2023-2024学年四川省成都东部新区高一年级下册期中考试数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年四川省成都东部新区高一下学期期中考试数学质量检测

模拟试题

一、单选题

1.cos20°COS10°-sin20°sin10°=()

A.sin10B.cos10C.5D.—

22

【正确答案】D

【分析】利用两角和的余弦公式的逆应用直接求解即可.

、、行

【详解】cos20cos100-sin20sin10"=cos(20+10)=cos30=-^-.

故选：D

本题考查了两角和的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.

2.已知向量。=(1,2)力=(l,0),c=(3,4),若4为实数，(b+/la)，c,则一的值为

A.-AB.-UC.1D.乡

11325

【正确答案】A

［分析］根据向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】解：由S+/kf)_Lc,得(6+2。)•，=(),

又。=(L2),b=(1,0),c=(3,4),得b+2.a—(\+A,2A),

3

(b+-c—30+彳)+4x24=0)解得4=-~.

故选：A.

3.命题。：”向量”与向量b的夹角夕为锐角”是命题4：“4力>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】由充分条件和必要条件的定义结合数量积运算分析判断

【详解】若向量a与向量b的夹角。为锐角，则a?=WWcos9>0,

当心6>0时，向量a与向量b的夹角，可能为0°,

所以命题P是命题4的充分不必要条件，

故选：A

JT7T

4.右3cos2a=2sin(——a),a£(—,»)则sin2a的值为()

42

A.一逑B.--C.--D.-

9999

【正确答案】C

【分析】先化简3cos2a=2sin(f-a)得cosa+sina=立，再平方即得解.

43

TT

【详解】因为3cos2a=2sin(二一a),

4

所以3cos2a=2(sin-cosa-cos—sina)=&cosa-拒sina,

44

所以3(cos2a-sin2a)=72(cosa-sina),

所以3(cosa+sina)(cosa-sina)=拒(cosa-sina),

因为aeg7),所以cosa-sinao。，

所以3(cosa+sina)二上，

所以cosa+sina=,

3

2

两边平方得，1+sin2a=§,

7

所以sin2a=-§,

故选：C

本题主要考查三角恒等变换，考查差角的正弦公式，考查二倍角的正弦余弦公式的应用，意在考

查学生对这些知识的理解掌握水平.

5.已知向量。=。,@,0=(3,tan。)，若向量a,b的夹角为器，则6=()

A.0B.-C.-D.-

632

【正确答案】C

【分析】根据平面向量的夹角公式的坐标运算，即可求出结果.

/i\_a,b_3+V3tan0

【详解】由题意可知，…=丽=正向.即J，即tan"G

因为0464兀，所以6=1.

故选：C.

6.在一/lBC中，点M,N满足AM=2MC,BN=NC，MN=xAB+yAC,则x+y=()

A.-B.-C.!D.1

632

【正确答案】B

【分析】由已知得MN=MC+CN=gAC+；CB,由此能求出结果.

MN=MC+CN=-AC+-CB

32

=gAC+g(AB-AC)

=-AB--AC

26

=xAB+yAC，

11

."=5'『

111

.\x+y=------=-

263

故选：B.

7.函数/0)=cos(s+e)的部分图像如图所示，则/(x)的单调递减区间为

13

B.Qki——,2&乃+—),2GZ

44

1313

C.(k—,kH—),kwZD.(2左-+1),%£Z

44

【正确答案】D

171

一0+0=——

4，97T7T

【详解】由五点作图知，｛:；,解得0=乃，所以/(元)=以双门+£),令

53万44

—co+(p=—

42

2k兀<7rxH—<2k兀+7T,kGZ,解得2k—<xv2kH—,kwZ,故单调减区间为2k—2kH—,

44444

ZeZ,故选D.

三角函数图像与性质

8.已知向量”=(x,6),6=(3,4),且d与/，的夹角为锐角，则实数x的取值范围为()

A.[-8,+<»)B.[停,+8)C.-8,5M*+8

D.(-8,+oo)

【正确答案】B

【分析】根据向量夹角为锐角，则数量积为正数从而求得参数的初步范围；再排除向量平行对应

的参数值，即可求得结果.

