2023-2024学年云南省昆明市高二年级上册10月月考数学检测试题（含答案）

2023-2024学年云南省昆明市高二上册10月月考数学检测试题

一、单选题

1.已知直线4x+2y-3=0与直线2r-3y+l=0垂直，则实数4的值为()

-44

A.3B.—3C.-D.——

33

【正确答案】A

【分析】根据两直线垂直满足的条件直接列方程，即可求出结果.

【详解】因为直线0r+2y-3=0与直线2x∙3y+l=0垂直，

所以2α+2χ(-3)=0,BP6/=3.

故选：A.

2.已知向量a=(2,T,3),b=(Y,2,x),c=(l,-x,2),若(d+8),C,贝IJX=()

A.4B.—4C.-D.—6

【正确答案】B

【分析】由向量垂直关系的坐标表示可构造方程求得结果.

【详解】由已知得：a+b=(—2,l,x+3),又(α+6)∙Lc,

.∙.(α+b)∙c=-2-x+6+2x=x+4=0,解得.χ=T

故选：B.

3.如图所示,在四面体O-ABC中,OA=〃，OB=/?,OC=C,点”在。ʌ上,且OM=2MA,N为

BC的中点,则MN=()

21,I

B.—ClH—bH—C

322

C.七+U一二D.2-

223332

【正确答案】B

(分析］连接QN,再根据空间向量加法和减法的三角形法则即可得出.

【详解】解:由题知,连接QN,画图如下:

QN是BC的中点，

:.ON=-OB+-OC,

22

OM=2MA,

:.OM^=-OA,

3

:.MN=ON-OM

=-OB+-OC--OA

223

21,1

=——a+-b+-c.

322

故选:B

4.已知向量α=(1,3,-2),⅛=(2.-1,3),c=(4,5,m),若α,b,c共面，则实数机的值为()

A.—B.IC.ɪD.—1

22

【正确答案】D

【分析】根据向量共面可设C=Xa+四，结合坐标求解出χ,y的值，则加的值即可求解.

U二解得x=2

【详解】因为α,〃,c共面，则设C=Xa+yb,所以

y=ι

所以帆=2χ(-2)+lχ3=T,

故选：D.

5.已知函数y=a-+3(α>O,且α=1)的图象恒过点P,若角α的终边经过点p,则cosα=

（）.

33-44

A.-B.--C.-D.—

5555

【正确答案】B

【分析】令x+3=0,求得定点，然后再由角ɑ的终边经过点P,利用三角函数的定义求解.

【详解】令x+3=O,则X=-3,y=4,

所以函数y=a"3+3（α>O,且ακl）的图象恒过点P（—3,4）,

又角ɑ的终边经过点P,

3

所以CoSa=--,

故选：B

6.关于函数/（x）=sin（2x-∏,下列说法正确的是（）

A.在区间（0，£|上单调递增

B.“X）的图像关于直线STrX=?对称

O

C.“X）的图像关于点（-右。）对称

D.〃力的解析式可改写成y=cos（2x+］）

【正确答案】B

【分析】根据三角函数的性质逐项分析即可.

【详解】对于A,由0<x<?,可得-2<2x-B<m,

2666

又由于y=SinX在（V，当上不单调，

OO

从而可得/（X）在区间（0，£|上也不单调，故A错误；

对于B,因为/（£）=sin（2x系-弓J=-I,取最小值，

所以得/（X）的图像关于直线X=?SITr对称，故B正确；

6

对于C,由2x--=E（AeZ）,

6

即x="+S（%eZ）,不存在壮Z使得X=I，

2126

故C错误,

对于D,由f(x)=sin(2x-g)=cos(2x-g)

O6ZO

cos(2x-∙^)-^∙=C0S(2χ-2-πy),

3

故D错误.

故选：B.

7.若直线/的方程为XSine+y+l=O,则直线/的倾斜角的取值范围是（）

A.[0,p)B.

π3π0工D汉3乃,冗

C.D.

7,T444

【正确答案】D

【分析】结合直线方程可得左=-sin。w[-1川，再由tanα∈[T,l],求解即可.

【详解】由题意，XSine+y+l=0oy=-xsin0-l,

即直线的斜率％=—Sinee[-1,1],

不妨记倾斜角为α,α∈[0,乃],BPtana∈[-1,1],

rrC冗53ππ\

即a∈0,一VJ—,乃.

