2023-2024学年广东省深圳市高中高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年广东省深圳市高中高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.若全集U={-3,-2,l,2,4,5},A={l,2,5},3={-2,l,2},则集合{-3,4}=()

A.⅛(AnB)B.⅛(A∪B)C.(¾A)∩BD.AU(⅛B)

【正确答案】B

【分析】根据集合的基本运算即可求解.

【详解】由题意得AUB={-2,1,2,5},所以》(AUB)={-3,4}.

故选：B.

2.设复数Z满足z∙(l+2i)T-3+4i∣,贝丘的虚部为()

A.-2iB.2iC.-2D.2

【正确答案】D

【分析】根据复数的除法运算求得复数Z,继而得三，从而求得答案.

【详解】由z∙(l+2i)=卜3+4i∣可得Z=Wi型=工=笆二®=>2i,

l+2il+2i5

故z=l+2i,则Z的虚部为2,

故选：D

3.在「ABC中，点。在边48上，A£>=308.记CA=4,CO=8,则CB=()

41144114

A.—uA—bB.—ciH—bC.-Ci—bD.-UΛ—b

33333333

【正确答案】B

【分析】根据向量的共线定理表示即可求解.

【详解】因为点。在边AB上，AD=3DB,

所以Bo=JZM,即Co-CB=J(CA-C£>),

33

14

所以C8=-与+3.

33

故选:B.

4.图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”,

图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正

三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的

高为5,底面任意两顶点之间的距离为20,则其侧面积为()

A.l(X)πB.600π

C.200πD.300π

【正确答案】A

【分析】由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到

的，结合已知可得半径为20,由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果.

【详解】莱洛三角形由三段半径为20,圆心角为T的圆弧构成，所以该零件底面周长为

3××20=20π,故其侧面积为20πX5=100万.

故选：A.

5.若数列｛%｝是等比数列，且α=(q,α4),6=(附片)，a//b，则sin(2023ττ+%)=()

A.--B.—C.3D.一旦

2222

【正确答案】D

【分析】根据向量的平行可得^4-生能=0,结合等比数列通项公式求得4,利用三角函

数诱导公式即可求得答案.

【详解】由题意数列｛%｝是等比数列，且α=(01,%),6=(%5)，a∕∕b,

可得Iq-α√<l=0,即］α∣-αjV=O,所以“q，4=1,

i⅛sin(2023π+¾)=sin(π+α6)=-sina6=-sin^=-^->

故选：D.

6.已知等差数列｛4｝的前”项和为S“，若S7=S9,56=12,则SK)=()

A.12B.10C.8D.6

【正确答案】A

【分析】根据题意求出数列的首项和公差，即可求得答案.

【详解】由已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，57=59,

设数列公差为a可得出+%=2q+15"=O,

2

又£,=12,即6q+154=12,解得4=3/=-丁

故Sn)=Ioχ3+等x(-∣)=12,

故选：A

7.设小6是双曲线=Ig04>0)的左右焦点，若双曲线上存在点P满足

尸耳/6=-〃，则双曲线离心率的取值范围是()

A.[0,+8)B.[λ∕3,+∞)C.[2,+∞)D.[3,+∞)

【正确答案】A

【分析】由题意，设？耳=叽P舄=〃,/月?乙=夕，先由双曲线的定义m-"=2”,再利用余

弦定理cose=zwJ^”二4C,由题意PB∙PE=T?可得病+〃2=4。2_2〃，最后再用

2mn

m≥α+c,"≥c-a可得c、。的不等关系，可得离心率.