9

【详解】若〃///?，则4x=18,解得尤=万.

9

因为。与b的夹角为锐角，，天工耳.

又a/=3x+24，由。与。的夹角为锐角，

・・・。力>0，即3x+24>0,解得无>—8.

XVx^l，所以xe(-8，S以(|,+8).

故选.8

本题考查利用数量积由夹角的范围求参数的范围，属基础题.

二、多选题

9.设〃、/八C是任意的非零向量，则下列结论不正确的是()

rrrrrr、

A.0a=0B.(a・4c=a.®c)

C.a-b=0=>aYbD.(a+b).(a-，)=忖-%

【正确答案】AB

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.

【详解】对于A选项，0.a=0,A选项错误；

对于B选项，(；勺；表示与c共线的向量，力；)表示与a共线的向量，但a与c不一定共线,

B选项错误；

对于C选项，a-b=O^alb，C选项正确；

对于D选项，+==忖-卜］,D选项正确.

故选：AB.

本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能

力，属于基础题.

10.如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（）

该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零

C.该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D.该质点的运动周期为0.8s

【正确答案】CD

【分析】由题图求得质点的振动周期可判定A错，D正确；由简谐运动的特点，可判定B错，C

正确.

【详解】对于A,D,由题图可知，质点的运动周期为2X（0.7-0.3）=0.8S,所以A错，D正确;

对于B,C,由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速

度最大，在0」s和0.5s时运动速度为零，故B错，C正确.

综上，CD正确.

故选：CD.

7T

11.如图，YA3c。中，AB=\,AD=2,ZBAD=-,E为C。的中点，AE与DB交于F,则

下列叙述中，一定正确的是（）

AB

numIuun2UUD

A.8F在AB方向上的投影为0B.AF=-AB+-AD

C.法.防=iD.若a=《NEA8,则tana=3

【正确答案】ABC

【分析】由余弦定理以及勾股定理可得3D//W,可判断A,根据平面向量的线性运算以及共线

的性质即可判断B,由数量积的运算律即可求解C,由向量的夹角公式即可判断D.

【详解】对于A,因为=y]AD2+AB2-2AD-ABcosABAD=Vl+4-2=0,

AD2=AB2+BD2，所以班)143,即〈BF,AB〉=90。，8尸在A8上的投影为I"|cos〈8尸,A8〉=0,

故A正确;

对于B,因为AE=AO+OE=AO+^AB,]§：AF=AAE=A(AD+-AB)=AAD+-AAB,

222

1?LILHIiinm7uni

因为8,F,。三点共线，所以；1+整=1,所以4=3,所以AF=；A3+：A。，所以B正确；

12[，212

对于c,AFAB=(-/4B+-AD)AB=-AB-+-ABAD=-+-xlx2x-1=l,CIF确.；

3333332

Fj24~4J1」

对于D,因为|A/q=.—A3-+—AQ-+—AB-AO=三，

丫9993

_AFAB_1_&Tc.

所以3'两两=药=亍，如果tana=正，又因为a=："AB=30。，

亍3

所以NE4B=2«=60。，不满足cos"A8=qi,故D不正确.

故选：ABC

12.将函数〃x)=2cos[n+?)-l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

再把所得函数的图象向右平移。(*>0)个单位长度，最后得到的图象对应的函数为奇函数，则。的

值可以为()

A.HB,1C.2D.2

6663

【正确答案】AC

【分析】本题首先可以将〃x)=2cos2"+11-1转化为/(x)=cos(2G+g),然后通过图象变

换得出函数6(X)=COs"-”+(),最后通过函数/心)=8$[》-”+?)是奇函数即可得出结

果.

