2024年上海市数学高考名校模拟题分类汇编-简单几何体含详解

备战2024高考优秀模拟题分类汇编（上海专版）一一简单几何体

一、填空题

1.（2324上.杨浦•阶段练习）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为.

2.（23-24上.浦东新•期中）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则圆锥的表面积为.

3.（23.24上•浦东新•阶段练习）已知圆锥的底面半径为3,沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为g的扇形，

则该圆锥的高为.

4.（23・24上・宝山•阶段练习）如图，ABC,ZAC3=90。，ZABC=30°,BC=6,在三角形挖去一个半圆（圆心

。在边2C上，半圆与AC、4B分别相切于点C,M,与BC交于点N）.则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋

转体的体积为.

A

CoNB

5.（2223上•普陀・期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆.如图，

在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全

展开后伞口的直径约为米（精确到整数）

6.（2324上.浦东新.开学考试）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为攒尖，清代称攒尖，依其平

面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑.如图所示，某园林建筑

为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为。，则侧棱

与底面外接圆的半径的比为.

7.（2223上•徐汇•开学考试）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为编和九

体积分别为》和吃.若Z=2,则连=.

8.（22・23・黄浦・二模）如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为10cm的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆

柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为cm2.

9.（2223•闵行•二模）在Rt^ABC中，48=90°,AB=2,CB=3,将ABC绕边A8旋转一周，所得到几何体的

体积为.

4

10.（23-24上・虹口•期中）若圆锥的底面面积为20兀，且母线与底面所成角为arccos］，则该圆锥的侧面积为.

11.（2324上•浦东新•开学考试）陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1）,

它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2）,已知该多面体的各条棱长均为1,且

各个顶点在同一球面上.则此球的半径厂=.

图1图2

12.（2223上•普陀•模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABC。中，PD_L平面ABCD,ABDC,ADJ.AB,DC=2,

AD=AB=1,直线R4与平面ABCD成45。角.设四面体P3CD外接球的圆心为。，则球的体积为.

13.（2223上•长宁•一模）已知AA是圆柱的一条母线，是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A,B

的两点，若圆柱的侧面积为4兀，则三棱锥A—ABC外接球体积的最小值为

14.（2223下•黄浦•阶段练习）如图，在棱长为2的正方体A5CD-AgGR中，点尸在截面上（含边界），则

线段AP的最小值等于.

15.（2223•普陀•模拟预测）已知过AB,C三点的球。的小圆为其面积为4兀，S.AB=BC=AC=OOl,则球。

的表面积为.

16.（2223•黄浦・三模）已知正方形ABC。的边长是1,将ABC沿对角线AC折到VAB,C的位置，使（折叠后）A、

B\C、。四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为.

17.（2223下•松江•阶段练习）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺・鲁比克教授于1974

年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受

欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45。，则该魔方的

表面积是.

铀

18.（2223滁汇•三模）在,ABC中，AC=2。顶点B在以AC为直径的圆上.点尸在平面ABC上的射影为AC的

中点，Pk=2,则三棱锥尸-ABC外接球的半径为.

二、单选题

19.（2223・嘉定•二模）已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为鸟，与该正方体每条棱

都相切的球半径为"，过该正方体所有顶点的球半径为&，则下列关系正确的是（）

A.4：耳：6=0：6：2B.片+凡=居

C.R：+R；=R；D.R：+R：=R；

20.（2223上•静安•一模）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结了先秦时

期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题:

“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，

它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的

表面积为（）平方尺.

3

阳马

/ID\\

C

A.142万B.140/1C.138万D.128万

21.（2223上•金山•一模）已知正四面体ABCD的棱长为6,设集合。=｛尸||4可424，点尸€平面3。｝,则。表

示的区域的面积为（）

A.万B.3万C.47rD.67r

22.（2223下•上海•阶段练习）《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF,其中AB//DC//EF,“羡

除”形似“楔体”.“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长。、匕、。，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离加、

“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离〃（如图）.羡除的体积公式为正过线段AD,BC的

6

中点G,H及直线作该羡除的一个截面。，已知a刚好将羡除分成体积比为5:4的两部分.若AB=4、QC=2,

则政的长为（）

23.（2223•杨浦•二模）如图，一个由四根细铁杆上4、PB、PC、组成的支架（B4、PB、PC、"按照逆时

7T

针排布），若ZAPB=/BPC=NCPD=NDPA=^,一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，贝IJ球

Ll3

A.GB.y/2C.2D.—

三、解答题

24.（2324上•浦东新•开学考试）己知正方体ABC。-44GR中，棱长为2,点E是棱AD的中点.

