山东省青岛六校联考2023-2024学年数学九年级上册期末监测试题含解析

山东省青岛六校联考2023-2024学年数学九上期末监测试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.在RtAABC中，cosA=-,那么sinA的值是（）

2

A.巫B.3C.3

223

3.已知二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，下列结i论：①abc>l；②b?-4ac>l；③2a+b=l；④a-b+cVL其

中正确的结论有（）

C.3个D.4个

4.已知抛物线》=4必+版+，（a<0）与x轴交于点4（-1,0）,与y轴的交点在（0,2）,（0,3）之间（包含端点）,

2

顶点坐标为（1,则下列结论：①4a+25V0；②-1%=-];③对于任意实数wi,a+bNamXbm息成'立;④关于

x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，在ABC中，AB=AC,NC43=90，已知A（2,0）,B（0,l）,把ABC沿x轴负方向向左平移到A'B'C'

的位置，此时弘。在同一双曲线y=丄上，则攵的值为（）

6.关于x的二次函数了=好-，内+5,当於1时，y随x的增大而增大，则实数，”的取值范围是（）

A.m<2B.m=2C・m<2D.m>2

7.在x2[：2xy[I]y2的空格口中，分别填上“+”或，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是（）

8.如图，在R3ABC中，ZC=90°,若AB=5,AC=4,贝!JcosB的值（）

9.如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CALAB,P£>丄AC于点。，连接AP,设Alx,PA-PD=y,

则下列函数图象能反映》与x之间关系的是（）

A.

10.将二次函数y=2/的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（）

A.y=2(x+2)2+3B.y=2(x+2六3

C.y=2(x-2>-3D.y=2(x-2>+3

11.如图，正方形ABCO的边长是3,BP=CQ,连接AQ、DP交于点0,并分别与边C。、BC交于点F、E,

[3

连接AE,下列结论：①AQ丄。P；②。42=0。-0尸；③=S四边彩OECF；④当8P=1时，=—•正确结

0A16

论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.点P（x-1,x+1）不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，PA.PB是。。的两条切线，点4、8为切点，点C在。。上，且NACB=55°,贝!|NAP8=—°.

A

14.如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F,则鼠BEF:§AABF:^AADF:S四边形CDFE

15.如图，。。是△ABC的外接圆，AD是。O的直径，若。。的半径是4,sinB=丄，则线段AC的长为___

4

16.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，

商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每

天要赢利120（）元，设每件衬衫应降价x元，则所列方程为.（不用化简）

17.方程好-2*+1=0的根是.

18.如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片45c中，将5角折起，使点3落在AC边上的点。（不与点A,

C重合）处，折痕是EF.

24

如图2,当。=丄4。时，tana2=』；

312

17

如图3,当CO=—AC时，tanaa=一；

424

依此类推，当。=丄4。（〃为正整数）时，tana„=.

7

三、解答题（共78分）

19.（8分）一个不透明的口袋中有1个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数-1,2,-3,1.

（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为.

（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两

次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率.

20.（8分）如图，已知：抛物线丁=。（尤+1）（尤—3）交x轴于A,C两点，交y轴于点8,且O8=2CO.

⑴求二次函数解析式；

⑵在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、

〃两点，当四边形MNA/G为矩形时，求该矩形周长的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点尸，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说

明理由.

21.（8分）如图，点A在）'轴正半轴上，点8（4,2）是反比例函数图象上的一点，且tanNOA5=l.过点A作AC丄y

轴交反比例函数图象于点C.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）求点。的坐标.

22.（10分）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：

莱昂哈德•欧拉（Leo"/?ardEMer）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧

拉发现的一个定理:在厶ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心，则Q/2=戸一2Rr.

如图1,。。和OI分别是AABC的外接圆和内切圆，OI与AB相切分于点F,设。。的半径为R,的半径为r,外

心0（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI=d,则有d2=R2-2Rr.

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交。O于点D,过点I作。。的直径MN,连接DM,AN.

