/0<0.故/。)在(89和(0,+8)

上单调递増，在60)上单调递减....................................................0

(2)满足题设条件的a,b存在.

⑴当a<0时，由@知,f(x)在［0,1］上单调递增，所以/(x)在区间［0』上的最小值为〃0)=仇最大值

为/(1)=2a+b廝以b=1,2a+b=l,则a=O,b=1,与a<0笄盾，所以a<0不成立................

(ii)当a=0时，由⑴知，(x)在［0,1］上单调递增,所以由〃0)=1/(1)=1得a=O,b=1.......

(iii)当0<a<3时,由⑴知,/(x)在銀)上单调递减，在尊1)上单调递增，所以/(x)在［0,1］上的最小值

3

为了§二/b,最大值为/(0)=b或/⑴=2a+b.

若9b二1/二1,贝1」。二3貶，与0<a<3矛盾..........................................。

若少=1,2o+b=l,则a=3百或a=3厉或a=0,与0<a<3矛盾....................(8)

(iv)当应3时,由⑴知,/(x)在［0,1］上单调递减，所以/(x)在区间［0,1］上的最大值为〃0)=b,最小值

为/⑴=2。+b,亦以2a+b=l,b=l,则a=4,b=l............................................................................

综上，满足题设的a力存在.当a=O,b=1或a=4,b=l时,f(x)在区间［0内上的最小值为1且最

大值为1.........................................................................................................................................................

容感悟升华

阅卷得分晨

现场

①求导正确得1分；

第⑴问②区间及对应的单调性正确得1分；

采点得⑦区间及对应的单调性正确得1分；4分

分说明④区m间及对应的单调性正确得1分.

第⑵问

采点得m8分

分说明

在第(2)问中，假设存在这样的a,b,则有

提分(-1</(0)=b<l,—I

1二:〉二)一；“「1所以0<b+l<a<b+3<4.

探源(-1</(I)=2-a+b<l,

于是可避免对a<0时的情况的讨论.

1.正确运用公式

牢记求导公式与法则，正确求导是关键.

2.分类讨论要全面

含参问题分类讨论是难点，要做到合理分类，不重不漏.

3.定义域优先

在利用导数讨论函数的单调区间时，要先确定函数的定义域，解决问题时

满分必须在定义域内进行.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等

策略于0的点(导函数的零点)外,还要注意定义域内不连续点和不可导点.

4.合理选择求解方法

在求函数的最值时要合理选择方法.

⑴当函数在心力］上连续，在(a,b)内可导时，选择用导数求函数的最值.先令

导数为0,求出此时自变量的取值,再求出对应的函数值，再与区间端点处的

函数值进行比较,最后取最值.

⑵要注意灵活运用其他方法求最值，求导不一定最简单.

x+1

示例2［2019全国卷11,12分］已知函数/(x)=lnX

x-11

⑴讨论〃x)的单调性,并证明/(X)有且仅有两个零点；

(2)设xo是/(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点4(xo,lnxo)处的切线也是曲线y=ex的切线.

思维导引KD

给什

由f(x)=lnx書得其定义域.

么

得什由/'(刈=：+帰>。得单调性―

么

求什

么

要证明/(x)有且仅有两个零点，即要证明/(x)在(0,1)和(1,+8)上分别有一个零点.

想什

么

差什在(1,+8)内分别取两个特殊值，使得一个函数值小于0,而另一个函数值大于0(可取

么e,e)即可证明〃x)在(1,+8)上有一个零点，记为xi.

找什

注意到/(§=Inx*nx+77=f(x),即可证明/(x)在(0,1)上有零点;

么尸1

⑵

给什

么由Xo是/(x)的一个零点知Inxo二丝二

得什x()T

么

易知点6(InxoJ)在曲线y=ex上，要证明曲线片Inx在点厶处的切线也是曲线y=ex

差什x0

么

的切线，只需证明直线A8的斜率和曲线y=lnx在点厶处的切线的斜率及曲线丫=^在

找什

么

点8处的切线的斜率相等.