【详解】/(x)=2cos2「x+=cosb乃x+g],

所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，得到函数g(x)=cosHx+qJ,

再把所得函数的图象向右平移以9>。)个单位长度，得到函数〃("=8$卜-物+?),

因为函数〃(x)=cos(万尢一0万+:|)是奇函数,所以//(°)=«)$(一夕乃+。)=0,

即一。万+生=己+%万四€Z),解得夕=一［-上，

326

故夕的值可以为U、

66

故选：AC.

本题考查余弦函数的相关性质以及三角函数图象变换，考查二倍角公式的应用，函数V=cos2x的

横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=cosx,再向右平移。个单位长度得到函数y=cos(x-e),

考查推理能力与计算能力，是中档题.

三、填空题

13.函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.

【正确答案】不

【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可.

【详解】解：函数/(x)=2cosx+sinx=石(^y^-cos.r+^-sinx)=>/5sin(x+0),其中tan6=2,

可知函数的最大值为：亚.

故答案为石.

通过配角公式把三角函数化为〉=4"11(5+9)+8的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时

注意观察角、函数名、结构等特征.一般可利用|asinx+bcosx|4>/7寿求最值.

14.定义关于向量的运算法则=无(。+劝)，若帆=(1,2),〃=(2,1),贝IJ

(/〃一〃)《(〃?+“)=.

【正确答案】2

【分析】先计算机-〃=(-1/)，加-"+2(加+〃)=(5,7),再结合新定义转化为计算两者的数量积

即可.

【详解】因为“-"=(-1/)，m-n+2^m+n^=3m+n=(5,7),

=-lx5+lx7=2.

故2

15.已知时=5,万=（2,1知且a"b，则向量°的坐标是.

【正确答案】（2技扬或（-2底-局

【分析】先设“=",〉），根据题中条件，列出方程组，求解，即可得出结果.

【详解】设”=（x,y）,

因为Ia1=5,1=(2,1),且a///?,

x-2y=0x=2#)

所以解得

x2+y2=25)=6

因此向量”的坐标是（2行,石）或（-26,-石）.

故答案为（20，右）或（-2石,-石）

本题主要考查向量的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.

16.已知函数/（x）=sin卜+今），其中xG-y,a,若/（x）的值域是一；/，则实数。的

取值范围是.

【正确答案】?，万

【分析】由已知得》+£右卜1，〃+£],建立关于a的不等式可得答案.

6L6o

【详解】VxE-,.\x+^e~~7,a+T，

3」66o

•••/（x）的值域为「一:』，所以gwa+gwg,解得£为女.

2J2663

।J万

故石'".

本题考查正弦型函数的值域，属于基础题.

四、解答题

17.已知单位向量a,8满足（2"3。）（2。+/?）=3.

（1）求a.b;

（2）求忸M的值.

【正确答案】a）-g；（2）板.

【分析】（1）利用单位向量的定义、数量积运算性质即可得出;

(2)利用数量积运算性质，即可求得答案.

【详解】⑴由条件4a2+24%—6d4—3万2=3,

即4-4。万-3=3，

,1

ab=——

2

(2)\2a-b^=4/-44加+62=4+1-4*(_；)=7,

/.\2a-b\=>/l

本题主要考查了求向量的数量积和向量模，解题关键是掌握向量的基础知识，考查了分析能力和

计算能力，属于基础题.

18.已知函数/(x)=6cos(2x-1)-2sinXCOSX.

(1)求/(X)的最小正周期；

jrrr

(2)求当xe时，/(x)的值域.

【正确答案】(1)乃；(2).

【分析】(1)展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；

(2)由x的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求/(x)的值域.

【详解】(1)/(》)=Geos(2x-()-2sinXCOSX

=A/3—cos2x+sin2x-sin2x

22

\7

6cl.c/

=——cos2x+—sin2x=sin2x+一,

22L3)

_24

T=—=71,

2

\f(x)的最小正周期为万；

,、「4/r],龙■「454

(2)xe--2x+e,

44J366一

,■.-l<sin^2x+^<l,\f(x)的值域是一；,1.

本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差

公式、二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题.