444)

故选：D

8.已知点A,B,C在圆£+>2=1上运动,且AB_LBC,若点P的坐标为（2,0）,则∖PA+PB+Pc∖

的最大值为

A.6B.7C.8D.9

【正确答案】B

【详解】由题意，AC为直径，所以IPA+P8+尸C∣=∣2PO+网≤4+网≤4+3=7,当且仅

当点B为（-1,0）时∙JPA+P3+PC∣取得最大值7,故选B.

直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质

【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.由

平面几何知识知，圆上的一点与圆外-定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取

到.圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.

二、多选题

9.设复数z=∕n(3+i)-(2+i),i为虚数单位，meR,则下列结论正确的为()

A.当：<机<1时，则复数Z在复平面上对应的点位于第四象限

B.若复数Z在复平面上对应的点位于直线x-2y+l=0上，贝卜〃=1

C.若复数Z是纯虚数，则〃?=：

D.在复平面上，复数Z-I对应的点为Z',。为原点，若IOZ[=Jid,则〃7=2

【正确答案】AC

【分析】由Z=m(3+i)-(2+i),得z=(3机-2)+(,W-I)i,然后逐个分析判断即可

【详解】由Z=M3+i)—(2+i),得z=(3%-2)+(机-l)i,

2I

对于A,当3<机<1时，0<3加一2<1,--<∕n-l<0,所以复数Z在复平面上对应的点位

于第四象限，所以A正确，

对于B,若复数Z在复平面上对应的点位于直线x-2y+l=0上，贝∣J3机-2-2(m-l)+l=0,

解得机=-1,所以B错误，

2

对于C,若复数Z是纯虚数，则3加-2=0且机-l≠0,解得m=],所以C正确，

对于D,由z=(3∕筌-2)+("z-l)i,得Z-I=(3"z-3)+(M-I)i,则Z'(3m-3,m-1),由

∣Oz]=JΓδ,得(3∕M-3)2+(∕n-l)2=10,(w-1)2=1,得,w=2或〃?=0,所以D错误，

故选：AC

10.已知圆C:(x—I)?+(y—2>=25,直线/:(2〃z+l)x+(%+l)y—7根—4=0.则以下说法中

正确的有()

A.直线/恒过定点(3,1)

B.直线/被圆C截得最长弦长时，直线/的方程为2x-y-5=0

C.直线/与圆C始终有两个公共点

D.圆C被y轴截得的弦长为4#

【正确答案】ACD

f2x+y-7=0

【分析】将直线方程转化为〃?(2x+y—7)+x+y-4=0,令-即可得到直线/过

[x+y-4=0

定点坐标，即可判断A；直线/被圆。截得最长弦长时，直线过圆心解出用的值判断B；根

据定点到圆心的距离判断C；令x=()代入圆的方程解出)'的值判断D.

[2x+γ-7=0fx=3

【详解】直线/整理得机(2x+y-7)+x+y-4=0,由一八，得，，即/恒过定

[x+y-4=0[y=]

点(3,1),故A正确;

直线/被圆C截得最长弦长时，直线过圆心(L2),则(2〃叶1)+2(〃?+1)-7帆-4=0,解得

1125

/«=--,直线方程为耳工+^丫一]=。，即x+2y—5=0,B错误；

点(3,1)与圆心(1,2)的距离d=J(3-I)?+(1-2)2=后＜5,即定点在圆内，故直线/与圆C恒有

两个公共点，故C正确；

令X=0,则(O-I)2+(＞—2)2=25,可得y=2±2几，故圆C被》轴截得的弦长为4指，故

D正确；

故选：ACD

11.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随

机摸出2个球，每次摸出一个球，则()

A.第一次摸到红球的概率为:2

2

B.第二次摸到红球的概率为S

C.两次都摸到红球的概率为，

3

D.两次都摸到黄球的概率为水

【正确答案】ABD

【分析】根据古典概型的运算公式即可得到答案.

【详解】易知A正确；

32212

对B,第一次黄球第二次红球或者两次均是红球，概率为：7×→7×7=7＞正确；

54545

211

对C,两次都摸到红球的概率为：-X-=—,错误；

5410

323

对D,两次都摸到黄球的概率为：-X-=-,正确.

541()

故选：ABD.

12.已知正方体ABCQ-A耳CQ的棱长为2,点E,F在平面ABCQ内，若IAEI=百，

ACVDF,则()

A.点E的轨迹是一个圆

B.点尸的轨迹是一个圆

C.I明的最小值为五T

D.AE与平面ABO所成角的正弦值的最大值为冬昼遮

15

【正确答案】ACD

【分析】对于A、B、C、D四个选项，需要对各个选项一一验证.

