2023届浙江省温州市龙湾中学高考数学试题命题比赛模拟试卷三

2023届浙江省温州市龙湾中学高考数学试题命题比赛模拟试卷（3）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.双曲线_,,的离心率为不则其渐近线方程为

/-不=：（二〉6匚,0）

2.对于函数f（x）,若占满足/•（玉）+/（々）=/（玉+々），则称王，々为函数的一对“线性对称点若实数a

与匕和a+方与c为函数/（%）=3*的两对“线性对称点”，则c的最大值为（）

4

A.log34B.log34+1C.—D.log34-l

3.已知AB=（2,-1）,AC=（1,2）,若cosNBAC=巫，则实数2的值是（）

D.1或7

4.为了得到函数y=sin的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（

A.向左平移J个单位长度B.向右平移?个单位长度

6O

C.向左平移专个单位长度D.向右平移看个单位长度

5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴

爻，，------，，.如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（）

6.2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成

一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为

A.96B.84C.120D.360

7,已知函数/(x)=sin(x+K],要得到函数g(x)=cosx的图象，只需将y=/(x)的图象()

A.向左平移专个单位长度B.向右平移专个单位长度

C.向左平移2个单位长度D.向右平移包个单位长度

1212

8.设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P(异于原点。)的直线与抛物线丁=8PMp>0)交于A8两点，直线

s

OP与抛物线y2=8px(p>0)的另一个交点为。，则不理=()

ABO

A.1B.2C.3D.4

9.如图所示，正方体ABCD-ABCid的棱长为1,线段所四上有两个动点E、尸且Ef=在，则下列结论中错误的

2

是()

A.ACLBEB.E/〃平面A5Q)

C.三棱锥A-8E尸的体积为定值D.异面直线4E,5月所成的角为定值

10.已知集合例={(x,y)|x+y<4,x、yeN*},则集合M的非空子集个数是()

A.2B.3C.7D.8

U.已知数列{%}是公比为q的等比数列，且囚，的，的成等差数列，则公比q的值为()

1_1fl

A.一一B.-2C.一1或一D.1或一一

222

V

12.已知正四面体的内切球体积为h外接球的体积为匕则一=()

V

A.4B.8C.9D.27

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知椭圆C:三+营=1(。>。〉0)的离心率是?，若以N(0,2)为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为

x/26,此时椭圆。的方程是.

14.已知全集。={-1,0,1},集合A={0,|x|},则Q,A=.

15.设集合A={1,3},B={X|X2-2X-3<0},则AB=.

16.已知等差数列{a,,}的前〃项和为S“，且%+%=4+3,则Sg=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图(如

图所示)，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败.

(2)根据已知条件完成下面2x2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？

(3)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X,求X

的分布列与数学期望E(X).

n(ad-bc)2

(参考公式：心=其中〃=a+〃+c+。)

(a+h)(c+d)(a+c)S+d)

2

P(K>k0)0.400.250.150.100.050.025

k。0.7801.3232.0722.7063.8415.024

18.(12分)已知函数./1(幻=62*+(1-加2卜工一623€火).

(1)证明：当x»e2时，ex>x2;

(2)若函数/(x)有三个零点，求实数”的取值范围.

19.(12分)如图，直三棱柱ABC—AB|G中，RE分别是ARB用的中点，AA=AC=CB=—AB=42.

2

(1)证明：BC1平面4CD；

(2)求二面角。—AC—E的余弦值.

20.(12分)已知椭圆C：0+(a>b>0)的离心率为白，且椭圆C的一个焦点与抛物线V=46x的

焦点重合.过点E(L0)的直线/交椭圆C于"&,yj,N(w，%)两点，O为坐标原点.

(1)若直线/过椭圆C的上顶点，求AMON的面积；

(2)若A,3分别为椭圆C的左、右顶点，直线M4,NB,MB的斜率分别为匕，k2,%,求占(4+e)的值.

21.（12分）如图，在四棱锥A—8CDE中，平面BCDE，平面ABC,BE±EC,BC=1,AB=2,ZABC=60°.

(I)求证：BE1平面ACE；

(H)若锐二面角E-AB-C的余弦值为也，求直线CE与平面ABC所成的角.

20

22.(10分)已知矩阵加=]],求矩阵M的特征值及其相应的特征向量.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.

详解：.-；-X,

•.：|­=三,=\..三="T=\.

因为渐近线方程为，所以渐近线方程为二=±.;二,选A.

点睛：已知双曲线方程一：求渐近线方程：一：一：一.

