数学归纳法（课件）高二数学（北师大版2019选择性）

1.5数学归纳法我是一毛我是二毛我是三毛我是谁？我不是四毛！我是小明！不完全归纳猜：四毛！完全归纳？探究点

数学归纳法的原理与定义问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.完全归纳法（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？猜想数列的通项公式为：解:不完全归纳法从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法验证:逐一验证，不可能！！！能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？多米诺骨牌课件演示

数学归纳法的第一步：先证明n取第一个值时命题成立.相当于多米诺骨牌开始倒的第一张.数学归纳法的第二步：假设当n=k时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立.相当于多米诺骨牌第k张倒后第k+1张是否也会跟着倒.1.第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题.2.共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况.

多米诺骨牌与我们要解决的问题2有相似性吗？相似性体现在哪些方面呢？

上述2，事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下.

你能类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明上述问题2猜想的结论吗？猜想数列的通项公式为证明:(1)当猜想成立.(2)那么,当根据(1)和(2)，猜想对于任何都成立.

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0

N*)时命题成立.2.（归纳递推）假设当n=k(k≥n0，k

N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.（1）第一张骨牌必须能倒下（2）假若第k（k≥1）张能倒下时，一定能推倒紧挨着它的第k+1张骨牌（游戏开始的基础）（游戏继续的条件）分析：

能够使游戏一直连续运行的条件：类似地，把关于自然数n的命题看作多米诺骨牌，产生一种符合运行条件的方法：（递推基础）（递推依据）由（1）（2）知，游戏可以一直连续运行。由（1）（2）知，命题对于一切n≥n。的自然数n都正确。我们把以上证明关于自然数n的命题的方法，叫做数学归纳法。证明：（1）当n=1时，等式是成立的．（2）假设当n=k时等式成立，就是那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知的等式对任何都成立．下面用数学归纳法证明等差数列通项公式：例1:用数学归纳法证明：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和公式为证明：（1）当n=1时，左边=S1=a1，右边=

，等式成立；（2）假设当n=k(k≥1)时，等式成立，即成立.那么当n=k+1时，所以，n=k+1时等式也成立.由（1）和（2）可知，等式对任意正整数n都成立.

变式

用数学归纳法证明

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．（2）假设当时，等式成立，就是那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立．由（1）和（2），可知等式对任何都成立．例2:已知数列{an}满足，a1=0，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.解：由，a1=0，得归纳上述结果，可得猜想.用数学归纳法证明这个猜想：（1）当n=1时，左边=a1=0，右边=

，等式成立；（2）假设当n=k(k≥1)时，等式成立，即成立.那么，当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时等式也成立.根据（1）和（2），可知猜想对于任意正整数n都成立.

计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.变式

已知数列，，，…，…，，解：

可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1,于是可以猜想

下面我们用数学归纳法证明这个猜想.(1)当n=1时，猜想成立.(2)假设n=k时,猜想成立，即那么所以，当n=k+1时,猜想也成立.例3:用数学归纳法证明：（1+α）n≥1+nα（其中α＞-1，n∈N+）.证明：（1）当n=1时，左边=1+α，右边=1+α，等式成立；（2）假设当n=k(k≥1)时，等式成立，即（1+α）k≥1+kα成立.那么，当n=k+1时，因为α＞-1，所以1+α＞0.根据假设知，（1+α）k≥1+kα，所以（1+α）k+1=（1+α）k（1+α）≥（1+kα）（1+α）=1+（k+1）α+kα2.因为kα2≥0，所以1+（k+1）α+kα2≥1+（k+1）α.从而（1+α）k+1≥1+（k+1）α.这表明，当n=k+1时命题也成立.根据（1）和（2），该命题对于任意正整数n都成立.(n≥2,n∈N)过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（）：用数学归纳法证:

D变式1B.1或2C.1，2，3D.1，2，3，4CD课堂练习CB5.用数学归纳法证明

1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

从n=k到n=k+1有什么变化利用假设凑结论证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。6.下面是某同学用数学归纳法证明命题

的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?

(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k时命题成立即那么n=k+1时,

左边

=右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.数学归纳法的一般步骤：若n=k(k≥n0)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.

验证n=n0时命题成立.命题对从n0