⑴联结CE,求三棱锥。的体积V；

⑵求直线C2和平面QE8所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）.

25.（23・24上•虹口•开学考试）如图，棱长为2的正方体ABCD-A4GR中，M、N、尸分别是G2、G。、4A

的中点.

（1）求异面直线P"与MN所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（2）求三棱锥P—MNB的体积.

26.（2223・普陀•二模）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AC=4,BC=3,AB=5.

(1)求证：AC±BC1；

(2)设AG与底面ABC所成角的大小为60。，求三棱锥C-ABG的体积.

27.(2223下•浦东新•阶段练习)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖腌”.现有“鳖席”

P-ABC,其中以，平面ABC,AB1BC,过A分别作ACM,尸C,分别为垂足.

(1)求证：四面体P-ADE也是“鳖席”；

⑵记"鳖赚'尸-ADE,四棱为A-3CEE>,“鳖ST'P-A5c的外接球的表面积分别为5圈,与，试比较A+S?与S3的

大小，并说明理由.

备战2024高考优秀模拟题分类汇编（上海专版）一一简单几何体

一、填空题

1.（2324上.杨浦•阶段练习）已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为.

【答案】27t

【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案.

【详解】由题意得，圆锥的底面半径为r=l,母线长为/=2,

故圆锥的侧面积为兀〃=7rxlx2=27t.

故答案为：2兀

2.（2324上•浦东新•期中）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则圆锥的表面积为.

【答案】4无

【分析】利用圆锥的表面积公式可求答案.

【详解】圆锥的侧面积为S|=兀〃=3兀，底面积为S?=兀/=兀，

所以表面积为3兀+兀=4兀.

故答案为：4兀

3.（23.24上•浦东新•阶段练习）已知圆锥的底面半径为3,沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为茎的扇形，

则该圆锥的高为.

【答案】6叵

【分析】设圆锥的母线为/,高为3根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长求出/,再由勾股定理计算可得.

【详解】设圆锥的母线为/,高为心底面半径厂=3,扇形的半径为/.

由己知可得A8的长为2兀r=6兀，

又=由6兀=宁/可得/=9,

所以圆锥的高八〃一八=的2-32=60.

故答案为：6a.

4.（2324上•宝山•阶段练习）如图，ABC,ZACB=90°,NABC=30。，BC=6,在三角形挖去一个半圆（圆心

。在边8c上，半圆与AC、A8分别相切于点C,M,与8C交于点N）.则图中阴影部分绕直线8c旋转一周所得旋

转体的体积为

・401407r

【答案】一》/——

33

【分析】根据圆锥和球体的体积公式求解.

【详解】

如图，由题可知，。〃，浏7,设半圆的半径为",

因为//45。=30。,所以5抽30Q^L

=—,所以O3=2r,

OBOB

又因为OC=r,所以8c=3r,所以厂=2,

所得几何体是一个圆锥减去一个球,

圆锥是以底面半径为AC=3Ctan30=273,高为3c=6,

所以所求体积为$（2扃x6-g兀x23=三兀.

...40

故答案为：—1^■

5.（2223上•普陀•期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆.如图，

在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全

展开后伞口的直径约为米（精确到整数）

【答案】28

【分析】根据球体的表面积公式，结合题意，直接求解即可.

【详解】设主降落伞展开后所在球体的半径为R,由题可得2万店=1200,解得R《14,

故完全展开后伞口的直径约为28米.

故答案为：28.

6.（2324上.浦东新•开学考试）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为攒尖，清代称攒尖，依其平

面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑.如图所示，某园林建筑

为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为a,则侧棱

与底面外接圆的半径的比为.

【分析】利用正六边形边长与其外接圆半径相等，再根据题设条件即可得出结果.

【详解】因为正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为小则底面正边形的边长为

r

又因为正正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为。，所以侧棱长为3_r,

cosa2cosa

所以侧棱与底面外接圆半径的比为2cosa=1

r2cosa

7.（2223上•徐汇・开学考试）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和先

体积分别为%和吃.若Z=2,则连=________.

3乙V乙

【答案】Vw

s

【分析】由题意知甲，乙两个圆锥的侧而展开图刚好拼成个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3,结合#m=2,即

可求出4=2,2=1,再利用勾股定理可得力=若,4=20,由此即可求出答案.