规范解答＞(l)/(x)的定义域为(0,l)U(l,+8).

因为f’(x)U产,

所以〃x)在(0,1)和(1,+8)上单调递增..............................................

因为f(e)=l詈＜0,/的=2礬=等0,

所以/(x)在(1,+8)上有唯一零点，记此零点为xi,则/(Xi)=0.....................................................，

又0＜Ll,/(丄)=Inxi钙=/(xi)=0,故/(x)在(0,1)上有唯一零点丄.

综上，(x)有且仅有两个零点......................................................I

⑵因为丄=e」nx。,故点8(Inxo,与在曲线片e*上..................................

由题设知/(刈)二0,即InXo=^7，

x()T

丄1睜上弁,

连接A8,则直线AB的斜率kAB=^—=普土=.................................!

-InX0-XQ.0....XqXQ

曲线片e、在点8(InxoJ)处的切线的斜率是丄，曲线y=lnx在点4(xo,lnx°)处的切线的斜率也

工0X0

是所以曲线y=lnx在点4(xo,

InX。)处的切线也是曲线片ex的切线..............................................12分

1.得步骤分:抓住得分点停得满分.如第⑴问中，求导，判断单调性，利用

零点存在性定理确定零点个数.

2.得关键分:解题过程中不可忽视关键点，有则给分，无则没分.如第(1)

满分

策略

问中，求出/(x)的定义域为(0,l)U(l,+8),判断f(x)在定义域内的单调

性;第⑵问中，找关系式Inx0=",判定直线AB的斜率与曲线片Inx在

XQ-1

点A(x0,lnx。)处的切线的斜率及曲线'=心在点B处的切线的斜率相等.

3.得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证，如第⑴问中，

求/，(x)准确是关键,否则全盘皆输.第⑵问中，正确计算公8等是关

键,否则不得分.

第(2)问也可用如下思路求解：

先求出片Inx在点厶处的切线方程片上+lnx01;

x0

再求出y二e、在点(X2,e*2)处的切线方程y=eX2-x+eX2(lX2),由e*=丄知

x0

一题

多解X2=Inxo,则y=j+^-(1+lnx0).

于是只需证明3l+lnxo)与Inxo1相等，将Inxo=黑分别代入彳导它们

均为二-,即可证明.

XQ-1

区独［2018全国卷I,12分］己知函数/(x)=：x+olnx.

⑴讨论/(x)的单调性；

⑵若/(x)存在两个极值点Xi,X2,证明:号等<。2.

⑴|求f(x)的定义域,对函数“X)短kl对参数a进行分类讨论，即可判断〃x)的单调性I

⑵|结合⑴，求出f(x)存在两个极值点MM时a的取值范围，以及-xz的关系式以那汕逆|进行转向J构造函数b幅

xl~x2

所构造函数的单调性，即可证得籲

解析》(l)/(x)的定义域为(O,+8)J«)=>吒=手1.......................................................:

①若042,则/，(x)W0,当且仅当a=2,x=l时/0=0,所以,但在(0,+8)上单调递减....

②若。>2,令/'(x)=0相乂=学或*=当亘.

当xG(0,f)U(厘,+句时/'(x)<。；

当XC(甲，竺尹)时/'«>0.

所以〃x)在(0,空经)和(当亘,+8)上单调递减，在("竺，竺经)上单调递增.............>:

(2)由(1)知，若/(x)存在两个极值点，则a>2....................................................................................6%

因为/(x)的两个极值点X1,X2满足X2GX+l=0,所以X1X2=1,不妨设X1<X2,则%2>1...................

因为"当必超?二丄1+alnxE!nxi=2+QM^2=2+O^f.....................................................9吋

xi-xXiXxxxx-L-X

22r2r2x22

所以f(x)f(x2)<a2等价于丄x2+2lnx2<0...................................................................................10句

xrx2x2

设函数g(x)=：x+2lnx,由⑴知,g(x)在(0,+8)上单调递减，又g(l)=0,所以当x£(l,+8)时,g(x)<0.