VZD=ZN,NDMI=NNAI（同弧所对的圆周角相等），

.,.△MDI^AANL

.IMID

••=9

IAIN

:.IA」D=IMIN①,

如图2,在图1（隐去MD,AN）的基础上作。O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF,

VDE是。O的直径，:.ZDBE=90°,

VOI与AB相切于点F,ZAFI=90°,

，NDBE=NIFA,

•••/BAD=NE（同弧所对圆周角相等），

.,.△AIF<^AEDB,

IAIF

,；.IABD=DEIF②,

DEBD

任务：（1）观察发现：IM=R+d,IN=（用含R,d的代数式表示）；

⑵请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1）,（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm,则AABC的外心与内心之间的距离为cm.

23.（10分）已知关于x的方程混一（2加一1）%+加一2=0.

（1）当初取何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）若占、々为方程的两个不等实数根，且满足才+*-占％2=2,求加的值.

24.（10分）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元.

根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平

均每件利润减少2元.设每天安排x人生产乙产品.

（1）根据信息填表:

产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）

甲——15

XX

乙—

（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润.

25.（12分）在平面直角坐标系中，直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=a》2+bx+c（a<0）经过点A,

（1）求a、b满足的关系式及c的值,

（2）当x<0时，若y=ax2+bx+c（a<0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围，

（3）如图，当a=T时，在抛物线上是否存在点P,使aPAB的面积为丄？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标;

2

若不存在，请说明理由，

26.甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：

根据以上信息，整理分析数据如下:

平均成绩/环中位数/环众数/环方差

甲a771.2

乙7b8C

(1)a=；b=；c

(2)填空:(填“甲”或“乙”).

①从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是—

②从平均数和众数的角度来比较，成绩较好的是

③成绩相对较稳定的是.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、B

【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可.

【详解】:「RtAABC中,cosA=-，

2

sinA=-71—cos2A

故选B.

【点睛】

本题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键.

2、C

【分析】根据图中符号所处的位置关系作答.

【详解】解：从立体图形可以看出这X,菱形和圆都是相邻的关系，故B,D错误，当x在上面，菱形在前面时，圆在

右边，故A错误，C正确.

故选C.

【点睛】

此题主要考查了展开图折叠成几何体，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养.

3、C

【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定

C的取值范围，根据抛物线与X轴是否有交点确定b2-4ac的取值范围，根据x=-1函数值可以判断.

【详解】解：抛物线开口向下，

:.a<0,

对称轴x=一■—=1,

2a

:.b>0,

抛物线与)’轴的交点在x轴的上方，

/.c>0>

:.abc<0,故①错误；

抛物线与x轴有两个交点，

b2—4ac>0>故②正确；

对称轴X=-~—=1,

2a

2a=-b,

.'.2a+b=0,故③正确；

根据图象可知，当x=—l时，y=a-b+c<0,故④正确；

故选：C.

【点睛】

此题主要考査图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2。与。的关系，以及二次函数与方程之间的转

换，根的判别式的熟练运用是解题关键.

4、C

【解析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a,进而可得出4a+2b=0,结论①错误；

c?

②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a可得出a=--,再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出-1WaW-；,

结论②正确；

③由抛物线的顶点坐标及a<0,可得出n=a+b+c,且neax,bx+c,进而可得出对于任意实数m,a+b'am，bm总成立,

结论③正确；

④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax2+bx+c与直

线y=n-l有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c=n-l有两个不相等的实数根，结合④正确.