【详解】由题意知甲，乙两个圆锥的侧而展开图刚好拼成个圆,

设圆的半径（即圆锥母线）为3,

甲、乙两个圆锥的底面半径分别为小马，高分别为%,色,

S甲21

由丁二2,则2M=2TCX3x—=47I,2TI^=2TIX3X—=2TC,

解得4=2,0=1,

由勾股定理得也=2拒,

V1跖%

所以9=^一=7io,

乙]叫也;

故答案为：Vio.

8.（22・23•黄浦•二模）如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为10cm的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆

柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为cm2.

【分析】直接利用圆锥、圆柱的侧面积公式即可求出学具的侧面积，再加上圆柱的一个底面积即可求出学具的表面

积.

【详解】因为圆柱的底面半径与高都为10cm,所以挖去的圆锥的母线长为/=疝而=100，半径为10，

则圆锥的侧面积为S]=gx2a/=7txlOxloJ^=lOO0兀,

又圆柱的侧面积为$2=271x10x10=200兀,圆柱的一个底面积为乞=IOOTI,

所以学具的表面积为SuSi+Sz+M=100应兀+20071+10071=（300+1000）兀.

故答案为：（300+10072）71

9.（2223•闵行•二模）在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=2,CB=3,将ABC绕边AB旋转一周，所得到几何体的

体积为.

【答案】67r

【分析】ABC绕直线AB旋转一周，所得几何体是底面是以8C为半径的圆，高为AB的圆锥，由此根据圆锥的

体积公式能求出其体积.

【详解】因为在直角三角形，ABC中，ZA=90°,AB=2,CB=3,

所以ABC绕直线A8旋转一周所得几何体是底面是以BC为半径的圆，高为的圆锥，示意图如下图所示:

所以一ABC绕直线AB旋转一周所得几何体的体积为V=1x?txBC2xAB=|XTTX32X2=6TI.

故答案为:6兀.

4

10.（23-24上・虹口•期中）若圆锥的底面面积为20兀，且母线与底面所成角为arccosy,则该圆锥的侧面积为.

【答案】25兀

【分析】根据题意可求出圆锥的底面半径与母线的长，然后代入到圆锥的侧面积公式5=兀〃即可求解.

【详解】设圆锥的底面半径为小母线为/,所以兀产=2而，即r=26，

因为母线与底面所成角为arccos^,所以f即：拽,，

5I5I5

所以/=掖，所以圆锥的侧面积为：S=7i〃=兀仓也逐地=25几

22

故答案为：25兀

11.（2324上.浦东新•开学考试）陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1）,

它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2）,已知该多面体的各条棱长均为1,且

各个顶点在同一球面上.则此球的半径/=.

【分析】该多面体可以视为正方体截取部分几何体而成，求出正方体的棱长，结合其对称性确定该多面体的外接球

球心，再利用球的截面性质求解作答.

【详解】该多面体可以看做由一个棱长为应+1的正方体截去8个如①的三棱柱，8个如②的四棱锥和12个如③的

三棱柱构成，如图，

由对称性知，该多面体外接球球心为正方体中心。,它的一个正方形面ABCD在正方体的上底面内，如图,

fABC（\

~\7

多面体外接球球心0到截面ABCD的距离00.=叵丑,正方形ABCD外接圆半径OQ=等,

12

所以多面体外接球半径一“0；+0/=J（3」2+（¥）2=75+272

2

故答案为：,5+20

2

12.（22.23上•普陀・模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中,PD_L平面ABC。，ABDC,ADJ,AB,DC=2,

直线PA与平面ABCD成45。角.设四面体PBCD外接球的圆心为0,则球的体积为.

p

AB

【答案】*/中

【分析】先证明出△PCD和APBC均为直角三角形，得到。点位置,可求得外接球的半径，可求其体积.

【详解】在底面ABC。上，AB//DC,AD±AB,DC=2,AD=AB=1,

所以NAO2=NA8O=45。，所以BD=F1=也,

在△BCD上，BD=y/2,DC=2,ZCDB=45°,

由余弦定理可得：

BC=yjCD2+BD2-2CD-BDcos45°=叵，

所以CD?=3£>2+"2,所以NCBO=90。.

所以BDLCB.

又因为PO_L平面ABC。，所以PO_LBC.

又PDCBD=D,PDu面pg。，BDu面PBD

所以BC_L面尸2。，所以BC_LP3.