分

所以看必+如冰。，即/a2...........................................................................................2

本题主要考查导数及其应用、函数的单调性、函数的极值点与不等式

命题的证明等,考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力

探源等，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想等,考查的

核心素养是逻辑推理、数学运算.

素养考查途径

素养数学运算求/，(x),解方程，代数式恒等变形等.

探源分类讨论，由导数的符号判断函数的单调性，辅助函数

逻辑推理

的构造等.

a.计算失误.如求/，(x)出错，或求号*出错.

b.不善于分类讨论.在第⑴问中，求出f'(x)=号二,没有想到用分

类讨论的方法确定了，(x)在(0,+8)上的符号.

失分C.忽略函数的定义域.没有注意到/(X)的定义域，导致第⑴问出错，或

探源使分类讨论过程复杂(潜在失分).

d.不善于发现隐含条件.在第(2)问中没有想到xi,X2是方程X?ax+l=0

的两根，从而没有运用X1X2=1.

e.不善于转化.没有将2+。警2转化为丄X2+2lnx2<0,进而构

不發"

造函数求解.

高考中的解答题在阅卷评分时,一般是"据点给分"或"分段给分".依

据该题考查的知识点和基本技能，分步给分，只要在解答过程中抓住

得分点，就能得到步骤分.相应地，考生分段得分一般有两种措施：

提分

①分步解答，能写几步就写几步，得到相应的步骤分.②跳步解答，若

探源

解题中卡在某一处,来不及证明中间结论，则可以跳过这一步，写出后

续步骤;若题目的第一问做不出来，可将第一问作为“已知"，完成第二

问,也可能得分.

函数与导数类解答题，无论是单调性、极值、最值问题还是不等式问

答题

题，需要先求出函数的导数，然后通过导数判断函数单调性来求解，因

策略

此掌握导数与函数的单调性的关系尤为重要.

[12分]己知函数/«)=呼.

⑴求函数〃x)在[1,+8)上的值域;

(2)若Vxe[l,+8)jnx(lnx+4)42ax+4恒成立，求实数a的取值范围.

[2020江西红色七校第一次联考,12分]已知/(x)=，(x+2)o(x+lnx)(oeR).

⑴讨论/(x)的单调性;

⑵若/(X1)=/(X2)(X1HX2),证明：X1+X2>2a

[2020洛阳市第一次联考,12分]已知函数〃x)=Hnxx2+(2al)x,其中aCR.

⑴当a=l时,求函数〃x)的单调区间；

(2)求函数/(x)的极值；

⑶若函数〃x)有两个不同的零点，求a的取值范围.

[12分]己知函数f(x)=ex1bx2+ax(o,t(GR).

⑴当a>1且b=l时，试判断函数〃x)的单调性.

⑵若a<le且b=l,求证:函数/(x)在口,+8)上的最小值小于点

⑶若/(x)在R上是单调函数，求ab的最小值.

素养提升1高考中函数与导数解答

题的提分策略

1.⑴易知f-(x)=^<0(x>l),(1分)

"(X)在［1,+8)上单调递减/(x)max寸⑴=2.(3分)

VX>1时,/(x)>0,

"(x)在［1,+8)上的值域为(0,2］.(5分)

(2)令g(x)=lnx(lnx+4)2ax4,xG［l,+8),

则g，(x)=2(平a),(6分)

①若加0厕由⑴可知0(x)>0,g(x)在［1,+8)上单调递增，

Vg(e)=l2oe>0,与题设矛盾,・・・皿0不符合要求.(7分)

②若g2,则由⑴可知@(x)40,g(x)在口,+8)上单调递减,

Ag(x)<g(l)=2a4<0,；.oN2符合要求.(8分)

③若0<。<2,则三乂0£(1,+8),使得也辺=0,

则g(x)在口而上单调递增，在(xo,+8)上单调递减,

g(x)max=g(xo)=lnXo(lnXo+4)2ax04.(9分)

Inxo=axo2,

；・g(X)max=(GXo2)(oxo+2)2axo4=(OXO+2)(OXO4).

