2023-2024学年厦门二中高二数学上学期第一次月考卷及答案解析

2023-2024学年厦门二中高二数学上学期第一次月考卷

（试卷满分150分；考试时间120分钟）

第I卷（选择题共60分）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.在空间直角坐标系中，若点A（—l,6,8）,B（l,5,7）,则|阴=（）

A.2B.72C.6D.76

2.已知点A（-3』,-4）,8（7,1,0）,则线段A8的中点M关于平面。户对称的点的坐标为（）

A.（—2,1,—2）B.（2,1,-2）C.（2,—1,-2）D.（2,1,2）

3.下列条件中，一定使空间四点P、A、B、C共面的是（）

ULIUlUUUUUUUULIUUU11UIUULU1

A.OA+OB+OC=-OPB.OA+OB+OC=OP

ULIULU1UUUUUU

c.OA+OB+OC=2OPD.OA+OB+OC=3OP

4.已知四棱锥底面ABC。为平行四边形，M,N分别为棱BC,尸。上的点，萼=！，PN=ND,

CB3

设AB=a，AD=b<AP=c>则向量MN用｛〃，匕，。｝为基底表示为（）

A.aH—h-\—cB.~ciH—bH—cC.a—b—cD.~a—b—c

32623262

5.已知平面。=｛冏〃代尸=0｝,其中点虫1,2,3）,法向量〃=（1,1,1）,则下列各点中不在平面a内的是（）

A.（3,2,1）B.（—2,5,4）C.（-3,5,4）D.（2,-4,8）

6.己知正四面体ABC。，/为AB中点，则直线CM与直线8。所成角的余弦值为（）

7.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体

ABCD-AMGA中，AB=1,BC=2,M=3,则异面直线AC与8G之间的距离是（）

A.在B.也C.显D.-

5767

8.如图，在棱长为1的正方体4BCO-AB|GA中，P为棱84的中点，。为正方形BBCC内一动点（含

边界），则下列说法中不氐硬的是（）

A.若〃平面AP。，则动点。的轨迹是一条线段

B.存在。点，使得AQ工平面APC

c.当且仅当Q点落在棱CG上某点处时，三棱锥Q-APO的体积最大

D.若乎，那么。点的轨迹长度为日万

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要

求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.下列四个结论正确的是（）

A.任意向量〃,6,若々.〃=0，则a=0或匕=0或（。,匕）=万

B.已知A（3J0）,仅5,2,2）,C（2,0,3）,则点。到直线AB的距离为何

C.已知向量a=（l,l,x）s=（—2,x,4）,若x<|，则卜，今为钝角

D.若a,b,C是不共面的向量，则a+。，b+c,c+“的线性组合可以表示空间中的所有向量

10.在棱长为3的正方体A8CD-AEG。中，点尸在棱。C上运动（不与顶点重合），则点8到平面4。尸

的距离可以是（）

A.V2B.6C.2D.y/5

11.如图，平行六面体A88-AAGA中，以顶点A为端点的三条棱长均为1,且它们彼此的夹角都是60。,

2

A.AC1=瓜

B.AC,±BD

C.四边形BDQ蜴的面积为正

2

D.平行六面体ABCD-A耳GR的体积为受

2

12.如图的六面体中，C4=CB=C£>=1,AB=BD=AD=AE=BE=DE=6,则()

A.CD,平面ABCB.AC与BE所成角的大小为］C.CE=6D.该六面体外接球的

表面积为3兀

第II卷(共70分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已用”=(-1,2,1),ft=(-2,-2,4),则人在0方向上的投影向量为.

14.如图，二面角a-/-4等于120。，4、B是棱/上两点，B。、AC分别在半平面a、4内，AC±l,BD11,

S.AB=AC=BD=2,则CD的长等于.

15.在空间直角坐标系中，经过P(%%,z0)且法向量加=(a,6,c)的平面方程为

a(x-%)+6(y-%)+c(z-z<))=0,经过P小,为/。)且方向向量n=(A,B,C)的直线方程为

土卢=二左=0包.阅读上面材料•，并解决下列问题：给出平面a的方程3x+y-z-5=0,经过点

ABC

P(0,0,0)的直线/的方程为x='=-z,则直线/的一个方向向量是,直线/与平面a所成角的余

弦值为.