选项A：由IAEl="Λ√+AE2=逐，得IAEI=1,分析得E的轨迹为圆；

选项B：由AO而点尸在耳A上，即P的轨迹为线段4。，；

选项C：由E的轨迹为圆，F的轨迹为线段BQ,可分析得IE尸lmil,="-r;

选项D：建立空间直角坐标系，用向量法求最值.

22

【详解】对于A:IAEI=J"：+'炉=6,B∣J∣λ∕2+AE=√5,所以IAEI=1,即点E为在

面AdGR内，以A为圆心、半径为I的圆上；故A正确；

对于B:正方体ABCD-A1B1C1D1中,4CJ又ACj_。尸，且BDnoF=。,所以AC1DBF,

所以点F在BQ上，即尸的轨迹为线段用口，故B错误;

对于C:在平面A耳GA内，

A到直线Ba的距离为d=√∑,当点E,尸落在A£上时，∣E用min=√5-l;故C正确;

对于D:

建立如图示的坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),A(0,0,2),0(0,2,0)

因为点E为在面A8∣G"内，以Al为圆心、半径为1的圆上，可设E(COSaSina2)

所以AE=(CoSaSina2),Ag=(2,0,-2),3D=(-2,2,0),

ιvBD=-2x+2y=O

设平面AB。的法向量”=(x,y,z),则有

n∙A1B=2x-2z=0

不妨令x=l,贝=

设A石与平面A3。所成角为处则:

∣√2sin^+^j+2∣

∖n.AE∖ICoSe+sinθ+2∣

sina=|COS(M,AE)∖=

∖n∖×∖AE∖√5×√3

当且仅当。=J时，Sina有最大值=Mɪ土画，

4√1515

故D正确

故选：CD

多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证.

三、填空题

13.幕函数/(力=(3〃/+2,")/在(0,+8)上单调递增，则实数加=.

【正确答案】ɪ

3A??2+2/77=1

【分析】由幕函数定义及性质可知C一，求解即可得加

∕n>0

【详解】由事函数f(X)=(3病+2加W在[0,+8)上为单调递增的，

LL,」3"?2+2/”=1Eg1

所以《八，解得加=w∙

[∕n>03

故答案为：g.

14.已知空间向量5=(1,0,1),1=(2,-1,2)则向量°在向量方上的投影向量的坐标是

【正确答案】

【分析】按照投影向量的定义，代入计算即可得到结果.

【详解】因为：)=2+0+2=4，W=J4+1+4=3

依题意向量α在向量b上的投影向量的坐标是

ahh_4(2,-1,2)_r848)

WM=I,一「二6一§’办

故答案为:

15.设团为实数，若直线y=x+"与圆f+y2-4x-6y+8=0相交于M,N两点，且

∣Λ7N∣=2√3,贝1]〃?=.

【正确答案】一1或3

【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，利用圆的弦长公式列方程求解即

可.

【详解】圆f+y2-4x-6y+8=0的标准方程为(x-2y+(y-3)2=5,圆心为(2,3),半径

为石，直线y=χ+帆的一般方程为x-y+m=。，所以圆心到直线y=χ+"?的距离

∣2-3+ffl∣∣w-ι∣γ.

ɪ-ɪ,因为IMNI=2百，所以化简可得

√ι2÷(-∙)2

(∕M-1)'=4,解得”？=3或∕n=-4

故-1或3.

16.一个长方体的棱长分别为l,l,√7,MN是该长方体外接球的一条直径，点P是长方体表

面上的一个动点，则PM∙PN的取值范围是.

【正确答案】[一2,0]

【分析】建立合适直角坐标系，设点P坐标，则MPN=[x-?+[y-9+[z~i)

将(D1一用+(z-gj看作长方体表面上点到耳,，距离的平方，通过分析

几何体的性质可得距离的最值，进而求得PM-PN的取值范围.

【详解】解：因为MN是长方体外接球的一条直径，

且长方体的棱长分别为1、1、√7,所以MN=,1+1+7=3,

以A8,AR的方向为X,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,

则用(0,0,0)川(1,",1),设尸(“2乂0二41,(^”77,(^2川,

所以PM∙PN=(τ,-y,-z>0-x,J7-y,l-z)

=x2-x+y1-y∕ly+z2-z

距离的平方,

可看作长方体表面上点到ɪ,ɪ,ɪ

由长方体的对称性可知，此点为长方体各个面的面对角线中点时，距离最短,

2ɪ

当此点取BCC由面对角线中点时,=­，

4

当X=O,y=O,z=O时取等号，此时点P在ABCQ平面内,

即所求的范围是[-2,0].

l⅛[-2,0]

四、解答题

17.如图，在四棱锥P-ΛBC。中，底面4BC。是矩形，PAL底面ABCZ),PA=AD=4,

AB=2,若M,N分别为棱PaPC上的点，。为AC的中点，且AC=2QM=2QN.

