第35练 直线的方程、两直线的位置关系-2023届高三数学一轮复习五层训练（新高考地区）（解析版）

第35练直线的方程、两直线的位置关系

课本变式练+考点分类练+最新模拟练+高考真题练+综合提升练

一、课本变式练

1.（人A选择性必修一P57习题2.1T3变式）过点A（l,2）、8（-1,0）的直线的倾斜角为（）

A.45°B.135°C.1D.-1

【答案】A

2-0

【解析】过A、8的斜率为左=LTK=1,则该直线的倾斜角为45。，故选A.

2.（人A选择性必修一P57习题2.1T1变式）设直线/的斜率为火，且-6<241,则直线/的倾斜角a的取

值范围是（）

A［。„，卅7i~|（R2K）B.「,、兀）［3兀）

兀2兀、f71371

c-L^Tjd-li'T

【答案】A

【解析】因为直线/的斜率为％,且-⑺<上41,.•.-gvtanaWl,因为。40,兀），

••・^^（彳,兀）」°,a.故选A.

3.（人A选择性必修一P67习题2.2T7变式）已知直线办+丫-2+。=0在两坐标轴上的截距相等,则实数。=

（）

A.1B.-1C.-2或1D.2或1

【答案】D

【解析】当。=0时，直线y=2,此时不符合题意，应舍去；当a=2时，直线/：2x+y=0,在x轴与y轴上

的截距均为0,符合题意；当axO且由直线/:or+y-2+a=0可得：横截距为纵截距为2-〃.

a

由2土—£ci=2-4,解得：。=1.故。的值是2或1.故选D

a

4.（人A选择性必修一P67习题2.2T9变式）已知ABC的三个顶点的坐标为A（3,3）、8（2,-2）、C（-7,l）,

试求：

（DBC边上的高所在的直线方程;

（2）ABC的面积.

-2-11

【解析】（1）因为的°=不大？=一三，则3C边上的高的斜率为3,又经过A点，故方程为>一3=3（%-3）,

化简得3x-y-6=0.

（2）BC=7（2+7）2+（-2-1）2=3710,直线BC方程为y+2=-g（x-2）,整理得x+3y+4=0,则A到BC

的距离为叫"3：4|=4,贝k的面积为3厢*提=24.

VI+32VI02V10

二、考点分类练

（一）直线的倾斜角与斜率及直线方程

5.如图，设直线4，/4的斜率分别为尢，网，内，则勺，右，勺的大小关系为（）

A.k}<k2<k3B.kx<k3<k2

C.&<4v%D.k?<k2Vk、

【答案】A

【解析】由斜率的定义可知，.故选A.

6.直线/过点P（2,l）,且x轴正半轴、y轴正半轴交于AB两点，当AQB面积最小时，直线/的方程是（）

A.X+y-3=0B.2x+y-5=0

C.x+2y-4=0D.4x+y-9=0

【答案】c

【解析】根据题意，直线/不与X轴垂直，则其斜率存在，设为4,则々<0,因此，直线/：y=Mx-2）+l,

令X=O则有％=1-2火，则8（0,l-2k）,令y=o则有/=2-：，则A（2-：,o]

此，S…料|0卸=:闷闾=3％=；（「2%）（2一：卜2—2"拼2+2卜吁蜀=4

当且仅当-2火=-:即女=时取等（舍去4=；）,-AC®面积最小值为4,此时/:y=-：（x-2）+l,即

/:x+2y-4=0.故选C.

（二）直线平行问题

7.若直线4：x-y+i=o与直线仆X+小y=0互相平行，则加的值为（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【解析】若宜线4：x-y+i=o与直线4：X+畋=0互相平行，•二解得m=-i

故选A.