(二二>4三一$=。=二=±三二I

2、D

【解析】

根据已知有3"+"+3''=3"+%，可得S'nl+w/G，只需求出3"+&的最小值，根据

3—1

3"+〃=3"+3",利用基本不等式，得到3"+”的最小值，即可得出结论.

【详解】

依题意知，〃与。为函数/(x)=3,的“线性对称点”,

所以3a+b=3"+3"2253".3"=，

故3"，24(当且仅当a=。时取等号).

又a+b与c为函数/(x)=3,的"线性对称点,

所以3“+〃+3,=3"+〃+，

3""14

所以3c=二一=1+^^<-,

3a+b-13a+b-\3

从而c的最大值为log34-1.

故选:D.

【点睛】

本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c的表达式是解题

的关键，属于中档题.

3、C

【解析】

根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得2的值.

【详解】

由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得

2-2Vio

cosZBAC=MM石5+分=记。

解得x=i.

故选：c.

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.

4、D

【解析】

通过变形/(x)=sin(2x-f]=sin2(x-二),通过“左加右减唧可得到答案.

【详解】

根据题意/(x)=sin[2x-[J=sin2(x-自

故只需把函数y=sin2x的图象

上所有的点向右平移展个单位长度可得到函数…叩6看]的图象，故答案为D.

【点睛】

本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.

5、C

【解析】

利用组合的方法求所求的事件的对立事件，即该重卦没有阳爻或只有1个阳爻的概率，再根据两对立事件的概率和为1

求解即可.

【详解】

设“该重卦至少有2个阳爻”为事件A.所有“重卦”共有2<,种；"该重卦至少有2个阳爻”的对立事件无是“该重卦没有阳

爻或只有1个阳爻”，其中，没有阳爻(即6个全部是阴爻)的情况有1种，只有1个阳爻的情况有C；=6种，故

尸(A-)=f1+6=7不，所以该重卦至少有2个阳爻的概率是P(4)=1-P(A)=1-7-=571-.

26646464

故选：C

【点睛】

本题主要考查了对立事件概率和为1的方法求解事件概率的方法.属于基础题.

6、B

【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共4A：=96个，其中含有2个10的排列数共A：=12个,

所以产生的不同的6位数的个数为96-12=84.故选B.

7、A

【解析】

根据函数图像平移原则，即可容易求得结果.

【详解】

因为/(x+2)=sin(x+]]=cosx,

故要得到g(x),只需将/(x)向左平移今个单位长度.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题.

8、C

【解析】

画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标,

最后代入坐标，求得三角形面积比.

【详解】

作图，设AB与。尸的夹角为。，则中AB边上的高与中AB边上的高之比为心丝=丝，

OPsin。OP

・••］理=今=为二"=①一1，设则直线°')=萧\即〉="工，与丁=8外联立，解得

2

sABOOPyPyPVPJ7nx

4y.

几=4多,从而得到面积比为3—1=3.

故选：C

【点睛】

解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.

9、D

【解析】

A.通过线面的垂直关系可证真假；B.根据线面平行可证真假；C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D.根

据列举特殊情况可证真假.

【详解】

A.因为AC_L8r>,ACJ_£>A，OAn3O=。，所以AC_L平面，

又因为BEu平面8。£>4,所以AC_LB£,故正确;

B.因为RBJ/DB,所以EF//DB,且旅仁平面ABC。，D3u平面ABC。,

所以所//平面ABCD,故正确;

C.因为58〃=工'七尸*84=正为定值，A到平面5。。6的距离为〃=_14。=也,

B"2422

所以％n-_8EF=-SuBi-E.rF-h=—1与为定值，故正确;

D.当4GBQI=E,ACr\BD=G,取尸为8,如下图所示:

因为BF//EG,所以异面直线AE,BE所成角为/AEG,

也

且tanZAEG=—=^-=—1

GE12

当ACJBR=F,ACcBD=G,取E为R,如下图所示:

因为D、F//GB,D,F=GB,所以四边形厂是平行四边形，所以BF//RG,

tanZ.AEG

所以异面直线所成角为NAEG,且

由此可知：异面直线AE,8尸所成角不是定值，故错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度

较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内.

10、C

【解析】

先确定集合“中元素，可得非空子集个数.

【详解】

由题意M={(U),(L2),(2,1)},共3个元素，其子集个数为23=8,非空子集有7个.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有“个元素的集合其子集个数为2"，非空子集有2"-1个.

11、D

【解析】

由如a3,az成等差数列得2a3=a1+a?,利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.

【详解】

由题意2a3=a]+a?,.*.2a(q2=ajq+a,,/.2q2=q+l,.\4=1或4=-；

故选:D.