【详解】由题，取点尸为右支上的点，设/JE=∕M,P6=",N-P^=0,

根据双曲线的定义知：m-"=24,

在三角形耳尸尸中，由余弦定理可得：CoSo="+"IC-,

2mn

22222

又因为PFT∙PF2=—4可得nmcosθ=—a,即+n=4c-2a,

又因为加≥α+c,"≥c—ɑ,^Vλ(c+a)2+(c-a)2≤4c2-2a2=>c2≥2a2

即e2≥2,.∙.e≥√2∙

故选.A

8.已知定义域为R的函数/(x)满足/(3x+l)是奇函数，/(2x-l)是偶函数，则下列结论

错误的是()

A./(x)的图象关于直线户-1对称B./(x)的图象关于点(1,0)对称

C./(-3)=1D./(x)的一个周期为8

【正确答案】C

【分析】根据/(3x+l)是奇函数，可得/(x)+∕(-x+2)=0,判断B;根据/(2XT)是偶函

数，推出/(—X—2)="x),判断A;继而可得/(x+4)=—/(x),可判断D；利用赋值法求

得/⑴=O,根据对称性可判断C.

【详解】由题意知/(3x+l)是奇函数，即/(—3x+l)=—/(3x+l),，/(—x+l)=-∕(x+l),

即y(τ+2)=-∕(x),即/(x)+∕(-x+2)=0,

故∕∙(x)的图象关于点(1,0)对称，B结论正确；

又/(2x-l)是偶函数，l⅛∕(-2x-l)=∕(2x-l),.∙.∕(-x-l)=∕(x-l),

即〃-x-2)="x),故/(x)的图象关于直线尸一1对称，A结论正确；

由以上可知/(x)=/(r—2)=-∕(r+2),即/(x-2)=-"x+2),

所以F(X+4)=-"x),则/(x+8)=-"x+4)=F(X),

故/(x)的一个周期为8,D结论正确；

由于f(-3x+l)=-∕(3x+l),令X=0,可得/(I)=-/。),，/")=。，

而f(x)的图象关于直线尸-1对称，故/(-3)=0,C结论错误，

故选：C

方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义

去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.

二、多选题

9.下列命题中是真命题的是()

A.命题p：事件A与事件B互为对立事件；命题0事件A与事件8互斥.则P是q的充

分不必要条件

B.若事件A,B,C两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

C.有一组样本数据玉―，，毛这组数据的平均数为1设%=2x,+l3=1,2,3,,〃)，则

这组新样本数据力,必，…，y”的平均数为打

D.一组数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位数为5

【正确答案】AD

【分析】根据命题间的逻辑推理关系可判断A；举反例可判断B；根据数据的平均数的计算

公式可求得新数据的平均数，判断C;根据百分位数的含义求出数据的85%分位数，判断D.

【详解】对于A,由于对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，

故事件A与事件8互为对立事件，一定可以推出事件A与事件B互斥，反之不成立，

故P是q的充分不必要条件，A正确；

对于B,不妨举例比如从1,2,3,4中随机选出一个数字，事件A：取出的数字为1或2,

事件B：取出的数字为1或3,事件C：取出的数字为1或4,

则事件AB=AC=BC=ABC为取出数字1,所以P(A)=P(3)=P(C)=；,

P(A8)=P(AC)=P(8C)=P(ABC)=；,

满足P(AB)=P(A)P(B),P(Ae)=P(A)尸(C),P(BC)=P(B)P(C),

即事件A,8,C两两独立，但是推不出P(ABC)=P(A)P(B)P(C),B错误；

对于C,一组样本数据为,冷的平均数为X,即X]+w++xzj=nχ9

设y∙=2%+1(Z=1,2,3,,〃),

则这组新样本数据％,当，…,三的平均数为亍=2(』+%++果)+〃=如士=241,C错

nn

误；

对于D,将数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1从小到大排列为：1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,

因为85%xlO=8.5,故这组数的85%分位数为第9个数5,D正确，

故选：AD

10.已知曲线C:x?Sine+VcosO=I,Oe(O,τt)则()

A.若6=：,曲线C为圆心在原点，半径为血的圆

B.若5<0<π,曲线C为焦点在X轴上的双曲线

C.若C表示焦点在X轴上的椭圆，则彳<。<]

JT

D.若C表示两条直线，则。=5

【正确答案】BD

【分析】分类讨论确定方程表示的曲线后判断各选项。

X2y2_.