16.卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标.卢

浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为“，高为若该四棱锥的五个顶点都在同一个球

面上，则球心到该四棱锥侧面的距离为.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3

17.如图，在底面为菱形的四棱锥E—ABC。中，8E_L底面ABC。，/为C£>的中点，且==

ZABC=120°,以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

⑴写出A,8,£>,E四点的坐标;

⑵求cos〈A8,£>E〉.

18.已知向量a=(-2,-1,2),5=(-1,1,2),c=(x,2,2).

(I)当|c|=2点时，若向量履+〃与c垂直，求实数x和女的值；

(H)若向量c与向量共面，求实数x的值.

19.如图所示，在四棱锥M-A8CZ)中，底面ABC。是边长为2的正方形，侧棱40的长为3,且

AMAB=ZMAD=a)°,N是CM的中点，设a=A8，b=AD<c=AM.

(1)用a、b、c表示向量BN，并求3N的长；

⑵求证：平面M4C.

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BCO为正方形，平面ABC。，M,N分别为棱P。，BC的

中点，F4=AB=2.

⑴求证：MN//平面B4B；

(2)求直线MN与平面所成角的正弦值.

1

21.如图，在三棱台ABC-RBC中，若在m"平面ABC,ABJ.AC,AB=AC=AAI=2,AG=1,M为

棱BC上一动点(不包含端点).

4

B\

B

(1)若M为8C的中点，在图中过点A作一个平面a,使得平面GM4//a.(不必给出证明过程，只要求作

出a与棱台ABCZ)-A8|CQ的截面)；

(2)是否存在点〃，使得平面GMA与平面ACCH所成角的余弦值为亚？若存在，求出BM长度；若不存

6

在，请说明理由.

22.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.活

动弹子M,N分别在正方形对角线AC和B/上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=8N=a

(0<a<V2).

(1)问。为何值时，的长最小？

(2)当MN的长最小时求平面MNA与平面夹角的余弦值.

1.D

【分析】直接由空间两点的距离公式求解即可.

【详解】由题意得|AB|=+(6-5)2+(8-7)2=瓜.

故选：D.

2.A

【分析】求出A8的中点M的坐标，再求出关于平面Ojz对称的点的坐标即可.

【详解】因为点A(—3」,T),8(7,1,0)

所以AB的中点用(2,1,-2),

所以M关于平面0yz对称的点的坐标为(-2,1-2),

故选：A.

3.D

5

【分析】要使空间中的P、A、B、C四点共面，只需满足OP=xO4+)，OB+zOC，且x+y+z=l即可.

【详解】对于A选项，=­(-1)+(-1)+(-1)=-3*1,所以点尸与A、B、C三点不共面;

对于B选项，OP=OA+OB+OC，1+1+1=3^1,所以点P与A、B、C三点不共面；

对于C选项,0P=；0A+g0B+；0C,|+|+|=所以点尸与A、B、C三点不共面;

4444444

对于D选项，OP=\OA+\OB+\OC,:+:+:=1,所以点尸与A、B、C三点共面.

333333

故选：D.

4.D

【分析】由图形可得MN=MC+8+ON，根据比例关系可得MC=gA。，DN=；DP,再根据向量减法

DP^AP-AD'代入整理并代换为基底向量.

【详解】MN^MC+CD+DN^-AD-AB+-DP=-AD-AB+-(AP-AD]=-AB--AD+-AP

3232V'62

即A/N=_"»+；＜?

故选：D.

5.B

【分析】结合各个选项分别求出4P,计算〃•6P的值是否为0,从而得出结论.

【详解】对于A,E)P=(2,0,-2),n-^P=lx2+lx0+lx(-2)=0,故选项A在平面a内；

对于B,4P=(-3,3,l),h/JP=lx(-3)+lx3+lxl=l#0,故选项B不在平面a内；

对于C,4P=(-4,2,2),〃4/＞=卜(-0+以2+以2=0,故选项C在平面a内；

对于D,4『=(1,-6,5),/2/?)P=lxl+lx(-6)+lx5=O,故选项D在平面a内.