【点睛】

本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练.

12、D

【解析】

设正四面体的棱长为1,取8C的中点为。，连接AO,作正四面体的高为PM,首先求出正四面体的体积，再利用

等体法求出内切球的半径，在RtAAMN中,根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】

设正四面体的棱长为1,取8C的中点为。，连接AO,

作正四面体的高为

A

则AD=—,AM=—,

233

：.PM=y/PA2-AM2=—,

3

••.^c=-x—xT=—,

设内切球的半径为「，内切球的球心为。，

则VP-ABC=4%-ABC=4X；X日r，

解得：r=；

12

设外接球的半径为R,外接球的球心为N,

则尸M-4或区一PM|,AN=R,

在放A4MN中，由勾股定理得：

AM2+MN2=AN2,

.」+（且-/?]=R2,解得R=近,

3I3）4

;3,

r

VRacr

—=-r-=27

vr

故选：D

【点睛】

本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式,

属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2?

13、土+匕=1

189

【解析】

根据题意设P(x0,%)为椭圆上任意一点,表达出|PN「,再根据二次函数的对称轴与求解的关系分析最值求解即可.

【详解】

因为椭圆的离心率是也，/=^+。2,所以标=2〃,故椭圆方程为£+}=］.

22b2b2

因为以N(0,2)为圆心且与椭圆。有公共点的圆的最大半径为四，所以椭圆。上的点到点N(0,2)的距离的最大值为

V26.

设P(Xo，%)为椭圆上任意一点，则头+$=L

所以|叩2=尤。2+(%—2)2=2《1-$•(％-2)2

2

=--4%+2b+4(-b<y0<b)

2

因为/(%)=-讨-4%+2b+4(-4<y0<b)的对称轴为%=-2.

⑴当。>2时,/(%)在［-^,-2］上单调递增，在［-2,以上单调递减.

此时/^(%)=/(-2)=8+»2=26,解得〃=9.

(ii)当0<。42时，/(%)在可上单调递减.

此时盘x(%)=/(一»=廿+劭+4=26,解得力=后一2>2舍去.

22

综上从=9,椭圆方程为土+匕=1.

189

x22

故答案为：土+匕v=1

189

【点睛】

本题主要考查了椭圆上的点到定点的距离最值问题,需要根据题意设椭圆上的点，再求出距离，根据二次函数的对称轴与

区间的关系分析最值的取值点分类讨论求解.属于中档题.

14、{-1}

【解析】

根据题意可得出A={0,1},然后进行补集的运算即可.

【详解】

根据题意知，|x|=l,

.•.A={0』},U={-1,0,1},

.・©A={T}.

故答案为：{-1}.

【点睛】

本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题.

15、{1}

【解析】

先解不等式必一2x-3<0，再求交集的定义求解即可.

【详解】

由题，因为f一2%—3<0,解得-1<%<3,即8={%]-1<%<3},

则A6=付，

故答案为:{1}

【点睛】

本题考查集合的交集运算，考查解一元二次不等式.

16、27

【解析】

根据等差数列的性质求得小，结合等差数列前〃项和公式求得S9的值.

【详解】

因为{4}为等差数列，所以。4+%=4+%=。6+3,解得%=3,

所以59=9（1；“9）=等%=9%=27.

故答案为：27

【点睛】

本小题考查等差数列的性质，前〃项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)a=0.005；(2)列联表见解析，有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，E(X)=3

【解析】

(1)由频率和为1,列出方程求。的值；

(2)由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，

填写2x2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；

(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，

知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.

【详解】

解：(1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,

可知(2a+0.020+0.030+0.040)x10=1,

解得a-0.005；

(2)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.()5=0.25,

所以晋级成功的人数为100x0.25=25(人)，

填表如下：

晋级成功晋级失败合计

男163450

女94150

合计2575100

假设“晋级成功”与性别无关，

2

根据上表数据代入公式可得K=34x9『w2.613>2.072,

25x75x50x50

所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；

(3)由频率分布直方图知晋级失败的频率为1-0.25=0.75,

将频率视为概率，

则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75,

所以X可视为服从二项分布，即X〜

p(x=k)=c：gJgJ*(左=0,1,2,3,4),

故P(X=0)=

所以X的分布列为:

X01234

15481

P(X=k)12108

256256256256256

数学期望为E(X)=4X°=3.或(E(X)=-5-xO+卫*1+史x2+&x3+-^-x4=3).

