第八章向量的数量积与三角恒等变换本章小结第1课时课件高一下学期数学人教B版

本章小结第1课时知识结构问题1

本章内容有两大部分，向量的数量积与三角恒等变换，在向量的数量积部分，我们可以用哪几个关键词来描述？新知探究追问1：你能用知识结构图来表示吗？定义性质向量的数量积运算新知探究追问2：每一个关键词都有相应的内容，你能将上面的知识结构图再补充上相关的内容吗？定义（1）a·b＝|a||b|·cosθ（2）规定：0·a＝0坐标表示a·b＝x1x2＋y1y2（a＝（x1，y1），b＝（x2，y2））运算律（1）a·b＝b·a（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·ca在b方向上的投影|a|·cosθ叫向量a在b方向上的投影a·b的几何意义数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积新知探究追问3：有与上面不一样的知识结构图吗？向量的数量积几何意义（x，y）·（m，n）＝xm＋yn求模长求夹角（θ为夹角）θ＝90°垂直，数量积为0θ为锐角，钝角，对应于＞0θ＝0°平行，数量积为θ＝180°平行，数量积为研究思路从物理中的功出发，引出向量数量积的概念；类比实数的运算，结合以前学过的向量的线性运算，想到向量有类似乘法的运算；类比实数的乘法运算律，研究向量的数量积的运算律．本教材将向量的数量积安排在“三角函数”之后和“三角恒等变换”之前，除了要应用向量的数量积作为推导三角恒等变换公式的基础，也暗示了向量的数量积这种运算不仅适用于平面向量，也适用于空间向量，甚至是更多维数的向量，为进一步学习空间向量在立体几何中的应用、柯西不等式等知识做好准备．问题2简单描述一下向量的数量积内容的研究过程和方法吗？具体内容问题3你能对本章的主要知识点进行归纳和整理吗？具体内容向量的夹角给定两个非零向量

，在平面内任选一点O，作

则称[0，π]内的∠AOB为向量

与向量

的夹角，记作

．（1）两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且0≤≤π，规定零向量与任意向量垂直．（2）当时，称向量与向量垂直，记作具体内容向量的数量积的定义一般地，当都是非零向量时，称为向量与的数量积（也称为内积），记作，即向量的数量积的符号：当时，与共线同向，当时，与夹角为锐角，当时，与垂直，具体内容向量的数量积的定义一般地，当都是非零向量时，称为向量与的数量积（也称为内积），记作，即向量的数量积的符号：当时，与夹角为钝角，当时，与共线反向，具体内容向量的数量积的性质

即

即向量垂直的充要条件为

具体内容向量的数量积的几何意义一般地，如果都是非零向量，则称为向量在向量上的投影的数量．两个非零向量的数量积，等于在向量上的投影的数量与的模的乘积，这就是两个向量数量积的几何意义．特别的，当为单位向量时，因为||＝1，所以，即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量上的投影的数量．具体内容向量的数量积的性质交换律：a·b＝b·a．对加法满足分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c，（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）．具体内容向量的数量积的几何意义在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量之后，如果对于平面内的向量，有，则（x，y）就是向量的坐标，记作设则在平面直角坐标系中，如果A（x1，y1），B（x2，y2），则设

＝（x1，y1），

＝（x2，y2），则⇔x1x2＋y1y2＝0．具体内容问题4可以将向量的数量积这部分知识用图形表示出来吗？向量的数量积（内积）的坐标运算已知a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则a·b＝a1b1＋a2b2．向量垂直的坐标表示向量的模向量的夹角已知a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则a⊥b⇔a1b1＋a2b2＝0．（1）已知a＝（a1，a2），则|a|＝，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．（2）如果A（x1，y1），B（x