天津市某中学2023-2024学年高三年级上册开学考试数学试题

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

22

7.已知双曲线*■-斗■=1（〃>0力>0）的两条渐近线与抛物线V=4x的准线分别交于A,B两点.。

为坐标原点，若A03的面积为则双曲线的离心率为（）.

A.y/2B.2C.6D.3

8.陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现

了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半

径为1,圆锥与圆柱的高均为1,若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的

最小值为（）

32

B.一兀

3

125

D.---7T

48

9.已知函数/1）=328-疝（26+已（0>0）在［0,汨上有且仅有2个零点，则。的取值范围是

（）

"7131

cj舞）

二、填空题

10.设i为虚数单位，复数起=.

11.1/一^］展开式中的常数项为.

12.直线/：y=x与圆。:（X-1）2+（）-2）2=/（4>0）交A,B两点，若/BC为等边三角形，则。的

值为.

三、双空题

13.袋中有3个红球，加个黄球，〃个绿球，现从中任取两个球，即取出的红球数为久若取出的

10

两个球都是红球的概率为一红一黄的概率为则〃?-〃=,E(/=.

14.在梯形ABC。中，AB//CD,SLAB=2CD,M,N分别为线段DC和A3的中点，若A8=a,

AD=b>用a，b表示MN=,若MN工BC，则NZMB余弦值的最小值为.

四、填空题

/、|x2+x|,x<0/.

15.函数/(x)=4，］，关于x的方程/(x)=ar有2个不相等的实数根，则实数a的取值

ln(x+l),x>0

范围是.

五、解答题

16.己知a,b,c分别为ABC三内角A,B,C所对的边，且6acosC+asinC=.

⑴求A；

(2)若c?=4/-46，且a+b=3+.

2

(i)求c的值.

(ii)求sin(A+2B)的值.

17.如图，在正四棱柱ABCO-ASCQ中，AB=2,M=4.点4,殳，C2,&分别在棱A4,

BB、,CCj,DD］上,Aa=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

GBi

DA

(1)证明：约G〃42；

(2)求点B1到平面A2cB的距离;

(3)点尸在棱B片上，当二面角P-4G-&为150。时，求B』.

18.己知椭圆。:三+，=1(">%>0)的离心率为白，左顶点A与上项点B的距离为m.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P在椭圆C上，且尸点不在x轴上，线段AP的垂直平分线与)，轴相交于点Q,若△PAQ为等

边三角形，求点P的坐标.

19.设5”为正项数列｛4｝的前几项和，满足2S”=片+。”-2.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若不等式24对任意正整数〃都成立，求实数，的取值范围;

(3)设匕=力”"w(其中e是自然对数的底数)，求证：?+岁+…+冬〈半

〃n.n.4an.n%6

20.设函数/⑴--春…，曲线y=f(x)在点(1J(1))处的切线方程为y=-x+1.

⑴求a力的值；

(2)设函数g(x)=f\x),求g(x)的单调区间;

(3)求Ax)的极值点个数.

参考答案：

1.A

【详解】：全集U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},

APn(［uQ)={1,2,3,4,5}CI{1,2}={1,2}.

故选A

2.A

【分析】判断和“。+工>2”之间的逻辑推理关系，即得答案.

a

【详解】当。>1时，a+--2=a2~2a+l=^^>0,

aaa

故“H—>2,即a>l成立，则an—>2成立；

aa

当a=L时，〃+工=1+2>2,但推不出a>l成立，

2a2

故“a>1”是“〃+,>2”的充分不必要条件，

a

故选：A

3.D

【分析】先由频率之和为1解得。值，再分别计算各段学生人数，根据抽样比得从

【详解】由题得10x(0.005+0.035+4+0.020+0.010)=1,所以“=0.030.

在［120,130)之间的学生：100创00.030=30人，

在［130,140)之间的学生：100创00.020=20人，

在［120,140)之间的学生：50人，

又用分层抽样的方法在［120,14())之间的学生50人中抽取5人，即抽取比为：木，

所以成绩在［120,130)之间的学生中抽取的人数应为30x击=3,即。=3.

故选：D.

4.B

14

【分析】先由指数式化为对数式，利用换底公式得到一+—=log,“4x34=2,从而得到

*y

>=4x34=324,计算出小.

【详解】由4*=3〉=m>0得：x=log4m,y=\o^m,

由换底公式可得：-=log,„4,-=log„,3,

x)'

I2

则—+—=log,"4+2log,,,3=log,“4x32=2,所以/=4x3?=36,

xy

因为机＞0,所以m=6

故选：B

5.D

【分析】根据奇偶性定义判断f(x)的对称性，并由/。)=0及y=f、y=lnx增长速度关系，结

合排除法确定函数图象.