故选：B.

6.B

【分析】设正四面体A3CZ)的棱长为2,取AO的中点F,连接ME、CF,利用几何法求解作答.

【详解】如图，设正四面体438的棱长为2,取A。的中点F,连接“尸、CF,

因为M、尸分别为A8、A£＞的中点，则板〃8。且==

6

因此NCME或其补角为直线CM与直线80所成的角，

因为ABC为等边三角形，M为的中点，则。/J_W,且CM=ACsin60=6，

\_MF£

同理CF=百，在等腰CM/中，cosZCMF=2_=工_=立，

MC66

所以直线CM与直线8。所成角的余弦值为正.

6

故选：B

7.D

【解析】以。为坐标原点建立空间直角坐标系，求出AC和BC；的公垂线的方向向量”，求出AB，再由

〃=1中可求出.

H

【详解】如图，以。为坐标原点建立空间直角坐标系，

则A（2,0,0）,C（0,1,0）,8（2,1⑼,G（0,1,3）,

则AC=（-2,l,0）,BC,=（-2,0,3）,

设AC和BQ的公垂线的方向向量〃=（x,y,z）,

则Id），即1令尤=3,则"=（3,6,2）,

n-BCX=0[-2x+3z=0

AB=（0,1,0）,

【点睛】本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解.

8.B

【分析】取B|G，CG中点EV,证明REF//平面AOP，得动点轨迹判断A,建立如图所示的空间直角坐

标系，求出平面的一个法向量，由QQ与此法向量平行确定。点位置，判断B,利用空间向量法求得

7

。到到平面APD距离的最大值，确定。点位置判断C,利用勾股定理确定。点轨迹，得轨迹长度判断D.

【详解】选项A,分别取中点E,尸，连接2瓦。尸,或"PF,由尸尸与BC，AA平行且相等

得平行四边形AfFR，所以RF//AP,

平面A。？，A/u平面AOP,所以。尸〃平面A。/',

连接qc,EF//BtC,B、C〃AD,所以EF〃A。，同理防〃平面AQP,

EFcD、F=F,ERRFu平面REF,所以平面QEF//平面A,。尸，

当QeEF时，RQu平面2EF,所以D,Q//平面AQP,即。点轨迹是线段EF,A正确；

选项B,以2为原点，所在直线分别为x，yz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则4(100),

0(0,0,1),P(l,l,g),设。(x,l,z)(0<x,z<l),

4。=(一1,0,1)，4/=(0，1，；)，AQ=(x,l,z),

设7W=(〃也C)是平面4尸。的一个法向量，

力AO=-Q+C=O

则｛I,取c=l则〃?=,

m-AiP=b+—c=0

若。QJ_平面4尸。，则AQ〃加，所以存在/IER,使得AQ=4〃2,

x=A

2

-l=-y,解得x=z=-2e[0,1],因此正方形内(含边界)不存在点。，使得R。，平面AP。，B

z=2

错；

选项c,△AP。面积为定值，当且仅当点。到平面AP。的距离最大时，三棱锥Q-AP。的体积最大,

AQ=(I,l,z),

Q到平面APC的距离为d=卑3|

3

x+z——0<x+z<2,

H32

323

OKX+ZK5时，6?=—[—―(x+z)],当x+z=0时，d有最大值1,

8

3231

54x+z42时，^/=-[(x+z)--],x+z=2时，"有最大值],

综上，x+z=O时，”取得最大值1,故。与G重合时，”取得最大值，三棱锥。-4尸。的体积最大，C正

确；

选项D,2G平面BBCC，CQu平面BBCC，D.C,1CtQ,

所以＜0="口。2-℃2=[,所以Q点轨迹是以G为圆心，亨为半径的圆弧，圆心角是轨迹长度

为LX2IX—/r,D正确.

424

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查空间点的轨迹问题，解题关键是勾画出过。且与平面APQ平行的平面

D、EF,由体积公式，在正方形BBCC内的点。到平面吊尸。的距离最大，则三棱锥。-4尸短体积最大.