【详解】6w(0,g)时，cosM>0,sin9>0,方程为1+一~~,

2--------

sin。cos。

π[1

由已知当夕£(0,丁)时，cos^>sin∕9>0,-->->0,表示焦点在X轴的椭圆;

4sinacos"

e=1时，方程为/+y2=0,表示圆，半径为我;

4乙

TTTTI

；<，<?时，-->-4>o,表示焦点在y轴上的椭圆；

42CoS夕Sln夕

9=J1T时，方程化为χ=±ι,表示两条直线；

兀1]

-<^<π⅛,—->0,--<0,表示焦点在X轴的双曲线.

2sinucosθ

综上Ae错，BD正确.

故选：BD.

11.已知圆C：χ2+>2-6x+4y-3=0,直线/：mx+ny+3=0,则下列说法正确的是()

A.当〃=疯心0时，直线/的倾斜角为多

O

B.当加=〃=1时，直线/与圆C相交所得弦长为2√Σ

C.圆C与圆E：(x-6y+(y-2)2=l相外切

D.当相=1,W=-1时，过直线/上任意一点尸作圆C的两条切线以、PB,切点分别为A、

B,则弦AB长度的最小值为4&

【正确答案】ACD

【分析】将直线/的方程化为斜截式即可判断A；利用点到直线的距离公式和垂径定理即可

判断B；求出两圆的圆心距与半径比较即可判断C；求出弦AB所在的直线方程，利用垂径

定理即可判断D.

【详解】因为圆C：χ2+∕-6x+4y-3=0,化为标准方程.(χ-3)2+(y+2)Li6

对于A,当〃=6加力0时,直线/：如+〃"3=0可化为丫=一迫》_且，直线的斜率为一立,

3m3

所以直线/的倾斜角为T,故选项A正确；

O

对于B,当m=〃=1时，直线/的方程为：x+y+3=0,圆心到直线的距离

∣3-2+3∣

d==2√2<4,由垂径定理可得：弦长为2，厂2_42=2xJ16-8=4夜，故选项B错

√i+T

误;

对于C,圆C与圆E的圆心距d=+(2+2)2=5,因为5=4+1="+U,所以两圆相

外切，故选项C正确；

对于D,当机=1,W=T时，直线/的方程为：x-y+3=0,设直线/上任意一点P(r,r+3),

过圆外一点P(fJ+3)引圆C(X-3)2+()，+2)2=16的切线，

设切点坐标为A(%,y°),因为ACjLF4,所以切点A的轨迹是以PC的中点为圆心，以PC为

直径的圆上，因为AC=4,PC=√ɑ-3)2+(f+5)2=√2r+4r+34,

所以切点A的轨迹方程为：(x-t⅛+(Illy='”+。也即

222

Λ2+y2-(f+3)X-(f+l)y-6+f=0,

又因为圆C：x2+y2-6x+4γ-3=0,

两圆方程相减可得公共弦AB所在的直线方程，(f-3)x+(r+5)y-r+3=O,

∣3(r-3)-2(r+5)-r+3∣16

则圆心C到直线AB的距离〃

√(r-3)2+(z+5)2√2(r+l)2+32

由垂径定理可知：AB=24不，要使弦AB长度最小，则d最大，

当f=-l时，d取最大值"max=3"=2a,

此时弦长ΛB=2Λ∕/一屋=2x2夜=40，故选项D正确，

故选ACD

12.在正三棱柱ABC-ABC中，48=州=1,点P满足8尸=九3。+〃84,其中4e[0,l],

Z∕e[O,IJ,则下列结论正确的是()

A.当2=1时，的周长为定值

B.当M=I时，三棱锥P-ABC的体积为定值

C.当彳=；时，存在两点P,使得Af

D.当〃=T时，存在两点P,使得AB，平面ABr

【正确答案】BC

【分析】对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将尸点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值;

对于C,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数；

对于D,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数.