则△PC。和△PBC均为直角三角形，当。点为PC中点时，OP=OD=OB=OC,

此时。为四面体PBCD的外接球的球心.

二•直线E4与平面ABC。成45。角.PZ）_L平面ABC。,

则NE4£>=45°,：.PD=AD^1,

又PC=dCD、PD2=区,

...四面体PBCD外接球的半径为正,，

2

所以四面体PBCD外接球的体积为V=|兀（乎了=乎兀.

故答案为：§亚兀•

6

13.（22・23上•长宁•一模）己知AA是圆柱的一条母线，A8是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A,B

的两点，若圆柱的侧面积为4兀，则三棱锥A—ABC外接球体积的最小值为

【答案】述兀

3

【分析】首先根据题意建立「、川的关系式，再结合基本不等式即可求解最小值.

【详解】根据题意作图如下：

设底面圆半径为厂，圆柱高设为力,则根据圆柱的侧面积为4兀，可得2兀所=4兀，解得所=2.因为ABC以及△AAB

均为直角三角形，根据三棱锥A—ABC外接球的性质可知，AB的中点。即为球心.则+|AB『="+4/=同5「,

贝1"4川=〃2+4产,所以外接球的半径R=也产.三棱锥A—ABC外接球体积为，兀料詈,所以要外接

球体积最小，只需要『+4/最小即可，又不等式可知外+4/烟h?2r4rh=8,当且仅当。=2升时，即r=l,h=2

时成立.故三棱锥A—ABC外接球体积的最小值为鬟8忘

二---71

3

故答案为：”

14.（2223下•黄浦•阶段练习）如图，在棱长为2的正方体A5CD-AgGR中，点尸在截面上（含边界），则

线段AP的最小值等于.

【答案】空当仆

33

【分析】由已知可证得AQ，平面4DB,可得P为AC】与截面的垂足时，线段"最小，然后利用等积法求解.

【详解】如图,

连接AC1交截面于尸，由CC1J■底面ABCD,3Du底面ABCD,

可得

又在正方形ABCD中，AC±BD,ACCCX=C,

则8£>1平面AC£,AGu平面AC。，

则BD1AQ,

同理可得A]B_LAG，BDAtB=B,

则AG，平面此时线段AP最小,

由棱长为2,可得等边三角形的边长为20,

S.邛x（2可=2百,

•y^-ADfi=匕一4。8，

.•,1X1X2X2X2=-X2^XAP,解得”=空，

3233

故答案为：巫.

3

15.（2223•普陀•模拟预测）已知过AB,C三点的球。的小圆为其面积为4兀，^,AB=BC=AC=OOt,则球。

的表面积为.

【答案】64TI

【分析】小圆为｛Q的面积为4兀求出其半径A。-由正弦定理可得BC,由面ABC利用勾股定理可得球半径

A0,可得球。的表面积.

【详解】因为AB=BC=AC,所以一ABC为等边三角形，

如下图，因为小圆为《。1的面积为4兀，其半径为A0-所以TIAO：=4兀,

可得A。=2,由正弦定理可得BC=2A0]sin60=273,

即3C=00]=2相，由A。？=AO；+o。；可得=4+12=16,

则球。的表面积为TIAO2=16%.

故答案为：16兀.

16.（2223・黄浦・三模）已知正方形ABC。的边长是1,将ABC沿对角线AC折到VAB,C的位置，使（折叠后）A、

B\C、。四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为.

【答案】也+1

2

7T

【分析】首先确定三棱锥AC。体积最大时，二面角？_AC-D为再根据边长求三棱锥的表面积.

【详解】在翻折过程中，三棱锥ACD的底面始终是一ACD,故当二面角夕-AC-O为g时，三棱锥？-ACD的

2

体积最大，

如图，取AC的中点。，连结OD,。？，由题意可知，Q?，AC,OD1AC,

则N8'OD=90,S.OB'=OD=—,所以3'。=1,

2

所以VAS'。和△B'CD是边长为1的等边三角形，S谢=SB，CO=L1X1X3=走，

/usLtDctz224

VAB'C和ACD是等腰直角三角形，5^=5ACD=1xlxl=1

所以三棱锥的表面积为2x走+2乂!=正+1.

422

故答案为：当1

17.（22-23下•松江•阶段练习）魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺・鲁比克教授于1974

年发明的机械益智玩具.魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受

欢迎的智力游戏之一，一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45。，则该魔方的

表面积是.