9.ABD

【分析】对A,根据数量积的计算公式分析即可；对B,根据空间中点到线的距离向量公式求解即可；对

C,讨论特殊情况反向时判断即可；对D,根据空间向量共面满足的条件判断即可.

【详解】对于A,@出=同.问《»(出9=0,

则同=0或忖=。或cos(a,6)=0,即4=0或b=o或(a®、，故A正确；

AB-AC

对于B,因为A8=(2』,2),AC=(-1,-1,3),所以------=1.

\AB\

设点C到直线AB的距离为"，则"=业『—1=可,故B正确；

2._

对于C，a-b=-2+x+4x=5x-2»若工＜不，则4・。=5工一2＜0，

当£//初寸,则存在唯一实数2,使得人茄,即(―2/,4)=(4%人)，

—2=/

所以＜x=4,解得％=/1=—2,

4=

所以当X＜g,且"-2时，,力)为钝角，故C错误.

对于D,若a、b、c•是不共面的向量，则a+A、b+c、C+。也是不共面的向量，

否则若a+6、b+c,c+a共面，则存在实数MN,使得=xS+c)+y(c+a),

i=y

即a+b=ya+x，，+(x+y)c,则」=X,显然无解，

0=x+y

所以a+b、b+c、c+a也不共面,

9

由空间向量基本定理，可能用它们表示出空间任意向量，D正确.

故选：ABD

10.CD

【分析】利用坐标法，设，可得平面ARP的法向量〃=93,。，进而即得.

【详解】以。为原点，力人力心力^分别为心户z轴建立空间直角坐标系，

则0(0,0,0),A(3,0,0),8(3,3,0),£>,(0,0,3),设

所以"=(-3/,O),A0=(-3,0,3),AB=(0,3,0),

设勺=(3,乂，4)为平面4。2的法向量，

n.•AP=-3x.+ry.=0.

则有：，令N=3,可得”=(r,3,r),

n}・AD{=-3x,+3Z[=0

40.ng

则点B到平面AD.P的距离为d==/,,

|»|V2r+9

因为0<f<3,所以距离的范围是(石,3).

故选：CD.

11.ABD

【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出进而

求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积.

222*2

【详国军】AC^AB+AD+AA.,则AC；=AB^AD+AA]^+2ABAD+2ABAA]+2ADAA]

=12+12+12+2xlxlxcos60+2xlxlxcos60+2xlxlxcos60=6,故1AC]卜述，A正确；

AC^AB+AD+AA,,BD=AD—AB，

L

ACCBD=^AB+AD+AA^(AD-AB^=ABAD-AB'+AD-ADAB+AA^AD-A\AB

=lxlxcos60-I2+12-lxlxcos60+lxlxcos60-Ixlxcos60=0,故Ag_LBO,B正确；

10

连接则8A=3A+A£>+£)〃，笈£>=81A+4E>I+£)|。，

•2222

BD、=BA+AD+DD]+2BA-AD+2AD-DD1+2BA-DD}

=l2+l2+l2+2xlxlxcosl20+2xlxlxcos60+2xlxlxcosl20=2,即卜"卜立，同理忸4=及，故四

边形B£)A4为矩形，

面积为1x1=1,C错误;

过4作4卢_1面438,易知E在直线AC上，过E作所_LA8于尸，连接4尸，由AB,EF_LAB得

面AEF,易得481.4/,故AP=A4,<os60=',AE=-^—=^,A,E=JAA}-AE2=^-,

2cos3033

故平行六面体ABCO-AHCQ的体积为Ixlxlx且x2x4^=变，D正确.故选：ABD.

2232

12.ACD

【分析】利用线面垂直的判定定理、空间向量以及球的表面积公式进行计算求解.