【详解】易知，点P在矩形BeC向内部(含边界).

对于A,当4=1时，BPBC+μBBλ=BC+//CC1,即此时Pe线段CG，P周长不是定

值，故A错误；

对于B,当〃=IfI寸，BP=λBC+BB=BBt+λBlCl,故此时P点轨迹为线段4G,而qC∣∕∕BC,

片£〃平面ABC,则有尸到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

对于C,当∕l=∣时，BP=1BC+4BB∣,取BC,Bc中点分别为Q,，，则BP=BQ+//QH,

所以尸点轨迹为线段QH,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A∖-,°,ι，

V2)

P(0,0,μ),则AP=-冬0,"-l,BP=(0,_；,〃)，AyP-BP=μ(μ-l)=0,

所以〃=0或M=I.故H,Q均满足，故C正确；

对于D,当〃=；时，BP=λBC+^BBl,取BB-CG中点为ΛY,N.BP=BMfMN,所

以P点轨迹为线段MN.设尸(0,为,，，因为4（乎,0,0,所以AP√31]

，

7

AtB=,所以1+；%一；=0=%=一^,此时P与N重合，故D错误.

故选：BC

C1

三、填空题

13.在等差数列｛%｝中，若々=5,&=33,则Ss=.

【正确答案】60

【分析】由已知结合等差数列的性质先求出“，4,然后结合等差数列的求和公式即可求解.

【详解】因为等差数列｛α,,｝中，%=5,%=33,

所以d=%-。=7,4=-2,则Ss=54∣+^d=TO+10x7=60.

6-22

故60.

14.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为“，h,c,若α=4,⅛=4√3,B=120°,则

△ABC的面积为.

【正确答案】4√3

【分析】根据余弦定理和三角形面积公式即可求得面积.

【详解】由已知及余弦定理可得b2=a2+c2-2αccosBn48=16+c2+4c,

故c?+4c-32=0,解得c=4或c=-8(舍)

所以S=LCSinB=-^-×4×4×--4∖∣3

222

故4g

15.已知函数/(x)=x+3,g(x)=2'+α-1,若对于任意演e(j,l,存在&«2,3],使得

f(xi)<g(x2),则实数α的取值范围是.

3

【正确答案】t∕≥j

【分析】根据题意先求出函数/(x)与g(x)的值域，然后将不等式等价转化为17;≤7+α,求

解即可.

14117

【详解】因为玉又函数∕ɑ)=x∣+—在上单调递减，所以f(X)e[5,q),

又因为函数g(x)=2'+α-1在R上单调递增，

所以当x2∈[2,3]时，⅛(x,)∈[3+tz,7+α],

因为对于任意再，存在电«2,3],使得/(χ)<g(w),

17

又f(F)<5，g(X2)47+a,

所以=17≤7+α,解得：.≥3=,

22

-3

故答案为.”≥5

四、双空题

16•点P是圆8：(X-Iy+y2=4∕(r>0)上任意一点，A(-l,0),线段AP的中垂线交直线总

于点例，当厂>1时，点M的轨迹方程为；当0<厂<1时，点M的轨迹方程为

2222

【正确答案】—H---7---=1,(r>1)；-----7=l,(0<r<l).

rr-]r1-r*

【分析】第一空，作图分析，结合题意可得∣M4∣+∣M8∣=2r,根据椭圆的定义即可求得答

案；第二空，由题意可推出IlM41-∣M5∣∣=2r,根据双曲线定义，即可求得答案.