【详解】：①•••抛物线产ax'+bx+c的顶点坐标为(1,n),

.,.b--2a,

/•4a+2b=0,结论①错误;

②•抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（T,0）,

.*.a-b+c=3a+c=0,

-a=,£

3

又•.•抛物线戸ax'+bx+c与y轴的交点在（0,2）,（0,3）之间（包含端点），

2

.♦.-IWa这—,结论②正确；

3

③顶点坐标为（1,n）,

n=a+b+c,且n》ax2+bx+c,

,对于任意实数m,a+b,a^+bm总成立，结论③正确；

④..‘抛物线y=ax、bx+c的顶点坐标为（1,n）,

二抛物线y=ax，bx+c与直线y=n只有一个交点，

又,<0,

二抛物线开口向下，

抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-l有两个交点，

关于x的方程ax2+bx+c=n-l有两个不相等的实数根，结合④正确.

故选C.

【点睛】

本题考査了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结

论的正误是解题的关键.

5、C

【分析】作CN丄X轴于点N,根据A4s证明CAN塾ABO,求得点C的坐标；设△ABC沿X轴的负方向平移C个

单位，用c表示出C和B',根据两点都在反比例函数图象上，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式.

【详解】作CN丄x轴于点N,

VA(2,0)、B(0,1).

.,.AO=2,OB=1,

VABAC=ZCNA=ZBAO=90°,

AZCAN=ZABO,

NCM4=N3A0=90°

在RjGW和mABO中，，ZCAN=NABO

AB=AC

；.RtCAN合RtABO(AAS'),

:.AN-BO-LC/V=AO-2,NO=NA+AO-3>

又•.•点c在第一象限，

；.C(3,2)；

设aABC沿x轴的负方向平移c个单位，

则C'(3-c,2),则B'(-c,l),

又点C'和B'在该比例函数图象上，

k

把点C和9的坐标分别代入y=一,

x

得Z=2(3-c)=-c,

解得：c=6,

・'・k=—6,

故选：C.

【点睛】

本题是反比例函数与几何的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，利用待

定系数法求函数解析式，平移的性质.

6、C

【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可.

【详解】解：二次函数y=x2a+5的开口向上，对称轴是工=万，

•.•当时，y随x的增大而增大,

解得，mW2,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

7、C

【解析】能够凑成完全平方公式，则2盯前可是“一”，也可以是“+”，但炉前面的符号一定是：“+”，此题总共有

21

（一，一）、（+,+）、（+,一）、（一，+）四种情况，能构成完全平方公式的有2种，所以概率为：一=一.

42

故答案为C

点睛：让填上“+”或“一”后成为完全平方公式的情况数除以总情况数即为所求的概率.

此题考查完全平方公式与概率的综合应用，注意完全平方公式的形式.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数

之比.

8、B

【分析】先由勾股定理求得BC的长，再由锐角三角函数的定义求出cosB即可;

【详解】由题意得BC=JAB2_AC2=552—42=3,

,BC3

贝n!!cosB=-----=—；

AB5

故答案为：B.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握勾股定理，锐角三角函数的定义是解题的关键.

9,C

AP1

【解析】设圆的半径为R,连接心,求出sinNABP=「=）x,根据CA丄AB,求出

2R2A

PD=APsina=xx—=—x2,即可求出函数的解析式为y=PA-PD=~~x2+x.

2R2R2R

【详解】设：圆的半径为R,连接依，

AP1

贝！IsinNABP~2R—X,

2R

CAA.AB,即AC是圆的切线，则NPD4=NP84=a,

则PD=APsina=xx-=—x2

2R2R

则y=PA-PD=~~x2+x

27?

图象为开口向下的抛物线，

故选：C.

【点睛】

本题考査了圆、三角函数的应用,熟练掌握函数图像是解题的关键.

10、C

【分析】根据平移的规律进行求解即可得答案.

【详解】将二次函数y=2/的图象向右平移2个单位，可得：y=2(x-2)2

再向下平移3个单位，可得：y=2(x-2)2-3

故答案为：C.

【点睛】

本题考査了平移的规律：上加下减，最加右减，注意上下平移动括号外的，左右平移动括号里的.