【详解】因为C4=CB=CD=1,BD=AD=叵,

所以C42+C£)2=A£)2,CB2+C£)2=BO2,即CD_LC4,CO_LCB,又CAr\CB=C,

所以CO,平面ABC,故A正确；

因为CO_L平面ABC,如图，建立空间之间坐标系，

因为C4=CB=CD=1,所以四面体C-ABO是正三棱锥，

因为A8=BO=A£)=AE=BE=£)E=&,所以四面体E—是正四面体,

在正三棱锥C-9中过点C作底面的垂线，垂足为正三角形4冷的中心，

II

同理，在正四面体E-加中，过顶点E作底面的垂线，垂足为正三角形画的中心，

所以，C、G、E三点共线；

因为C(0,0,0),。(0,0,1),8(0,1,0),4(1,0,0),因为G是正三角形丽的中心，所以

设因为在正四面体E—中，EG=竽，在正三棱锥C—ABD中，CG=£,

所以每=6,解得f=l,所以所以BE=(l,0,l),又。1=(1,0,0),

所以85(。4,跖)=旦也=*,故AC与BE所成角的大小为:，故B错误;

\/\CA\\BE\24

因为CE=(1,1,1),所以CE=G，故C正确;

显然，该六面体外接球的球心位于线段CE的中点，因为CE=6,所以六面体外接球的半径R=",

所以该六面体外接球的表面积为4兀a=3兀，故D正确.故选：ACD.

]_2]_

13.

【分析】用力在a方向上的投影乘以与Q同向的单位向量可得结果.

【详解】。在a方向上的投影向量为篙言2-4+4(-1,2,1)_(121]

V1+4+171+4+1I3;353J

12n

故答案为:3'3'3>1

14.4

【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】由二面角的平面角的定义知(肛AC)=120。，

BD-AC=\BL^AC\cos^BD,AC)=2x2xcosnO°=-2,

由ACJJ,BD11,得ACBA=0，BDBA=0>又。C=£>B+BA+AC，

A|DC|2=(DB+BA+AC^=DB2+BA'+AC'+2DB-BA+2DBAC+2BAAC

=22+2?+22-28£>AC=12-2x(_2)=16,

12

所以pc|=4,即CD=4.

故答案为：4.

15.(1,2,-1)叵##

1111

【分析】根据题意，结合已知条件求得平面的法向量，以及直线的方向向量，结合向量的夹角公式，即可

求解.

【详解】因为平面a的方程3x+y-z-5=0,不妨令x=0,y=0,可得z=—5,

所以过点Q(0,0,-5),设其法向量为m=(a,b,c),

根据题意得依+"y+c(z+5)=0,即ax+by+cz+5c=0f

由平面a的方程为3x+y-z-5=0,则?=?=空，

31—5

不妨取。=3,可得b=l,c=-l,则平面a的一个法向量为机=(3,1,—1),

经过点R。,。,。)的直线/的方程为x/=-z

不妨取)，=2,则x=l,z=-l,则该直线的一个方向向量为〃=(1,2,-1),

则直线/与平面a所成的角为。，则sin3=|cos伽,〃)卜跷=而黑=华

由OefO百，所以cosO=Jl-sin?夕=叵.故答案为:(12-1)；叵

21111

【分析】连接AC、BD,交于O',连接PO',则球心在PO'的延长线上，结合题意可得O'ALO'8,且

O'A=O'B=^-a,0'尸=|。，设OO'=x,OA=OP=r,求出，=聂。，以。'为原点，以O'AO'B,O'P所

在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，再结合法向量求解即可.

【详解】如图，连接AC、BD,交于O',连接P。'，则球心在尸。上(或延长线上)，

B2

在正四棱锥中，O'A^O'B,S.O'A=O'B=—a,O'P=-a,

23

设。4=OP=r,所以/=*，解得，

以。'为原点，以0'4,0'8,0'P所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则'B0,-^-a,0,p(。,。,]”)，0(0,0,—聂)，

所以*殍,o,阁,叫[o冬制，04=(冬喝

13

zo

——ax-2£3-

/、n-PA=02

设平面2W的法向量为〃=(x,y,z),则,即＜加

)n-PB=O72一Z-O

~r~ay-3

a

\OA-n\ClH----in

所以球心。到四棱锥侧面的距离为1=匚"16=17a

M5-40

2

17.⑴A（2,0,0）,8（0,0,0）,D（l,^3,0）,£（0,0,2）（2）^

【分析】（1）根据△88为正三角形，由AB=2,结合空间直角坐标系中坐标的写法，即可求解；

（2）利用空间向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，可得△BCQ为正三角形，因为A3=2,所以8尸=6，

以B为坐标原点，8AB所在的直线分别为的方向为x轴、y轴和z轴建立的空间直角坐标系，可得

A（2,0,0）,8（0,0,0）,D（l,V3,0）,E（0,0,2）.