由

【答案】162-720

【分析】利用俯视图分析多出来的表面积部分，结合对称性可解.

【详解】如图，转动了45后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，俯视图如图,

由图形的对称性可知，△HCD为等腰直角三角形，

设直角边为AC=x,则斜边为CD=缶，

故A2=（2+后）x=3,可得A3-半.

由几何关系得：S〃c»=；x3-上，）,

故所求面积5'=6、3X3+16义营一卡［=162一72忘.

故答案为：162-720

A'

AB

18.（2223彳余汇•三模）在一ABC中，AC=26，顶点8在以AC为直径的圆上.点P在平面ABC上的射影为AC的

中点，PA=2,则三棱锥P-ABC外接球的半径为.

【答案】2

【分析】根据三棱锥的外接球几何关系和勾股定理即可求.

【详解】

设球的半径为R,

所以R2=g2=O"+MC2=（7?-1）2+（V3）2,

解得R=2,

所以外接球的半径为2.

故答案为：2.

二、单选题

19.（2223・嘉定•二模）已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为R-与该正方体每条棱

都相切的球半径为此，过该正方体所有顶点的球半径为&，则下列关系正确的是（）

A.KRK=0：6：2B.《+&=居

C.R；+R；=R；D.R；+R：=R；

【答案】C

【分析】由题意知Ri是正方体内切球的半径，凡是正方体棱切球的半径，&是正方体外接球的半径，从而求出与,

R2,R3,然后逐项判断即可.

【详解】由题意得2鸟=1,26=应,2鸟=百，所以与,Ra=与,

所以K：E：K=1：0：石，故选项A错误；

^+7?,=-+—=/?3,故选项B错误；

1123

113

年+&=+==后，故选项C正确；

424

用+后="+孝二店，故选项D错误；

故选：C.

20.（2223上•静安•一模）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结了先秦时

期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题:

“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，

它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的

A.142万B.140万C.1387D.128万

【答案】C

【分析】将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求外接球表面积即可.

如图所示，这个四棱锥的夕卜接球和长方体的夕卜接球相同，所以夕卜接球的半径为公五产二与，外接球的

表面积5=4%氏2=138%.

故选：C.

21.（2223上•金山•一模）已知正四面体ABCD的棱长为6,设集合。={尸|网＜24，点尸e平面BCD},则。表

示的区域的面积为（）

A.乃B.37rC.4%D.67r

【答案】c

【分析】过点A作49,平面BCD于点。，利用正四面体的特点求出BO,AO的长，从而得到0PW2,即得到其表

示圆及其内部，则得到其表示的区域面积.

【详解】过点A作49,平面BCD于点。，

AO=y]AB2-BO2=J62-（2A/3）2=2屈

因为I2a,则OP=ylAP2-AO2<J（2V7）2-（2A/6）2=2,

则。表示的区域为以。为圆心，2为半径的圆及其内部，

面积为4万，

故选：C.

22.（2223下•上海•阶段练习）《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF,其中〃跖，“羡

除”形似“楔体”.“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长。、6、。，“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离加、

“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离”（如图）.羡除的体积公式为V=@丝。丝，过线段AD,8C的

6

中点G,H及直线E尸作该羡除的一个截面a,已知a刚好将羡除分成体积比为5:4的两部分.若钻=4、。。=2,

则政的长为（）

【答案】B

【分析】根据梯形中位线求出法,再根据所给“羡除”的体积公式表示出bcDEF，匕BHGE万，根据体积比得到方程,

解得即可.

【详解】因为AB=4、DC=2、AB//DC//EF,G,H为线段AD,BC的中点,

所以GHUABUCDS.GH=^（AB+CD）=3,

（EF+DC+GH）mx^（EF+AB+GH）mx3

VABHGEF=7

（£F+7）mx|

即_（£F+5）mx-

VGHCDEF~7VABHGEF=7

（EF+7）mx^

HGEF55

因为即6解得历=3.

CDEF4（EF+5）mx^4

6

23.（2223杨浦•二模）如图，一个由四根细铁杆P4、PB、PC、组成的支架（PA、PB、PC、尸。按照逆时

TT

针排布），ZAPB=ZBPC=ZCPD=ZDPA=-,一个半径为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，贝IJ球

D.2

2

【答案】B

【分析】将支架看作一个正四棱锥，根据已知及相切关系得到三角形相似，利用相似比求球心。到点P的距离.