8.（多选）已知直线/:mr+y-w+l=0M（l,2）,B（3,4）（则下列结论正确的是（）

A.存在实数m,使得直线I与直线AB垂直

B.存在实数机，使得直线/与直线AB平行

C.存在实数m,使得点A到直线/的距离为4

D.存在实数m,使得以线段AI3为直径的圆上的点到直线/的最大距离为J万+夜

【答案】ABD

【解析】.直线/：”+y-m+l=0，41,2）,8（3,4）,.•.直线/的斜率为-〃?，直线A8的斜率为1,

故当机=1时，直线/与直线垂直：当机=T时，直线/与直线48平行，故AB正确；

（工一]=0/x—1

直线/:侬+），-m+1=0,即〃心=l）+y+l=0,令1-求得《"「可得直线经过定点P（1,T）,

[y+l=0[y=-l

由于AP=3,故点A到直线/的最大距离为3,故C错误；

由于A（l,2）,B（3,4）,AB=J4+4=20，故以AB为宜径的圆的圆心。（2,3）,

APC?=71716=717,故圆的半径为&,圆心。到直线/的最大距离为J/，

故以线段A8为直径的圆上的点到直线/的最大距离为JF7+近，故D正确，故选ABD.

9.若直线h2x+ay-2=0与直线3x-y+a=0平行，则直线4与4之间的距离为.

【答案】受

2

【解析】•・,直线4与4平行，，彳2a-2解得。=一2,・・・直线小x—y—1=0,直线4：x—y—2=0,

1-1a

...直线4与12之间的距离d=士.

V1+12

（三）直线垂直问题

10.过点P（-1,2）且与直线x-2y+l=0垂直的直线方程为（）

A.2x+y+4=0B.2x+y=0

C.x+2>--3=0D.x-2y+5=0

【答案】B

【解析】直线x-2y+l=0的斜率号=；，因为/，/，，故/，的斜率即=-2,故直线「的方程为y-2=—2（x+l）,

即2x+y=。，故选B.

II.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距

离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点4（2,0）,3（0,1）,且

AC^BC,则，ABC的欧拉线的方程为（）

A.2x+4y—3=0B.x—2y—3=0

C.2x-y-3=0D.4x-2y-3=0

【答案】D

【解析】：4C=BC,结合题意可知-ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线，的中点为

斜率G=-g,则48垂直平分线的斜率左=2,则一43c的欧拉线的方程为y-g=2（x-l）,即4x-2y-3=0

故选D.

12.（多选）已知两点A（T,3）,B（2,l）,曲线C上存在点「满足|网=|PB|,则曲线C的方程可以是（）

A.3%-y+l=0B.x2+y2=4

r2

C.---y2=\D./=3x

2）

【答案】BC

【解析】由解=|罔，知点P一定在的垂直平分线/上，如=-；，左/=-13=3

因为线段A8的中点坐标为（T,2）,所以/的方程为y-2=3（x+l）=y=3x+5.则满足条件的曲线C要与/有

交点.3x-y+l=0与/平行，故无交点，选项A错误；r+V=4是圆心为（0,0）,半径r=2的圆，圆心到直

,|5|回、代—=1

线/的距离为"=/；,=丁<2,故有线与圆相交，故B正确;把直线/与双曲线进行联立，2>

4（T）+3-[y=3x+5

得17丁+60彳+52=0，A=3600—4x17x52=3600—3536>0,所以/与双曲线存在交点.故选项C正确；

将直线/的方程代入V=3x,得丁=>_5,方程无实数解.故抛物线V=3x与直线/无交点.故选项D错误；

故选BC.

(四)距离问题

13.已知4-2,0),B(4,a)两点到直线/:3x-4y+l=0的距离相等,则“=()

9Q

A.2B.-C.2或-8D.2或―

22

【答案】D

【解析】因为A(-2,0),B(4,a)两点到直线/：3x—4y+l=0的距离相等,

|3x(-2)+0x(-4)+l|_|3x4-4o+l|..o

所以有=|13-4a|=5=>q=2,或a.故选D

732+M)2的+㈠产

14.已知三条直线4：2》-旷+〃=03>0),/2：-4》+2丫+1=0和小方+丫-1=0,且《与/，的距离是撞.

'10

⑴求〃的值；

(2)能否找到一点P,使同时满足下列三个条件：①点尸是第一象限的点；②点尸到4的距离是点P到4的距

离的③点P到4的距离与点P到4的距离之比是血:石，若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由.

【解析】(1)因为/,可化为2x-y-1=0,所以4与/，的距离为〃“一775.