19.已知点A(L1),B(2,lnf),0为坐标原点

(1)若A,B,。无法构成三角形，求，；

(2)若一AB。为直角三角形，求r.

【正确答案】(Dye?

⑵r=l或f=±

e-

【分析】(1)根据向量共线的坐标运算即可求解，

(2)由向量垂直的坐标运算即可列式求解.

【详解】(1)若A,B,。无法构成三角形，则三个点在一条直线上，故04〃08,又

CM=(1,1),03=(2,Inf),所以lnr=2?te2,故

(2)若角。为直角，则OALOB，由。4=(1』),。8=(2,1叫得。4?。82+【nf=0?/

若角A为直角,则04_LA8，由。4=(l,l),AB=(l,ln"1)得OA?AB1+lnr-1=0?t1.

角B为直角,则08AA3，由08=(2,1皿),钻=(1,血-1)得08?回2+叫1m-1)=0,由于

2

ln2r-lnr+2=-+->0,此时方程无实数根,

24

综上f=1或f=二

e~

20.如图，。是坐标原点，M,N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限;

(1)证明：cos^a-0)=cosacos+sincrsinp；

(提示：设ON为a的终边，为夕的终边，则N两点的坐标可表示为(cosQ,sin⑶和

(cosa,sina))

⑵求|OM+ON|的范围.

【正确答案】(i)证明见解析；

⑵［。词

【分析】(1)设ON为a的终边，。“为尸的终边，则M,N两点的坐标可表示为(cos/,sin尸)和

(cosa,sina),令。"与0M的夹角为8,则9=2E+a-£,keZ,从而利用向量的数量积结合诱

导公式即可证明；

⑵令ON与OM的夹角为。，可得l<"兀，利用|OM+CW『=(OM+ON。再结合余弦函数

的性质即可求解.

【详解】(1)证明：如图，设ON为a的终边，OM为尸的终边，则用，N两点的坐标可表示为

(cos/,sin/?)和(cosa,sina)

则ON=(cosa,sina),0M=(cos0,sinp),

ONOM=(cosa,sina)(cosB，sin/?)=cosacos£+sinasinp

设ON与。M的夹角为e，则e=2E+a-/?,keZ,

且0N0M=|ON||OM|cose=cos6

/.cos0=cos(cr-(3)=cosacos/?+sincrsin/3,

故cos(a_0)=cosacos/+sinasin/?成立.

(2)令ON与OM的夹角为巴

因为M,N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，

所以］<64限

I|2.2.2

|0M+0N［=0M+20M0N+0N=2+2cos6,

TT

—<0<TI,-1<cos6<0,/.0W2+2cos0<2,

2

所以04口知+0叫<0,

故|OM+CW|的范围为［0,⑹.

21.如图，在扇形。22中，半径。尸=1,圆心角NPOQ==，C是扇形弧上的动点，矩形45co

内接于扇形，记NPOC=。，求当a取何值时，矩形A8CD的面积最大？并求出最大面积.

Q

【正确答案】a=三，矩形ABC。的面积最大，为受二L

【分析】由题意可得A8=cosa-sina,BC=sina,从而可得矩形48co的面积

S="sin(2a+K)-1，再由0<a<:可得：<2c+£〈学，由此可得当2a+£=］时，S取得最

242444442

大值.

【详解】在RIZXO8C中，fiC=sina,OB=cosa,

在RtA/lDO中，=tan—=1,

OA4

所以OA=A£>=8C=sina,

所以AB=OB-OA=cosa-sinaf

设矩形ABC。的面积为S,则

2

S=AB・BC=(cosa-sina)•sina=sinacosa—sina

1.„1c1夜.，c兀、1

=-sin2a+-cos2a——=——sin(2a+—)——,

222242

由Ova〈工，#-<2a+-<—,

4444

所以当2a+：q,即"轲，S”舁，

因此，当a=［时，矩形ABC。的面积，最大面积为也二1.

82

22.已知向量。=(",cos2x),/?=(sin2x,H),设函数=且y=f(x)的图象过点哈，扬

和点-2)