【详解】当r>l时，圆B：(x-l『+y2=4，(r>0)半径为2r>2,点A在圆内，如图，

此时∣M4RMP∣,所以IMAl+∣MBl=IM尸I+∣MBl=IP8∣=2r,

而2r>∣ABI=2,故点M的轨迹是以48为焦点的椭圆，

22

设椭圆方程为=+\=1,（。>匕>0）,贝IJa=r,c=l,，82=/-1,

a-h-

22

故点例的轨迹方程为=+Y-=l,（r>1）:

rr-1

当O<r<l时，圆B：（工一1『+丫2=4产（「>0）半径为0<2厂<2,点4在圆外，如图,

线段AP的中垂线交PB延长线于点M,

此时∣K4IHMP,所以IlMAI-IMBll=IlMPl-IMBII=IP51=2r,

而2r<∣A例=2,故点M的轨迹是以AB为焦点的双曲线，

22

设双曲线方程为1一[=1,(4>0,力>0),则α=r,c=1,.二〃=1-r2,

ab

丫22

故点M的轨迹方程为T+上^=l,(0<r<l),

r∖-r

2222

⅛⅛—H—τ—=l,(r>1)；—H—i~7=L(O<r<l)

r'r-1r[-r^

五、解答题

17.已知数列｛%｝的前"项和为S“，满足4SΛ,+3=3%.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵记bn=nan,求数歹Ij也,｝的前〃项和T1,.

【正确答案】⑴q=（-3）"

⑵北=一暗（一3广3

ɪo16

【分析】（1）由S,,于氏的关系，结合等比数列的通项公式求解即可;

(2)利用错位相减法求解即可

【详解】(I)4S,,+3=3q,①，

当时，45,,.I+3=3αn.,(2),

①一②得44,,=3all-3aπ.l,即““=-30,,.l,

又”=1时，q=-3,

/.｛为｝为首项-3,公比-3的等比数列,

故4,=-3x(-3)"',

二a∏=(-3)”

(2)bπ=n(-3)"

Tn=-3+2×(-3)2+3×(-3)3++〃X(-3)"③

-37；,=(-3)2+2×(-3)3+3×(-3)4++M×(-3)"+'Φ

③—④得4(=(-3)+(-3)~+(-3)3++(-3),；-tt(-3),,+l

.苦誓一〃5

18.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为4,b,c,已知AinA=acos(8-e

⑴求B；

(2)若c=2«,AABC的面积为2叵，求aABC的周长.

3

【正确答案】(I)B=I

⑵26+2

【分析】(1)根据正弦定理的边化角和三角恒等变换求解;

(2)利用面积公式和余弦定理求解.

【详解】(1)由〃SinA=αcos[3-仁)可得sinBsinA=sinAcOS(B-EπJ,

6

因为A∈(O,π),sinA>0,所以SinB=cos-

所以sin8=^cosB+；Sin8,即SinB=6cosB,

所以tanB=5因为3∈(0,π),所以Bg

(2)因为Szvl5c=gαcsin8=cJsin8==,解得〃=,

所以c=2。=生叵，

3

22

由余弦定理。2=a+c-2accosB=4,所以6=2,

所以△川C的周长为α+c+b=2√5+2.

19.已知椭圆C∙→∕=l(a>b>0)的离心率为孝，且椭圆长轴长为2立.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点P(0,2)的直线/(不过原点O)与C交于4B,两点，求.面积的最大值.

【正确答案】(1)J+V=1

Q)&

2

【分析】(1)根据题意可得出α=√∑,c=l,再利用α,“c的关系求出6=1,进而求解；

(2)由题意可知直线/的斜率存在，设直线/：〉=履+2,A(xl,yl),B(x1,y1),联立直线/与

椭圆的方程，结合韦达定理可得为+%，为々，由弦长公式可得IAB|,点到直线的距离公式

可得点。到直线/的距离d,再计算,AOB的面积，利用基本不等式，即可得出答案.

【详解】(1)因为椭圆的离心率为乎，且椭圆长轴长为2夜，所以α=0,c=l,则

b=√7=/=1，所以椭圆C的标准方程为.1+丁=1

(2)由题意可知直线/的斜率存在，设直线/：'=履+2,Λ(xl,>-l),B(XQ2),

y=fcr+2

联立,得(2公+1)/+8依+6=0,

—+V=1

2,

Δ=64&2-24(2%)+1)=8(2⅛2-3)>0,

所以即k*

βK⅛<--.

