山东省泰安市泰安第二中学2023-2024学年高三年级上册10月月考数学试题

2021级高三上学期学情检测

数学试题

命题人：刘延群审题人：轩召吉

第I卷(选择题共60分)

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4={%|y=，2—/},<oj,则()

A.[-1,2]B.[-bV2]C.(-hV2]D.[一或，2]

1,0,9

2.已知a=log110.9,b=0.9c=l.I,则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.h<a<cD.b<c<a

3.下列命题中，错误的命题有(),

A.函数/(x)=尤与.g(x)=(«)不是同一个函数

2,

B.命题3x0e[0*1],H+&N1”的否定为“Vx£[0,1],x+x<r

C.设函数/(x)=f”：2,”(0,则/(X)在R上单调递增

(2*,x20

D.设x,yWR,则"x<y"是"(x-y)D<0"的必要不充分条件

4.设奇函数/(x)在(0,+oo)上为增函数，K/(1)=0,则不等式x"(x)-f(-x)]<0的解集为()

A.(-1,0)U(1,+oo)B.(-1,0)U(0,1)

C.(-00,-1)U(0,1)D.(-co,-1)U(1,+8)

5.8月29日，华为在官方网站发布了手机，其中大部分件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技

术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(l+^，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传

递速度C取决于信道带宽卬，位道内信号的平均功率S以及信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中，叫做信噪

比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比从1000

提升至5000,则C大约增加了()(参考数值:/g2yo.301)

A.43%B.33%C.23%D.13%

6.函数/(x)=瞪的图象大致为()

A.B.

八,

c.D.

7.已知定义在R上的函数f(x)满足：/(-x)(比)=0,f(2-x)=f(x),当gxW时，”x)=2x-1,贝如(2023)

二()

A.1B.0C.-1D.

8.己知函数.f(%)=%2一2%+“(e'-i+e-x+i)有唯一零点，则〃=()

A-B.六C.1D.1

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合

题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.若工<:<0,则下列结论中正确的是()

ab

A.a2<b2B.ah<b2C.\a\+\h\>\a+b\D.a3>b3

10.关于函数y=加(看-1)说法正确的是()

A.定义域为(-1,1)B.图象关于)，轴对称

C.图象关于原点对称D.在(0、1)内单调递增

II.已知函数/(x)=四罗，其中xCR,则()

A.不等式/(x)N-e对xER恒成立

B.若关于x的方程/•(x)=无有且只有两个实根，则&的取值范围为(-e,0)

C.方程/"(x))=-1共有4个实根

D.若关于x的不等式/'(x)Nor恰有1个正整数解，则。的取值范围为(奈，；)

12.若实数x,y满足2*+2y+1=1,m=x+y,n=Q)+G)'；则()

A.x<0且产-lB.用的最大值为-3C.a的最小值为-3D.n-2m<2

第U卷(非选择题共90分)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

_2

l0

3(2+3尸+21og32-log3g-5^=

14.若函数/'(N+l)的定义域为[-1,1],则f(/gx)的定义域为

15.已知两个正实数x,y满足：+(=1，则x+3的最小值为

_Y22Y丫n

，若存在互不相等的实数a,b,c,d使得f(a)=f(b)=f(c)

|1+lnx\,x>0

=f(d)=m,则(1)实数机的取值范围为;

(2)〃+b+c+d的取值范围是.

四.解答题(共6小题)

17.设函数/(%)=函2+x+伍(4—%)的定义域为4,集合3={无向+lg烂2m-1}(/H>2).

(1)求集合A;

(2)若p:x£A,q:x£B,且〃是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

18.已知奇函数f(x)=曝/的定义域为[七-2,b]

(1)求实数〃，6的值；

(2)当x£[l,2]时，时(x)-1>0有解，求机的取值范围.

19.已知函数/(%)=Inx+三.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值是|,求a的值.

20.2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品、

让展商变投资商，交流创意和理念联通中国和世界，成为国际采购、投资促进、人文交流、开放合作的四大平

台，成为全球共享的国际公共产品.

在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场己知该产品年固定研发成本

150万元，每生产一台需另投入380元.设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为R

_(500—2x,0<%<20

(X)万元；R/?(%)=]21406250

370H--------------,x>20

IXX2

(1)写出年利润S(万元)关于年产量X(万台)的函数解析式；(利润=销售收入-成本)

(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的利润最大?并求出最大利润.

21.已知/(%)=log。％,g(%)=2log。(2x+t-2?(a>0,aHl,tER).

(1)当Z=4,尤£[1,2],且F(x)=g(x)-f(x)有最小值2时，求。的值；

(2)当0<avl,xe[l,2]时，W/(x)/(x)恒成立，求实数f的取值范围.

22.设函数/'(x)的导函数为广(尤)，且满足./(x)+x-^x2=f(l)ex-1.