2公君再=而

因为。>0,所以a=3.

(2)设存在点P(%,%)满足，则点尸在与4，4平行直线/'：2x-y+c=o上.

且I。-3|_1\+2|,即。="或c=U.

函=5方26

B11

所以满足条件②的点满足为-%+万=°或+不=0.

|2%—%+3|=0区+%-1|

若点尸满足条件，由点到直线的距离公式，有

Vs一石&

所以玉,-2%+4=0或3%+2=0,因为点尸在第一象限，所以3%+2=0不成立.

x=-3

13°011

联立方程2%)-%+彳=0和%-2%+4=0,解得.1（舍去），联立方程2x（）—%+二~=0和

%=26

X。=—

I'所以「137

­=0,解得即为同时满足条件的点.

9,18

(五)对称问题

15.(2022届湖北省龙泉中学、宜昌一中、荆州中学等四校高三下学期一模)已知从点(-5,3)发出的一束光

线，经X轴反射后，反射光线恰好平分圆：(》-1)2+()，-1)2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为()

A.2x-3y+l=0B.2x-3y-l=0

C.3x-2y+l=0D.3x—2y—1=0

【答案】A

【解析】设点A的坐标为(-5,3),圆(了-1)2+(丫-1)2=5的圆心坐标为8。,1),设C(x,0)是x轴上一点，因为

反射光线恰好平分圆(x-l)2+(y-l>=5的圆周，所以反射光线经过点8(1,1),由反射的性质可知：

怎c+凝0=0=与9+尸=0=》=-2,于是&c=17T=§，所以反射光线所在的直线方程为：

-5-x\-x2

21

y=-(x+-)=>2x-3y+1=0,故选A

42345

16.已知(a+x)(l+x)=a0+ayx+a2x+a3x+a4x+a5x,若点(1,-1)关于直线x+y=4的对称点坐标为

(5,a),贝！］q+%+%=.

【答案】32

【解析】若点(1,-1)关于直线x+y=4的对称点坐标为(5,〃),所以两点的中点(+,言@)在直线x+y=4

上，所以H—=4，解得。=3.所以(a+x)(l+X)，=4+qx+//+//+为/+为x\

4是X的系数,4是七的系数，的是内的系数，对于(1+X『第,项为

令k=0或攵=1时，有C4-x°-X+3C]-x1=x+12x=13x,

所以4=13;令％=2或％=3时,有3。1工2._¥+3。：./=12工3+6/=19/,

所以％=18；令忆=4时，有C：•/.x=d,所以〃§=1；所以4+°3+。5=13+18+1=32.

17.在直线I：3x-y-l=0上求点P和Q,使得

⑴点P到点A（4,l）和B（0,4）的距离之差最大；

⑵点Q到点A（4』）和C（3,4）的距离之和最小.

【解析】（1）如图所示，设点8关于/的对称点夕的坐标为（。，b）,

h_A

则"8也=-1,即3x——=-1,；.a+3b—12=0.①

a

线段BE的中点坐标为（名号）且中点在直线,上，

/.3x---------1=0,即3。一h-6=0.②

22

解①©得。=3,》=3,二夕（3,3）.

于是直线A夕的方程为三一=三，即2x+y-9=0.

3-13-4•

（"3x-y-l=0（x=2_-

解工c八得（c即/与直线AB，的交点坐标为尸（2,5），且此时点尸到点A,B的距离之差最大.

[2x+y-9=0[y=5

（2）如图所示，设点C关于/的对称点为C,

（324、

求出C的坐标为所在直线的方程为19x+17），-93=0,

解得直线AC和/交点坐标为[9,半），故。点坐标为[9,T），且此时点「到点A，C的距离之和最小.

三、最新模拟练

18.（2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断）已知直线4：2x+y+2=0,，2：2x+y=0,则4与4间的

距离为（）

A.巫B.叱C.72D.正

552

【答案】A

【解析】由平行线间的距离公式可知，4与4间的距离为­■匕一。，=挛.故选A.