11、D

【分析】由四边形A8CO是正方形，得至!]ZDAB=ZABC=90°,即可证明△£)?!尸丝厶旬。，根据全等

三角形的性质得到NP=N。，根据余角的性质得到4。丄OP;故①正确；根据相似三角形的性质得到4。2=。。.。尸，

故②正确；根据△CQF纟/kBPE,得到SAC2F=SZUM>E,根据尸纟△A8Q,得到SAZM片SAAB。，即可得到SAAO“=S四

边殄。ECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE的长，进而求得QE的长，证明△Q0ES△尸04,根据相似三角

形对应边成比例即可判断④正确，即可得到结论.

【详解】1•四边形ABC。是正方形，

：.AD=BC=AB,ZDAB=ZABC=90°.

'：BP=CQ,

：.AP=BQ.

AD=AB

在△O4P与△ABQ中，ZDAP=ZABQ,

AP=BQ

.,.△/MP纟△ABQ,

；.NP=NQ.

'：ZQ+ZQAB=9d°,

AZP+ZQAB=90°,

AZAOP=90"，

：.AQ±DP；

故①正确；

VZDOA=ZAOP=90°,ZADO+ZP=ZADO+ZDA0=90°,

：.ZDAO=ZP,

:.△DAOs^APO,

.AOOP

••=9

ODOA

：.AO2=OD^OP.故②正确；

"FCQ=NEBP

在厶。。厂与aBPE中，V<ZQ=ZP,

CQ=BP

：.£\CQF^^BPE,

S/^CQF=S^BPE.

,.•△ZMP纟△A5Q,

••SA"4P=SAAB°,

:.S^AOI)=S四边形OECF；故③正确；

•；BP=1,AB=3,

.*.AP=1.

VZP=ZP,NEBP=NDAP=90°,

:.APBEsAPAD,

.PBPA4

•**------=-------=-9

EBDA3

,:NQ=NP,ZQOE=ZPOA=90°,

:.AgOEsAPOA,

13

:.OE_QE_4,

OA~AP~4

故④正确.

0A16

故选：D.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质

是解答本题的关键.

12、D

【解析】本题可以转化为不等式组的问题，看下列不等式组哪个无解，

(1)x-l>0,x+l>0,解得x>L故x-l>0,x+l>0,点在第一象限；

(2)x-l<0,x+l<0,解得xV-1,故x-lVO,x+lVO,点在第三象限；

(3)x-l>0,x+l<0,无解；

(4)x-l<0,x+l>0,解得-IVxVl,故x-lVO,x+l>0,点在第二象限.

故点P不能在第四象限，故选D.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、70°

【分析】连接OA、OB,根据圆周角定理求得NAOB,由切线的性质求出NOAP=NOBP=90。，再由四边形的内角和

等于360°,即可得出答案

【详解】解：连接OA、OB,ZACB=55°,

.,.ZAOB=110°

•.•PA、PB是。O的两条切线，点A、B为切点，

:.ZOAP=ZOBP=90°

":ZAPB+ZOAP+ZAOB+ZOBP=360°

:.ZAPB=180°-(ZOAP+ZAOB+ZOBP)=70°

故答案为：70

【点睛】

本题考査了切线的性质、四边形的内角和定理以及圆周角定理，利用切线性质和圆周角定理求出角的度数是解题的关

键

14、1：3:9：11或4：6:9：H

【分析】分或=两种情况解答，根据平行得出Afi所ADAF,由面积比等于相似比是平方，得

33

出4BEF与4DAF的面积比，再根据面积公式得出ABEF与4ABF的面积比，根据图形得出四边形CDFE与4BEF

的面积关系，最后求面积比即可.