(1)求函数/(x)在点(1,/(I))处的切线方程；

(2)若2f(x)却+2g+2〃恒成立，求〃(m+1)的最大值.

2021级高三上学期学情检测数学答案

1.C2.A3.C4.B5.C6.A7.C8.D9.ABD10.ACD11.ACD

12.ABD

5.解：由题意，W।_lg5000_[=3+馆5_]=—吆2_1%1-0.301%23%＞。大约增加

Wlog21000IglOOO333

了23%,故选:

7.解：根据题意，函数/(x)满足/(-x)+/(x)=O,/(2-x)=/(%),

则有/(2一x)=-/(-X),变形可得于(x+2)=-/(%),

则有/(x+4)=/(x),即函数/(x)是周期为4的周期函数,

；•/(2023)=/(-1)=-/(I)=-2+1=-1

8.解：/(x)=x2_2x+a(e*T+eT+)=(x_l)2+a(ei+eT+i)_l,

令r=x-l,则丁=尸+。(8+0-')—1为偶函数，图象关于，=0对称，

若y=0有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当，=0时，y=—1+2。=0,所以a=；.故选：D.

.,,x~—x—2(x+l)(x—2)

11.解：对于选项A,f'(x)=--------=--——0——--

ee

当x<-l或x>2时，f\x)<0,当一l<x<2时，f\x)>0,

所以/(x)在(YO,-1),(2,+8)上单调递减，在(-1,2)上单调递增，

/(x)在x=-l出取得极小值，/(-l)=-e,在x=2处取得极大值，八2)=?，

e-

而x>2时，恒有/(x)>0成立，；./(x)的最小值是—e,即/(x)N—e,对xeR恒成立，故A正确；

对于B选项，方程/(©=人有且只有两个实根，即曲线/(x)与直线y=k有且只有两个交点，由A选项分

析，曲线/(x)与直线y=攵图像如下,

由图知，当一e<A:KO或左=与时，曲线/(x)与直线y=k有且只有两个交点，故B错误;

e

对于C选项，由/(x)=0,得f+x—1=0,解得》=二1日叵

一1一出

令/(x)=f,且/(。=一1,由图像知，/(f)=一1有两解分别为：一J马=0,所以

/*)=4或/(无)=%而一二有>-e,则/(x)=4有两解，f(x)=t2=0,也有两解，综上，方程

/(/(幻)=一1共有4个根，C正确;

对于。选项，直线y=ac过原点(0,0),且/⑴=!，/(2)=?,/(3)=?,

eee'

仲⑴—0_1k_/(2)-0_5_/(3)-0_11

1-0e-2-02e233-03e3

易判断,k{>k2>k3,

不等式/(x)N以恰有1个正整数解，即曲线/(%)在卜="上对应的x值恰有1个正整数,

即=<44！

由图像，可得&2<。<4,,故。正确.

2e-e

12.解：因为2，+2刈=1,若x20,贝！12、21,又2>句>0,显然不成立，即x<0,

同理可得y+l<0,所以y<—1,即x<0且y<—1,故A正确;

又1=2'+2"|Z2,2*-2,山=2,2*+刈即2"+*<,

所以x+y«-3,当且仅当2'=2刈=g,即x=—l,y=—2时取等号，即加的最大值为一3,故8正确;

2|_|4-21'2

当且仅当亍=5寸，即x=-log23,y=log,一—1时取等号，故C错误；

对于D：n-2m=(g)+f|Y.2*+>'=(2-'+2-T)-2"F=2>+29，

因为2*+2刈=1,所以2(2、+2")=2,即2向+2产2=2,即2田+4乂2「=2,

即2e+2'+3乂2'=2,因为3x2’>0,所以2印+2'<2,即〃2”<2,故。正确；故选：ABD.

3-2原式一3，+2-3=-工

16161g311gg331616

14.[10,100J解：函数/(炉+1)的定义域为[—1,1],piiJO<x2<l,即

故函数/(x)的定义域为[1,2],令l«lgx42,解得lOWxKlOO,故/(lgx)的定义域为[10,100].故答案

为:[10,100].

14

15.4解：因为两个正实数x,y满足一+—=1,

x>

,y(yV14y4xfy~4%

故x+上=|x+上—+—=1+1+—+—>2+2—------=4,

4I4八xj)4xy\4xy

当且仅当工=把，即x=2,y=8时，等号成立，

4xy

16.(0,1)；(2e-I-2,e-2-l).