A

，D

【详解】

如上图正四棱锥P-ABCD,H为底面中心，。为球心，E为球体与的切点,

71

又ZAPB=NBPC=ZCPD=ZDPA=§，故P-ABCD各侧面均为等边三角形,

若侧面三角形边长为。，则a。=变4,PD=a,OE=l,

2

显然RtAPHD~RtaPEO,故型=①=也，则0尸=拒.

PDOP2

故选：B.

三、解答题

24.（2324上•浦东新•开学考试）已知正方体ABC。-A,4GR中，棱长为2,点E是棱AO的中点.

（1）联结值，求三棱锥D-E3C的体积V；

（2）求直线C2和平面小即所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）.

4

【答案】（1）］

（2）arcsin

【分析】（1）根据题设可直接求出三棱锥的底面积和高，再利用三棱锥的体积公式即可求出结果;

（2）先作出直线CA和平面QEB所成的角再利用等体积法求出CF,即可求出结果.

【详解】（1）正方体ABC。-4qGA中，棱长为2,点E是棱AD的中点，

易知，SEBC=?2X2=2,R到底面EBC的距离为=2,

114

所以，三棱锥R—E8C的体积丫=§5用1。，=耳、2*2=子

(2)如图，过点C作Cb，平面E8R于尸，连接。尸，

则NCDF为直线CD,和平面DtEB所成的角，设CF=a,

在、EB2中，EB=ED[=BBDX=2A/3,所以边台2的高为后与=应,

故SEBD,=J'273xV2=76

由VC—EBDI=V、—EBC，得到;SEBp.CF=g,即;x&.q=g,解得a=半，

?[72娓

在RtCP2,FcT，D、C=2也,所以sin/。尸一口_工_3，

31*2723

又/C〃Fe(O,]),所以NC£)F=arcsin^^,

故直线CD,和平面D{EB所成角的大小为arcsin—.

3

25.(23-24上.虹口•开学考试)如图，棱长为2的正方体ABCD-A4GR中，M、N、P分别是G2、G。、4A

的中点.

(1)求异面直线P"与MN所成角的大小；(结果用反三角函数值表示)

(2)求三棱锥P—MNB的体积.

【答案】(l)arccos^^-

10

⑵;

【分析】(1)MN//CD.,所以/尸〃。即等于异面直线尸，与MN所成角，在VP。。中，求出各边长，用余弦定理即

可求出;

V

(2)根据已知可得，四边形初\巴3为梯形，Sv〃NB=gSv以B，则L-MNB=；/一2，根据等体积法可知吟-MAB=M-PAlB

求出匕，即可解出.

4

【详解】(1)

P

A

如图，连接DC、DP、RP、CP.

因为CD_L平面，DPu平面AORA，

所以CD_LDP

因为，尸是AA的中点，所以PA=R4,=1.

又所以尸+4斤=上.同理DP=—.

在Rt尸DC中，PC=^DP~+CD1=3.

又DjC=JDD；+DC。=20,

在VPCR中，有尸。=3,RC=2立,PD、=亚,

PD；+D©-PC?5+8-9V10

由余弦定理可得,cosNPD[C=

2PDtD}C2又非义2也一10

又M、N分别是G2、GC的中点,

则MN//CD,,所以异面直线PDX与肋v所成角的大小即等于直线PD,与CD,所成角的大小，即ZPDtC=arccos少.

(2)连接由已知可得，\DJIBC,且AD=BC,

所以四边形4B3为平行四边形，贝I]AB〃C，.

又MNIICD、,且MN=；CQ,

所以MN//A8,且MN=；AB，M、N、4、2四点共面,

如图，连接MP,MB,PN,M4,NB,

所以四边形脑也8为梯形，设梯形高为力,

则SvMNB=]XMN.h,5VM41B=aX•〃，

所以SVMNB=（XMN•h=gx；45-h=.

设P到平面MNB即到平面MNAB的距离为d,

则Vp-MNB=§XS^MNB,d，L_MA[8=§XSyMA]B,"，

f且匕1朋与-PA5.

则Vp_MNB=§X5XSyMAiB,d—-=%

因为4月〃。1。1，。］2^平面43耳4，A］耳U平面A881A，

所以GA〃平面又Gg,平面AAB］A，MGC.D.,

所以M到平面ABB^的距离等于线段CR到平面ABB^的距离C{B{=2.

又Sv”=5x04-AB=-xlx2=l,

11?

所以％—PA]3=S