【详解】由/(-、)=/祟=竽=/(')且定义域为{xlxwO},故/(x)是偶函数，又/⑴=0,排

除B、C；

当x>l时，函数y=x?比y=lnx增长得更快，排除A.

故选:D.

6.C

【分析】对数函数的单调性可比较。、人与。的大小关系，由此可得出结论.

【详解】a=log52<log5V5=—=log82>/2<log83=b,即

故选：C.

7.B

【分析】根据题意，分别求得双曲线的渐近线和抛物线的准线方程，结合AOB的面积为G，求

得2=6,结合离心率的定义，即可求解.

a

【详解】由抛物线V=4x,可得其准线方程为x=-1,

因为双曲线J-1=l(a>0/>0)的两条渐近线的方程为y=±，x,

因为双曲线的渐近线与抛物线的准线交于A,8两点，且的面积为后,

可得2x4x1=75,即2=石,

2aa

所以双曲线的离心率为e，=J1+(与=a+呵=2.

a\a

故选：B.

8.D

【分析】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积

的最小，设此时球形材料的半径为R,由勾股定理求出外接球的半径，即可求出其体积.

【详解】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积

的最小，

设此时球形材料的半径为R,由题意得（2-/?y+i2=店，解得/?=］,

所以球形材料的体积最小值为三兀R'=黑兀.

348

故选：D.

9.A

【分析】利用两角和与差的正弦，余弦公式将函数化简，然后根据变量的取值范围和余弦函数的图

像即可求解.

|7U）71兀

［详解］fM=cos2a）x-sin2cox+—=cos2cox-sin2a）xcos——cos2cox-sin—

V6J66

=—cos2a）x----sm2d?x=cos2cox-\■一.

22I3）

TTTTTT

当xe［O,兀］时，2a）x+-e-,2it（i）+-.

3133」

/（X）在［0,2内有且仅有2个零点，，=42兀。+三＜¥，

2321212

故选：A.

10.l-2z/-2i+l

【分析】根据复数的除法法则计算即可.

【详解】W(3-i)0-i)2-4i

=l-2i.

(l+i)(Ji)2

故答案为：1-2i.

11.15.

【分析】利用通项公式即可得出.

【详解】通项公式力+/=4（N）6“_Jy=（-1）rd；x^h,

X

令12-3r=0,解得r=4.

展开式中的常数项=第=15.

故答案为15.

【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

12.回'娓

33

【分析】结合儿何关系和点到直线的距离即可求解.

【详解】由条件和几何关系可得圆心C到直线/：y=x的距离为崂1=F^,解得4=2^.

故答案为：回

3

13.1I

【分析】根据古典概型的概率计算公式以及组合数的计算公式，建立方程，可得空1;根据离散型

随机变量的均值计算公式，可得空2.

［详解】取出的两个球都是红球的概率6=---=石------1------;=1,

C"+“（3+〃?+”）（2+加+〃）5

C'c16m2

取出的两个球是一红一黄的概率P2==------7-：-----7=",

CLn+„（3+机+”）（2+机+〃）5

R11„61

由月=蔡=5'解得加=2,则"（5+〃）（4+〃）=丁解得"=1'故加一〃=1；

由题意，红球一共有3个，黄球和绿球一共有3个，随机变量4的所有可能取值为0,1,2,

P（€=0）=|1q,上=1）=等=|,P（^=2）=g=l,

则E©=0x（+lx|+2q=L

故答案为：1；1.

,.1、2&

14.-a-b——

43

【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；

空（2）以4与6为基底，用数量积的形式表示出〃N_LBC，再由基本不等式求解即可.

如图，由已知，MN=AN-AM=-AB—^AD+DM'j=—AB—AD——DC

=-AB-AD--x-AB=-AB-AD=-a-b.

22244

1_

MN-b.

4

设ND4B=。，即〃与b的夹角为6，

BC=BA4-AD+DC=—AB+AD+—AB=——AB+AD=——a+h,

若MNJ.BC，则MN-8C=0，

-“•（一；4+.）=->2+^a-b-b2=-"同一+-^|«||z?|cos0-|z?|=0,

又••♦同>0,忖>0,.•.由基本不等式，

H2+<__H,8K

2显丝=逑

61aM6忖61a\6忖6a3

8石L一

当且仅当『\a\=—,即同=2及忖时，等号成立.

6W

故答案为：—a-b,2五.

43

【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以2D4B为夹角的两个向量作为基底，将垂直

关系转化为数量积的形式，再借助基本不等式求解.

15.。4一1或04a41

【分析】转化为函数y=/(x)与直线y=冰的图象有2个交点，画出函数/(x)的图象，分。=0、。>0、

a<0讨论，结合图象可得答案.