—f—2rr<0

解：(1)函数/(1)=4'一的图象如图：

|l+lnx|,x>0

•・"(a)=fS)=/(c)=f(d)=m,

—无？一2xx<0

即直线y="2与函数/(x)=4'一图象有4个交点，故加£(0,1),

|l+lnx|,x>0

(2)Vf(a)=f(h)=f(c)=f(d)=m,

不妨设av/?vcvd,

e~21

则必有a+〃=-2,-(1+lnc)=1+lntZ,In6?+Inc=-2,则。=——,且一

de

-2-2

Ac+d=—+d,由对勾函数的性质可得函数y=—+x在上单调递增,

dx

：.c+d=—+de,e-2+lk/.a+)+c+d£(2e"-2,e"-1),

d

2+x>0

17.解：(1)要使得函数/(x)有意义，只需要《,解得一2<xv4,

4-x>0

集合A=[x\-2<x<4｝；

(2)・・,p是4的必要不充分条件，・・・6UA,

当8=0时，/n+l>2m-L解得相v2(舍去),

4-1<2m-1

当时，有+2，解得24根<』，

2

2加4<

综上可知，实数，"的取值范围是2,1\

a•2"-1a-2~xa-24-1

18.解：(1)因为函数/(工)=亍不是奇函数，所以/(—%)=—/(£),即■西^一二2、+1

即生=,即a—2'=—a-2*+l,整理得(a-1)(2*+1)=0,

所以a-l=0,即a=l,则一a—2=—3,因为定义域为［—a—2,句关于原点对称，所以)=3；

2r-l

(2)因为XG[1,2],所以/(X)=1—>0,又当xe[l,2]时，〃矿。)一1>0有解,

2+1

2、+1222

所以〃2>1+xe[l,2]有解，V%e[l,2J,A2v-le[l,3],------e-,2

2'-12x-\2-13

55

3,33,m>—

3

19.解：函数/(x)=lnx+0的定义域为(0,+8),/，(x)=L一===

XXXX

(1)当a<0时，/'(x)>0恒成立，函数/(x)在(0,+00)上单调递增;

当a>0时，0<尤<。时，f'(x)<0,x〉a时，/'(x)>0,函数/(x)在(0,a)单调递减，在(a,+oo)

单调递增

综上，当a<0时，函数/(x)在(0,+8)上单调递增.

当a>0时，/(x)的单调递增区间为(a,+oo),单调递减区间为(0,a).

(2)当xe［l,e］时，分如下情况讨论:

①当时，f\x)>0,函数/(x)单调递增，其最小值为/⑴=。<1,这与函数在［l,e］上的最小值是

3

2相矛盾；

2

②当1<a<e时，函数f(x)在［l,a)上有f'(x)<0,f(x)单调递减,在(a,e］上有/'(%)>0,/(x)单调

递增，.，・函数/(元)的最小值为/(a)=Ina+l,由1口。+1=耳，得a=贱;

Q3

③当aNe时，显然函数/(外在［l,e］上单调递减，其最小值为/(e)=l+—22,与最小值是一相矛盾.

e2

综上所述，a的值为五.

20.解：(1)当0<xW20时，

S=xR(x)-(380x+150)=500x-2x2-380x-150=-2x2+120x-150,

当x>20时，S=x7?(x)-(380x+150)=370x+2140-^^-380x-150=-10x-^^+1990,

XX

--2x~+120x—150,0<x<20

..•函数S的解析式为S=_lOx_殷2+1990,x>20

(2)当0<xM20时，S=-2x2+120x-150=-2(x-30)2+1650,

函数S在(0,20］上单调递增，

.,.当x=20时，S取得最大值，为1450,

当x>20时，S=-10x-^^+1990=-|10x+^^|+1990

XyX)

<-2不10》.竺^+1990=-500+1990=1490,

当且仅当10x=%^,即x=25时，等号成立，此时S取得最大值，为1490,

x

V1490>1450

当年产量为25万台时，该企业获得的利润最大，最大利润为1490万元.

21.解：(1)当/=4时，2(x)=g(x)-/(x)=log“3+2),XG［1,2］,

x

令〃(X)=(2X+2)=4(X+_L+2］,%e［l,2］,

XyXJ

设〃=x+』，xe［1,2］作出“(x)的图象可知〃(x)=x+,在［1,2］上为单调增函数.

XX

・・・/z(X)在口2］上是单调增函数，.・・//(X)min=16,/2a)max=18.

当0<。<1时，有尸(x)mm=log“18,令k)g“18=2,求得。=30>1(舍去)；

当。>1时，有LOOmin=log“16,令log[16=2,求得a=4>有.•.a=4.

(2)当Ovavl,时，有/(冗)2g(x)恒成立，即当Ovavl,时，

log”x>2log”(2元+\-2)恒成立,由logax>2log。(2尢+「一2)可得log。\[x>log。(2x+t-2),

y[x<2x+1—2,t—2x+y/x+2.

/i、217

设“(x)——2.x+yfx+2=—2(\/x)~+\fx+2=—2\[x—H—，

I4j8

...〃(。侬="⑴=1..•.实数f的取值范围为INI.

22.解：由题意可得尸(x)=f'(l)ei-x+1®x2

：.f'(x)=f'(l)e'-'-l+f'(OU，令x=l得：/(0)=1,

：./(())=/'(l)e-'=l,解得1(l)=e.

所以有：/(%)