V22+l25

19.（2022届浙江省宁波市镇海中学高三下学期5月模拟）已知点M（L2）是圆C:/+）,2=/内一点，直线

/是以例为中点的弦所在的直线，直线机的方程为2x-y=/,那么（）

A.加且根与圆C相切B.”/机且小与圆C相切

C./_1，"且加与圆（7相离D./〃加且根与圆C相离

【答案】C

【解析】由点加（1,2）是圆C:x2+y2=z^R-点得户＞5.所以圆心C（0,0）到直线m：2x-y=产的距离为

厂厂9—0

4=方＞#=r.故直线m与圆C相离.另一方面，直线CM的斜率为冷=2,而直线/以M为中点,

故直线CMJJ.又直线山的斜率也是2,所以CM//W,所以/J_m.故选C.

20.（2022届湖北省襄阳市第五中学高三下学期适应性考试）过点P（l,2）作曲线C：y=g的两条切线，切

点分别为A,B,则直线AB的方程为（）

A.2x+y-8=0B.2x+y-4=0

C.2x+y-4=0D.x+2y—4=0

【答案】A

A4

【解析】设A（A,，X）,以町必），y'=-W，所以在A点处的切线方程为y-y=—-（x-xJ,将尸（1,2）代

xx]

44

入得2-乂=一百（1-%），因为％=工，化简得2再+乂一8=0,同理可得2々+%—8=0,所以直线AB的方

程为2x+y-8=0,故选A.

21.（多选）（2022届广东省广州市铁一中学等三校高三三模）下列说法正确的是（）

「乃]「5万、

A.直线xcos6+百y+2=0的倾斜角的范围是0,—U—，^

66）

B.直线（3+间x+4y—3+3m=0（机ER）恒过定点（-3,-3）

C.曲线£：/+丁2+2工=。与曲线。2.・/+'2一4x-8y+m=0恰有三条公切线，则〃?=4

D.方程师工777-后讨77=6表示的曲线是双曲线的右支

【答案】ACD

【解析】对于A,直线的斜率欠=-冬05同半坐，.••直线的倾斜角的范围是[0,久）年㈤，故A正确；

[x+3=0[x=—3

对于B：直线方程整理为：zn（x+3）+（3x+4y-3）=0,由。“。八，解得。，故该直线恒

[3x+4y-3=0[y=3

过定点（-3,3）,故B错误；对于C,\•曲线£:。+1＞+丫2=1曲线C”（x-2）2+（y_4）2=20-机有三条公切线,

两条曲线均为圆，故20一机>0,即,〃<20,且两圆的位置关系为外切，故圆心距

22

J=|C,C2|=X/（2+1）+4=5=720^+1,解得：m=4,故C正确：对于D,设P（x,y）,A（-4,0）,8（4,0）,

则方程等价为I尸川-|尸8|=6<|筋|=8,则根据双曲线的定义可知，P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右

支，故D正确；故选ACD.

22.（多选）（2022届重庆市中学高三二诊）己知圆M:（x+cos6）2+（），-sine）2=l,直线/：y="，

下面四个命题，其中真命题是（）

A.对任意实数％与。，直线/与圆M相切

B.对任意实数A与6,直线/与圆M有公共点

C.对任意实数。，必存在实数3使得直线/与圆M相切

D.对任意实数火，必存在实数0,使得直线/与圆M相切

【答案】BD

【解析】由题意知，圆心坐标（-cos。,sin。），半径为1,圆心M到直线/的距离为

,|一人cos。一sin0|Jl+公|sin（6+a）|..zz,.,,/廿~,、口--，­缶小,皿，,八，八一

d=-----,--------=------,---------二|sin（6+a）|”1（其中tana=Z）,所以对任意头数％与直线/与

Vi+FVi+F

圆M有公共点，且对任意实数h必存在实数，，使得直线/与圆M相切.故选BD.

23.（2022届上海市徐汇区高三二模）已知meR,若直线小，nx+y+l=0与直线4：9x+my+2机+3=0平

行，则>=.

【答案】3

[w2-9xl=0

【解析】因为直线4：，依+y+l=0与直线，2：9X+,町+2机+3=0平行，所以，小Q,,解得帆=3

[1x（2机+3）工〃?xl

24.（2022届江西省九江市高三第一次高考模拟）若a,匕为正实数，直线2x+（2a-4）y+l=0与直线

26x+y-2=0互相垂直，则外的最大值为.