（2）解：由（1）可得48=（-2,0,0）,DE=（-1,-6,2）,

/“gABDE272

所以8MAB，%=网网=痂正=:

【分析】（I）根据|c1=2应可求得x=0,再根据垂直的数量积为0求解%即可.

14

(n)根据共面有c=2a+再求解对应的系数相等关系求解即可.

【详解】解：(1)因为|c|=2立，所以正。T?=20nx=().

且％。+/?=(-2k—1,l—k92k+2).

因为向量版+0与工垂直，所以(无。+办c=0.即22+6=0.

所以实数无和攵的值分别为0和-3.

(II)因为向量2与向量q,人共面，所以设C=+.

因为(x,2,2)=A(-2,-l,2)+〃(为,1,2),

X="2，

x——24—〃，

T所以实数x的值为总

,2=〃一4所以《

2=22+2//,

【点睛】本题主要考查了空间向量的基本求解方法，包括模长的运算以及垂直的数量积表达与共面向量的关

系等.属于基础题.

19.(1)8N=—ga+g力+ge,平(2)证明见解析

【分析】(1)在三角形8CN,三角形AMC,正方形A5CD等闭合路径中进行向量转化，将向量8N用。、b、

c表示，再平方将向量实数化求出向量BN的模即BN的长.

(2)先用基向量法求防可证得比)_LAW,结合正方形A3Q9中5£>_LAC,可证得平面MAC.

【详解】(1)因为N是CM的中点，底面A5CQ是正方形，

所以8N=BC+CN=AO+；CM=AO+g(AM-4C)

=AD+-\AM-(AD+AB\]=--AB+-AD+-AM=--a+-h+-c,

2L\〃222222

又同=网=2,W=|回=2，同=kM=3,

且ZM4B=ZM4£)=60。，Z/M5=90°,

所以|潴『=卜/+/+产1=1冏+叩+皆一2=2—2加+以3

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=_(4+4+9-0-2x2x3cos600+2x2x3cos60°)=—,

所以|BN卜唱，即助v的长为手

LILK1LH4LIUUtlULllLIUL1UUlllLILILIULtlUULI1111

(2)0^BDg4M=(AD-AB)g4M==2X3XCOS600-2X3XCOS60°=0,

所以BO_LAM，即3£>_LAM.又在正方体4?C£>中，BDJ.AC,

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且ACcA〃=A,AC,AMu平面M4c所以801平面MAC.

20.(1)证明见解析(2)巫

15

【分析】(1)若E是R4中点，连接易证8M0E为平行四边形，进而有8E//MN,利用线面平

行的判定证结论：

(2)转化为求直线BE与平面PBD所成角正弦值，利用等体积法求E到面尸8£＞的距离，即可求夹角正弦值.

【详解】(1)若E是R4中点，连接又M为P3中点，

所以EB//AO且EB=gAD,又ABCD为正方形,即4)〃8c且4)=BC,

而N为8c中点，取EMHBN豆EM=BN,即为平行四边形，

所以BE//MN,3Eu面MNa面PAB,则MN//面B4B.

(2)由(1)知：直线MN与平面PBD所成角，即为直线8E与平面P8Z)所成角，

若E到面PBD的距离为d,则A到面PBD的距离为2d,

由P4_L平面ABC。，AB,ADABCD,贝lj必_L43,%_L4),

由A8C£＞为正方形，则AB_L4。，又口=AB=2,

所以△尸处为边长为2近的等边三角形，BPSraD=^x2V2x2^xsin60°=2^,

由匕匕〜