4256256256256256

【点睛】

本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题.若离散型随机变量

XB[n,p),则=

18、(1)见解析；(2)(y,+oo)

【解析】

(1)要证明e、＞x2(xZe2),只需证明尤＞21nx即可;

pP八

(2)e、一以2=0有3个根，可转化为。==有3个根，即y与/?(*)=二有3个不同交点，利用导数作出〃(幻

XX

的图象即可.

【详解】

2

(1)令g(x)=x-21nx,贝(Jg'(x)=l-—,当时，^'(x)>o,

X

故g(x)在归2,+8)上单调递增，所以g(x)>g(e2)=e2-4>0,

即x>21nx,所以

(2)由已知，/(x)=eZ'+(1-52卜*-奴2=(e'-<zx2)(e*+l),

依题意，/(x)有3个零点，即e*-⑪2=()有3个根，显然0不是其根，所以

X

有3个根，令〃(©=二，贝!]"")=史0=22,当》>2时，”(x)>0,当0<x<2

XX

时，"(x)<0,当天<0时，/i(x)>0,故人(幻在(0,2)单调递减，在(一8,0),(2,+00)上

单调递增，作出〃(X)的图象，易得a>2.

4

故实数。的取值范围为(―,+oo).

4

【点睛】

本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.

19、(1)证明见解析⑵立

3

【解析】

(1)连接AG交AC于点尸，由三角形中位线定理得BG//OF,由此能证明8CJ/平面ACO.

(2)以C为坐标原点，04的方向为X轴正方向，CB的方向为y轴正方向，CG的方向为z轴正方向，建立空间直

角坐标系C-型.分别求出平面A|CO的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角。-4C-E的余

弦值.

【详解】

证明：证明：连接AG交AC于点F,

则户为AG的中点.又。是AB的中点，

连接。则BCJ/OF.

因为DFu平面A。。，8G《平面4。。，

所以8CJ/平面A。。.

(2)由AA=AC=CB=^48=后，可得：AB=2,即AC?+BC?=AB?

2

所以AC_L8C

又因为ABC-A4cl直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、CG为x轴、》轴、二轴，建立空间直

角坐标系，则c(o,o,o)、A(血，°，血))、D与，与,0、E0,72,,

,C£：=[o,>/2,—

,CD=—，—，0

22I2J

设平面A。。的法向量为〃=(x,y,z),贝U〃.CD=0且〃.(％=0,可解得丫=一％=2,令x=l,得平面4c。的

一个法向量为n=(1,-1,-1),

同理可得平面4CE的一个法向量为加=(2,1,-2),

贝!Jcos<n,m>=

3

所以二面角O-AC-E的余弦值为①.

3

C.

【点睛】

本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

20、(1)—(2)%3(仁+%2)=—1

【解析】

(1)根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点，由此求得C,结合椭圆离心率求得。，进而求得b,从而求得椭圆C的标准

方程，求得椭圆上顶点的坐标，由此求得直线/的方程.联立直线/的方程和椭圆方程，求得”,N两点的纵坐标，由此

求得AMON的面积.

(2)求得A8两点的坐标，设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，由此求得电•%

的值，根据“在椭圆上求得勺•勺的值，由此求得《(4+幺)的值•

【详解】

(1)因为抛物线：/=4GX的焦点坐标为(6,0),所以椭圆C的右焦点

的坐标为所以c=百，

因为椭圆。的离心率为立，所以工=正，解得。=2,

2a2

所以。2=a2—c2=19

2

故椭圆C的标准方程为—+/=1.

4-

<八x+y—1=0

其上顶点为(0/)，所以直线/：%+丁-1=0,联立「二2/

x+4/=4

3

消去X整理得5y2—2〉—3=0,解得X=1,j2=--,

所以AA/ON的面积加0八,MMOE+SS=gxlx(l+|J=*.

(2)由题知，A(-2,0),8(2,0),设N(x2,y2).

由题还可知，直线MN的斜率不为0,故可设MN：x=my+1.

x=my+1

2,消去X,得（加2+4）/+2加），-3=0,

由,X1

—4-V2=1

4

2m

X+%=一

m2+4

所以，

3

%=一

nr+4

所以22，=7----------------7=--------------------;—=一一，

_（西-2）（々一2）疗乂必一加（）'I+%）+14

21

又因为点M在椭圆上，所以女「&=4；=一:，

%,-44

31

所以&（勺+女2）=_:_W=_L

【点睛】

本小题主要考查抛物线的焦点，椭圆的标准方程和几何性质、直线与椭圆，三角形的面积等基础知识，考查推理论证

能力、运算求解能力，化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想.