【答案】|

【解析】由两直线垂直得劭+为—4=0,即2=。+»22缶^，ab<^,当艮仅当。=1,人=；时，等号成

立，故湖的最大值为g.

四、高考真题练

2

25.（2018高考全国卷乙）已知双曲线C:土-丁=],。为坐标原点，F为1C的右焦点，过F的

3

直线与C的两条渐近线的交点分别为N.若AOMN为直角三角形，则

）

3

A.-B.3C.273D.4

2

【答案】B

x2

【解析】双曲线C:一一V?=1的渐近线方程为:y^±—x,渐近线的夹角为：60，不妨设过尸（2,0）

3'

了=百（》-2）y=6（X-2）

的直线为：y=G（x-2）,则＜外解得：7V（3,-V3）,则

百解得M

y=——xy=----x

I33

2

1网=卜|I+=3，故选B.

26.（2022新高考全国卷I）图1是中国古代建筑中的举架结构,/14',89,比',。。'是桁,相邻桁的水平距离

称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中。A，CG，8综是举,

DD.ncCC,,BB,,AA,

。2，。6，。片,氏41是相等的步,相邻桁的举步之比分别为奈=0.5,号=匕,聚=内,工；=女3.已知

（JD、£/C|C/）|n/i|

%段,％成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则/=

【答案】D

【解析】设。。=34=1,则=内,朋=%，因为匕，&，/成公差为01的等差

DE),+CC,+BB,+AA,-

数列，所以勺=&-0.2,乂=&-0.1.因为OA的斜率为0.725,所以鼠)/0；=0.725.

L)

UU}+UC|++A]

所以0.5+弘3-。3=0725故卜=0.9，故选D.

4

五、综合提升练

27.当用变化时，不在直线(1-/)x+2,町，-2八〃-2=0上的点构成区域G,尸(x,y)是区域G内的任意一点，

373

则22)的取值范围是

y/iy/x2+y2

A.(1,2)B.C.(；，l)D.(2,3)

【答案】C

【解析】令x=1,y=石，代入直线方程有1-/-2=0而+1=o,无解，故(1,⑹是区域G内的点，将(1,6)

32^,63r:(/r\

代入值为坦，故排除AD选项.若［［彳)'=1,不妨设x=1,代入解得y=叱，将L-

6.&+92行&+y231J

代入直线方程化简得苏+竽加+1=0,其判别式为A=与-4>0,有解，故",不在区域G内，故

36

—X+—V

22.-一排除8选项.综上所述，故选C.

y/3-^x2+y2

28.(2022届重庆市缙云教育联盟高三第二次诊断性检测)设直线系M:xcosO+(y-2)sin6=l(0“42;r),

则下列命题中是真命题的个数是()

①存在一个圆与所有直线相交；

②存在一个圆与所有直线不相交；

③存在一个圆与所有直线相切；

④M中所有直线均经过一个定点；

⑤不存在定点户不在M中的任一条直线上；

⑥对于任意整数〃(“23),存在正“边形，其所有边均在W中的直线上；

⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】根据直线系"：xcos6+（y-2）sine=l（O40V2万）得至U，

所有直线都为圆心为（0,2）,半径为1的圆的切线.

对于①，可取圆心为（0,2）,半径为2的圆，该圆与所有直线相交，所以①正确；

对于②，可取圆心为（0,2）,半径为3的圆，该圆与所有直线不相交，所以②正确；

对于③，可取圆心为（0,2）,半径为1的圆，该圆与所有直线相切，所以③正确；

对于④，所有的直线与一个圆相切，没有过定点，所以④错误；

对于⑤，存在（0,2）不在M中的任一条直线上，所以⑤错误；

对于⑥，可取圆的外接正三角形，其所有边均在M中的直线上，所以⑥正确；

对于⑦，可以在圆的三等分点做圆的三条切线，把其中一条切线平移到过另外两个点中点时，也为正三角

形，但是它与圆的外接正三角形的面积不相等，所以⑦错误；

故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4