【详解】〃x)=or有2个不相等的实数根，即函数y=/(x)与直线产6的图象有2个交点,

当4=0时，函数y=/(x)与直线y=o的图象有2个交点，符合题意；

当a>0时，由x=0是函数y=/(x)与直线尸⑪的图象的1个交点，

只需函数/(x)=ln(x+l)(x>o)与直线产④有1个交点即可，

当直线产以与函数/(x)=ln(x+l)(x>0)相切时，

设切点为(毛,%),可得/'(%>)='77=。，且%=ln(x0+l),y0=axu,

可得。一l=ln。，

因为y=x-l与y=lnx的图象只有1个交点(1,0),

可得〃=1是♦—1=In。的解,

所以0<a4l时直线产公与尸/(力的图象有2个交点，符合题意;

当〃<0时，由―卜+』(xW0),可得12(%2+2%+1一6)=0,

y=ax

要使y=/(x)与尸侬的图象有2个交点，

只需f+2x+l-/=0在x<0只有一解即可，

可得0+0+1-/《0,解得。4一1.

综上所述，实数。的取值范围是。4-1或OWaWl.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为函数y=/(x)与直线y="的图象交点个数问题，考

查了学生的抽象思维能力.

16.⑴Y

(2)(i)2；(ii)—

26

【分析】(1)根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简岳cosC+asinC=®，可得tanA

的值，即可求得答案；

(2)(i)由余弦定理可得/一从=。2一儿，结合C2=4L-462,推出6=3。，a=—c,再结合

44

〃+6=止叵，即可求得c；

2

(ii)求出4利用正弦定理求得sinB,进而求得cosB,由二倍角公式求得sin2B,cos28,再根据

两角和的正弦公式即可求得答案.

【详解】(1)由题意知在.ABC中，、/5acosC+asinC=

故由正弦定理得A/3sin4cosc+sinAsinC=gsin8=Gsin(A+C)，

即GsinAcosC+sinAsinC=百(sinAcosC+cosAsinC),

所以sinAsinC=JicosAsinC，

因为Ce(0,兀),故sinA=乖》cosA,tanA=>/3，

又Ac（0,兀），故A』

(2)(i)由余弦定理得/=b2+c2-2Z?ccosA=/+c2-bc,

^a2-b2=c2-bc,又。2=4/一46，

故/=4(c2-he),得b=，,则/=Z?2+c2-be=(-c)2+c2--c2=—

44416

即a=---c,

4

-rj.34-\fi3r»y/]333+y/\3Anzec

又a+b=------,故」-c+—c=-------，解得。=2.

2442

/..、小/.、—i*zeA/T3y/\3»_3

(1])由(1)可得Q=---c=----，b=二,

422

3

工一，ab.八加in4263A/3

由正弦定理得二工sin8=------=—=x—=,

sinAsinZ?aJ1322A/13

F

由于〃<c,故3必为锐角,

故sin2B=2sinBcosB=2xx—,

2V132V1326

1

26

故sin(A+23)=sin[1十28=^^cos2B-l--sin2B

22

=与(」)+工地=拽

22622626

17.（1）证明见解析

⑵侦

3

(3)1

【分析】（1）利用空间向量的坐标表示证明;

（2）利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离;

（3）利用空间向量与二面角的关系求解.

以C为坐标原点，S,CB,CG所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,

则C(0,0,0),G(0,0,3),8式0,2,2),D,(2,0,2),A(2,2,1),

■■-B2C2=(0,-2,1),42=(0，-2,1),

所以B2C2//AD2,

且82c24。2不在一条直线上，所以4G〃&&.

(2)设平面4G2的一个法向量为皿=(x,y,z),

4c2=(—2,—2,2),44=(。,—2,1),

AC?•/%=-2x-2y+2z=0

所以,设z=2,则x=l,y=l,

24202m=-2y+2=0

所以〃7=(1,1,2),

又因为4(0,2,4),G4=(0,2,1),

所以点用到平面4G2的距离d==4=276

mV63

(3)设尸(0,2,2)(04244),

AC?=(-2,-2,2)代=(。，-2,3-乃,

设平面P&G的法向量为"=3氏0，

n•4G=一2〃—2Z?+2c=0

则

n-PC?=—2b4-(3—A)c=0

令c=2,b=3—=%—1,所以〃=(4—1,3-4,2),

所以"叶需=小胸可西

6==|cosl500|=—,

2II2

可得力一4彳+3=0，解得4=1或4=3,

所以B2P=1.