由题意知g(x)max«O,即(axo+2)(oxo4)VO,解得2<crx0<4,

2

即2<lnx0+2<4=>l<x0<e.(10分)

•••。=土，且由(1)可知f(刈=吧在(1,+8)上单调递减，

XQX

4八

：.^<a<2.(11分)

综上,。的取值范围为0,+8).(12分)

【解题关键】根据题意构造新函数并合理运用已知结论是解决本题的关键.

2⑴f(x)的定义域为(0,+8),

由/(x)=，(x+2)a(x+lnx),

得/，(x)=x+la沪立产=竺臀，

若aVO,则/，(x)>0恒成立,/(x)在(0,+8)上是增函数；

若a>0,则当0<x<a时/，(x)<0,当x>a时,/'(x)>0,

则〃x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.

综上可得，当加0时〃x)在(0,+8)上是增函数；

当a>0时，(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.(6分)

(2)由⑴知，当aSO时/(x)在(0,+8)上是增函数,

不存在/(Xi)=/(X2)(X1WX2),所以O>0.

由⑴知当a>0时((x)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增，存在/(X1)=/(x2).

不妨设0<Xi<a<X2,设g(x)=/(a+x)/(ax),xG(0,a),

则g'W=/1(0+x)+f'(ax),

又由⑴知/'仕)=空警,可得“(刈寸'(a+x)+f'(a、)=鱼等+竺詈国

因为x0(0,o),所以gl(x)=^j<0,

所以g(x)在(0,o)上单调递减，所以g(x)<0,

即当x(0,a)Blj(a+x)<f(ax),由于0<axi<a,

则/(a(axi))>/(a+(axi)),

即/(xi)=/(o(axi))>/(a+(axi))=/(2aXi).

又f(X2)=/(X1),则有/(X2)>/(2axi).

又X2>a,2a*1>°/(%)在(0,+8)上单调递增,

所以X2>2OXI,即XI+X2>2G.(12分)

3.⑴当o=l时/(x)=lnxx2+x(x>0)/()彳2x+l=吗⑴]).

当/，(x)<0时,x>l;当/，(x)>0时Q<x<l.

・・・函数/(x)的单调递减区间为(1,+8),单调递增区间为(0,1).(3分)

⑵/(x)的定义域是(0,+8)/f(x)=;2x+(2a1)=3+产).

若a《0,则f，(x)<0,此时/(x)在(0,+8)上单调递减，无极值；(4分)

若a>0,则由f，(x)=0,解得x=a,

当0<x<a时/，(x)>0,当x>a时/1(x)<0,(5分)

・・・/(x)在(0,o)上单调递增，在(q+8)上单调递减，

・・・当x=a时，函数〃x)取极大值，极大值为/(a)=a(lna+a1),无极小值.(7分)

(3)庄I⑵可知，当a<0时Rx)在。+8)上单调递减，则〃x)至多有一个零点，不符合题意，舍去.

当a>0时，函数/(x)的极大值为〃o)=o(lna+a1).

令g(x)=lnx+xl(x>0),

则g，(x)=}1>0,・，・g(x)在(0,+8)上单调递增，

又g(l)=O,/.当0<x<l时,g(x)<0；当x>l时,g(x)>0.(9分)

(i)当0<聡1时/(a)=og(o)WO,则函数〃x)至多有一个零点，不符合题意，舍去.(10分)

(ii)当a>lB't,/(a)=ag(a)>0,

1)-父0,

.•・函数/(X)在(30)内有一个零点，

e

/(3al)=oln(3a1)(3al)2+(2al)(3al)=a[ln(3a1)(3a1)].

设h(x)=lnxx(x>2),

则h'(x)=：1<0,，人,)在(2,+8)上单调递减，

则h(3al)<ln22<0,

，函数/(x)在(a,3a1)内有一个零点，则当a>l时，函数f(x)恰有两个零点.

综上，函数/(x)有两个不同的零点时,a的取值范围为(1,+8).(12分)

4.⑴由题意可得/，(x)=exx+a