2

8k6

则x∣

+x2=-2k2+l'x'x2~2k2+l

6-2√⅛2+l∙√4)l2-6

故∣AB∣=后公也一切=λ∕FW∙J(-洸丁2-4X

2fc2+l2k2+∖

点。到直线/的距离”=耳餐，所以AoB的面积S=JABIM=2??：；6

2

⅛Z=√4⅛-6>0>贝IJF=W,

c_2t_44_72

故-2(,+6)JJ/+.2瓜-2>当且仅当f=2&时，等号成立，

4t1

所以/OB面积的最大值为变.

2

20.在四棱锥P-ASC。中，AD=2AB=2BC=4,AD//BC,NBAD=I20°,ABlPC.

(1)求证：PA=PB;

⑵若平面PA8J_平面ABCr),二面角B-PC-H的余弦值为(，求直线DP与平面PBC所成

角的正弦值.

【正确答案】(1)证明见解析.

噂

【分析】(1)取AB的中点。，连接OP,OC,证明A32平面PoC,继而证明A3LPO,

从而证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用二面角B-PC-A的余弦值为结合

空间向量角的求法求得0P=6,继而求得平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即

可求得答案.

【详解】（1）证明：如图所示，取AB的中点。，连接OP,OC.

依题意可知，AB=BC,AD//BC,ZfiAZ)=120°,

故NABC=60。，,48C为正三角形，

ABLOC,又ABJ_PC,OCcPC=C,PCU平面尸。C,OCU平面POC

.∙.ΛB2平面POC,又PoU平面POC,

.∖AB±PO,.-.PA=PB.

(2)依题意平面平面ABC£>,由(1)可知POJ,Aβ,平面AWc平面

ABCQ=ΛB,POu平面以8,

则PoI平面ABCD,故以OB，OC-OP为x，V,Z轴的正方向建立如图所示的空间直

角坐标系.

设OP=>U>0,则研1,0,0),A(TO,0),c(θ,Λθ),P(0,0,λ),D(-3,2√3,0),

.-.BC=(-l,√3,θ),BP=(TQ2),AC=(I,G,θ),AP=(1,0,4),

设平面3PC的一个法向量m=x,y,z,由，可得：)八，

BPm=OI-X+2Z=O

令y=下>,则x=3,z=1,‘(3,后号，

AC•〃=Oa+ʌ/ɜ/?=O

设平面PAC的一个法向量〃=g,b,c,由，可得<：,

APn=Q[q+∕lc=O

33,一百V

令b=—ʌ/ɜ,则。=3,c=,则〃二

可得平面PAC的法向量〃=

依题意可得卜。$(加，")卜1Lr-

勺，解得∕i=√5,即。P=6∙

即平面PBC的法向量m=(3,0,6),PD=(-3,2^,-√3),

设直线DP与平面PBC所成角为巴

则(9的正弦值sinθ=IcosDP,砌=।若,媳=ɪ.

1'zι∖DP∖-∖m∖√15√2410

21.已知P(l,2)在抛物线C：y2=2px1..

(1)求抛物线C的方程；

(2)A,B是抛物线C上的两个动点，如果直线物的斜率与直线PB的斜率之和为2,证明:

直线AB过定点.

【正确答案】⑴y2=4x

(2)证明见解析

【分析】(1)把已知点坐标代入抛物线方程求得参数。，即得抛物线方程；

⑵设48：x^my+t,设A(X/,yl),B(x2,”)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定

理得乂+%，乂%，代入即A+即8得参数：值，从而可得定点坐标.

【详解】(1)P点坐标代入抛物线方程得4=2p,

.∙.抛物线方程为y2=4x.

(2)证明：设A8：x—my+t,将AB的方程与y2=4x联立得9-4/ny-4f=0,

设A(x∕,yi),B(X2，/2)，

贝!]y∣+y2-4m,//”=-4f,

所以Δ>0=≠>16m2+16z>0=>w2+f>O,

,

z>∣-2yl-24

kp,