29

⑻⑴*1

⑵「

【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点间的距离公式可解得“2=4,从=2,即可求出椭圆方程;

（2）设出直线叱方程与椭圆联立，利用韦达定理可解出点尸的坐标表示，再根据△PAQ为等边

三角形即可解得点尸的坐标.

【详解】（1）由题意可知离心率e=£=1,即可得Y=2C2

a2

且+。2=&,又〃2=/+加，解得々2=4,=2；

所以椭圆C的方程为工+$=1.

42

（2）如下图所示：

易知A（-2,0）,设直线AP的方程为丫=々"+2）,易知％=0,设尸（修,力）；

将直线y=/（x+2）与椭圆?+菅=1联立可得（2二+1卜2+8%，+8公-4=0,

显然x=-2是方程的一个根，由韦达定理可得/=-壬

所以》他”2）=药，即十赤T，赤rj；

可得"的中点坐标为M,

I2k+12k+\)

2k1(41cl

所以直线AP的垂直平分线方程为y--7x+-^-

2《+lk\2k~+\

令X"解得尸一品,即砸'一就｝

若△尸AQ为等边三角形，则|M=|AQ|

3

整理得4公+公一3=0,解得&2=;或公=T(舍)；

4

代人可得点尸的坐标为尸([,警]或尸仔,一芈

19.(1)an=n+\(2)-|,-2卜(-2,0](3)证明见解析；

【分析】(1)根据题中的关系式，利用q=$,-5,1(〃22)得出数列｛4,｝是等差数列，可得通项公

式；

(2)〃=1时，求出，的范围，接着证明,的此范围对〃22的正整数〃都成立，首先由〃+1+?>0,

放缩fi+—^―r'>fi+二一Y",然后结合二项式定理证明结论；

In+\+t)\n+\)

3

(3)根据(1)中的结论得到数列他,｝的通项公式，求出二-变形并放缩当«」—!一.1?

""+2*[("+3)24

V211_22

=7(〃+3)金门再由当"22时’FTk&+ka<(k-i)a+kg

=-1——苦匕—下,=2坐,出?).=2(放缩裂项相消法求和证明结论.

【详解】(1)・・・2科=片+凡_2,

・・・2s小=〃3+4一「2522),

两式相减，得2。n=an~an-\+。〃-〃〃-1，

即an~an-\~an~M.I=。'

(a“+%-J(4「4iT)=。,

•••{4}为正项数列，.•.4-4-=1(〃>2),

又由2sl=4；+q-2,解得4=2或％=-1(舍去),

an-n+l.

(2Y"(2Y+1

(2)\+-^->4,即1+——>4,

(a„+t)In+l+tj

1+2)-4,

当〃=1时,

Q

解得——〈I"0且"-2,

Q2Y+l

下面证明当-且f7-2时,1+^^“对任意正整数”都成立,

n+\+t）

当〃22时，〃+l+f>0,

.小+-_『/+2『，

Vn+l+tJVn+\）

又当〃=1时，上式显然成立，

故只要证明（1+高]’24对任意正整数〃都成立即可,

:•实数，的取值范围为-*-2）口（-2,0].

（3）证明：由题得勿=（〃+1）孤川，

..b.=(〃+1尸J_13

(〃+［严］1I"

.二一(“+3).「〔而而7

("+3严("+3)24

：4显_____1一

2+24(〃+3)J〃+3

当左22时,

12________2_______

ky/k~kyfk+k4k(k-1)4+女

_________2__________2(〃_yr^T)

\jk—1-yfic(Jz-1+\[k)y/k—1•y/k

4上

一6

【点睛】本题考查已知S,与%关系求数列的通项公式，考查不等式恒成立问题以及不等式的证

明.在利用〃“=£,-S,i时，注意”22,数列不等式恒成立，可从特殊值出发，如鹿=1时成立得出

参数r的范围，然后再考虑它对〃22时是否也成立.不等式的证明，根据不等式的形式首先考虑能

否求和，.由于是不等式可能考虑用放缩法，适当放缩后再求和.本题对学生分析问题解决问题的

能力，逻辑思维能力要求较高，属于困难题.

20.

(2)答案见解析

(3)3个

【分析】(1)先对/(》)求导，利用导数的几何意义得到/⑴=。，/'⑴=-1,从而得到关于。力的

方程组，解之即可；

(2)由(1)得g(x)的解析式,从而求得g'(x),利用数轴穿根法求得g'(x)<0与g'(x)>0的解,

由此求得g(x)的单调区间：

⑶结合(2)中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间(--0),(0,演)，&，w)与(玉,物)

上尸(x)的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得了(x)的极值点个数.

【详解】(1)因为/"(x)=x-x3e"+〃,xeR,所以/'(*)=1一(3/+小)

因为f(x)在。,/⑴)处的切线方程为y=-X+1