(1)求直线8与平面ACM所成的角的正弦值;

(2)求点N到平面ACM的距离.

【正确答案】(1)巫

3

z9J0√6

27

【分析】(1)以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；

(2)在ZMCN中，先证明4VJ.CN,从而可得N所在的位置，再利用向量法求解即可.

【详解】(1)如图所示，以点A为原点建立空间直角坐标系，

则A(O,O,O),P(0,0,4),3(2,0,O),C(2,4,0),£)(0,4,0),M(0,2,2),

AC=(2,4,0),AM=(0,2,2),8=(-2,0,0),

设平面ACM的法向量为"=(x,y,z),

,一[2x+4y=O、

则有G√Z令尸1，贝i〃=z(-2,1,—1),

[2y+2z=0

设所求角为a,则Sina=产：I=坐，

M-H3

所以直线CO与平面ACM所成的角的正弦值为逅;

3

(2)连接AN,

在Z∖ACV中，

因为AC=20N,。为AC的中点，所以ANLCTV,

↑StPN=ΛPC=(2λ,4Λ,-4λ),0≤λ≤l,

贝I]AN=AP+PN=(22,4Λ,4-4∕l),

所以ANPC=42+164—16+162=0,

解得入弋4,

所b以A,N七<,8瓦16,瓦20|、,

18.在，ASC中，角ABC的对边分别为α,Cc,S,2c-a=2bcosA.

(1)求角B的大小：

(2)若6=2,求..ABC周长/的取值范围.

【正确答案】(1)?

(2)(4,6]

【分析】(1)根据正弦定理边化角结合三角形内角和与诱导公式得出2sinAcos8=sinA,

根据三角形内角范围可知SinAX0,即可得出coSB=；,再根据角围得出答案；

(2)根据已知结合余弦定理即可得出。、C关系，再根据基本不等式得出α+c范围，即可得

出答案.

【详解】(I)由正弦定理，W2sinC-sinA=2sinBcosA,

因为A+5+C=)，所以SinC=Sin(A+5),

所以2sin(A+8)-SinA=2sinBcosA,

即2sinACoS3+2CoSASinB-sinA=2sinBcosA,所以2sAAcosJB=SinA,

因为OVAVTF,所以SinAW0,

所以cos3==],又0<B<乃，所以8=T：t；

23

TT

(2)由(1)可得8=耳，若8=2,

则由余弦定理，得4=α?+/-αc=(α+c)2-3ac，

所以3ac=(α+c)2-443x("),gp^(a+c)2≤4,

所以α+c≤4,当且仅当α=c时等号成立，

又α+c>b=2,所以2<α+c≤4,即4<α+匕+c≤6,

所以/5C周长的取值范围为（4,6].

19.某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一次有关环保知识的

竞赛.现从参赛的所有学生中，随机抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成

绩的频率分布直方图如图所示.

（1）求频率分布直方图中。的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第50百分位数；

（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于70分的学生中随机抽取6人，查看他

们的答题情况，再从这6人中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中至少有1人成绩在

[60,70）内的概率.

【正确答案】（l）4=0.025,第50百分位数为75.6

【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为1计算。，再根据百分位数计算公式计算第50

百分位数；

（2）根据分层抽样确定各区间人数，然后利用古典概型概率计算公式计算概率.

【详解】（1）由频率分布直方图可得，（0.006+0.012+0.018χ2+0.021+a）xl0=l,

则4=0.()25,

前3组的频率和为(0.006+0.012+0.018)x10=0.36,

第4组频率为0.25,

所以第50百分位数位于第4组［70,80)内,

记第50百分位数为X,则*蓝6,解得X=75.6,

即第50百分位数为75.6；

(2)由频率分布直方图可知，

成绩在［40,50),［50,60),［60,70)内的频率分别为006,0.12,0.18,

采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，

成绩在［40,50)内的有1人，记为A,

成绩在［50,60)内的有2人，记为BbB2,

成绩在［60,70)内的有3人，记为G,

则从成绩在［40,70)内的6人随机抽取2人，共有：

AB1、AB2、AC［、AC2、AC3、BI孰、BlCZ'BiG'BzG'Bgz、B2C3>

ClC2、GC3、。2。3、8田2，共有15种，

2人中至少有1人成绩在［60,70)内，共有：

AG、AG、AG、BC、B£、BIG、BC、BC"GC2、CIG、C2C3,有12种，

记事件A="2人中至少有1人成绩在［60,70)内”，则P(A)=j∣=*

20.已知线段AB的端点8的坐标是(6,8),端点A在圆/+>2=16上运动，M是线段AB的

中点，直线/过定点(I,()).

(1)设点M的轨迹为曲线C,求C的方程；

(2)若直线/与曲线C相交于P,。两点，求面积取最大值时，直线/的方程.

【正确答案】⑴(x—3)2+(1—4)2=4

(2)x-y-l=0或7x-y-7=0.

【分析】(I)设出点M(x,y),根据8(6,8)且M是AB的中点，求出A点坐标，代入圆

f+V=16中化简即可得出结果;

(2)根据直线/过定点(1,0),分析斜率存在不存在，设出直线方程，进而求出点到直线的

距离，再根据勾股定理求得弦长归。，写出一CPQ面积，利用基本不等式求得面积最值，考

虑不等式取等的条件，即可求得面积取最大值时，直线/的方程.

【详解】(1)解：设点M(x,y),因为8的坐标是(6,8),且M是线段AB的中点，

所以A(2x-6,2y-8),又有点A在圆f+产=16上运动，

所以A点坐标满足圆的方程x2+y=16,

即(2X-6)2+(2y-8)2=16,整理得(X-3?+(»-4丫=4,

故点〃的轨迹为(X-3丫+(y-4)2=4；

(2)由(1)知点M的轨迹方程为(X-3f+(y-4)2=4,

即轨迹是以点C(3,4)为圆心，半径r=2的圆，

①若直线/斜率不存在，则直线/:x=l,

因为圆心C(3,4)到直线的距离为2等于半径，

此时直线/与圆相切，不存在两个不同交点P,Q,故不符合题意舍;

②若直线/的斜率存在，设直线/：y=k(x-1),即/：履-yM=0,

由直线/与圆C相交于P,。两点，圆心到直线/的距离d小于半径，

即“=号土⅛<2,解得&>[,

y∣k2+l4

根据圆的性质可知：I叫=2分一屋=2"-1,

iɪɪι1/------I------d~÷(4-df-)

因2为S^Q=∕∙d∙2j4-屋="∙√4-d2<——-----L=2,

当且仅当即d=&时取等，

此时篙

所以当d=时，S有最大值为2

解得Z=I或4=7,此时直线/的方程为x-y-l=O或7x-y-7=0.

21.如图,在四棱锥P-AB8中,底面ABa)是边长为2的菱形,PA，平面

ABa),NABC=60。，E为BC的中点,F为边PC上的一个点.

(1)求证:平面AEF'_L平面PAz)；

(2)若H为尸。上的动点,EH与平面PAO所成角的正切值的最大值为述,求平面RW与平面

2

PCf)夹角的正切值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵立

2

【分析】(1)面面垂直的判定,需先证明线面垂直;(2)先找到线面角,再求出a的长,然后找到二

面角,求出其正切值.

【详解】(1)证明:在菱形ABe。中,ZABC=60。，

故4ABC是等边三角形,又E是BC中点，

所以AEJ_8C,而8C〃AD,

所以AEJ_AE);

因为PA，平面ABa),AEu平面ABCZλ

所以P4LΛE;

又因为R4cA£>=A,A。u平面24。,上4u平面PAD；

所以AEJ.平面PA£),

又AEU平面AEE所以平面AEFJ_平面PAD.

P

(2)

如图,连接AH,则

:,ZEHA即为EH与平面PA。所成的角,设ZEHA=a,

则tanα=四=正≤亚

AHAH2

^AH≥√L即点A到直线PD的距离为√2；

又，AD=2,.∙.DH=y∕2,SiZPDA=45°；

.∙.PA=2.

设平面PADC平面PCD=I,

ABCD

，CDU平面PeAB//nPCD;

AB(X平面PCO

又ABu平面R4B且平面BAZ)C平面尸CZ)=/,

AB//CD//1.

如图,取C。中点M,连接AMyPM,

则AMLCC

.孙，平面ABCf),COu平面ABa)

.∙.1R4LC。,又∙.∙AMPA=A,

.∙.81.平面HLM,又ZWu平面EW,

.∙.CD±PM,

PMLl

又PALCD,.∙.PA±I;

所以NME4即为所求二面角的平面角.

在Rl△AAM中,tan/MPA=3=走.

PA2

故平面∕¾β与平面PCD夹角的正切值为也.

2

22.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物（例

如浮萍、蒲草、芦苇等），对国家级湿地公园—东昌湖进行进一步净化和绿化.为了保持水

生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年

对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为45π√,