【详解】解：E为8C三等分点，则8£=丄3。或CE=：8C

33

①屍=斜。时，箓箓

\ADllBC

:.NBEFAZMF

.BEBFEF_1

\\D~~DF~~AF~3

=$BEF=EF=1

"SADF（AD）9飞痴AF3

设SBEF=s,贝！ISABF=3s,S从。尸二%，S四边形CDFE=9s+3s-s=1Is

•・SBEF:Sabf-ADF:S四边形CD尸石=1:3:9:11

②CE='C时,箓=|BE

~AD

同理可得泮喘相豊鳴2

3

设SBEF=4s,则SABF=6s,S.ADF=9s，S四边形CDFE=%+6S—4s=1IS

•・S.BEF：SABF：SADF-S四边形CDFE=4:6:9:11

【点睛】

本题考査相似三角形面积比等于相似比的平方及面积公式，得出图形之间的关系是解答此题的关键.

15、1.

【分析】连结CD如图，根据圆周角定理得到NACD=90。，ZD=ZB,贝!JsinD=sinB=丄，然后在RtAACD中利用ND

4

的正弦可计算出AC的长.

【详解】解：连结CD,如图，

------

A

O

D

TAD是。O的直径,

:.ZACD=90°,

VZD=ZB,

:.sinD=sinB=—,

4

在RtAACD中，

AC1

■:sinD=-----=—,

AD4

11

.*.AC=-AD=-x8=l.

44

故答案为1.

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.

16、（40-x）（2x+20）=1200

【解析】试题解析：每件衬衫的利润：40-x.

销售量：20+2%.

.,方程为：（40-x）（2x+20）=1200.

故答案为：（40—x）（2x+20）=1200.

点睛：这个题目属于一元二次方程的实际应用，利用销售量x每件利润=总利润，列出方程即可.

17、=X2=1

【解析】方程左边利用完全平方公式变形，开方即可求出解.

【详解】解：方程变形得：（X-1）2=0,

解得：X1=X2=1.

故答案是：X1=X2=1.

【点睛】

考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1,常数项移到方程右边，然后两边

都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平•方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解.

13

18、—

84

【分析】探究规律，利用规律解决问题即可.

【详解】观察可知，正切值的分子是3,5,7,9,…，2n+l,

(2〃+1)2-1(2n+l)2+l

分母与勾股数有关系,分别是勾股数3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41；2n+l,

22

中的中间一个.

1On_1

当CD=—AC时，tana.=—厂J,

3n1n2n(n+1)'

13

将n=7代入得，tanoi6=—

84

13

故答案为：—

84

【点睛】

本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型.

三、解答题(共78分)

19、(1)-；(2)-

23

【分析】(1)直接利用概率公式计算；

(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数，然后根据公

式求解.

21

【详解】(1)摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率=一=一；

42

故答案为—；

(2)画树状图为：

-12-34

/T\/N/N/N

2-34-1-34-124-12-3

共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8,

Q2

所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率=£•=一.

123

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是掌握列表法与树状图法求公式.

20、(1)y=—X2H—x+2；(2)—；(3)(1,-3)或(1,一)或(1,1+-^3)或(1，1-)

3332

【分析】(1)利用待定系数法求出A、B、C的坐标，然后把B点坐标代入y=a(x+l)(x-3),求出a的值，并化简

二次函数式即可；

2474

2

(2)设点M的坐标为(m,--m+-m+2),则点N的坐标为(2-m—：7m?十十2),可得

3333

MN=m—2+m=2m—2,GM=--m2+-/n+2,利用矩形MNHG的周长=2MN+2GM,化简可得

33

9即当x=7时，C有最大值，最大值为

32323

(3)分三种情况讨论：①点P在AB的下方，②点P在AB的上方，③以AB为直径作圆与对称轴交，分别讨论得出

结果即可.

【详解】⑴对于抛物线y=a(x+1)(x-3),

令y=0,得到a(x+1)(x-3)=0,

解得x=-l或3,

AC(-1,0),A(3,0),

.*.OC=b

VOB=2OC=2,

AB(0,2),

2

把B(0,2)代入y=a(x+1)(x-3)中得：2=-3a,a=-y

2

丄二次函数解析式为y=--U+l)(x-3)

24g

=----X2H-X+2

33

2c4

(2)设点M的坐标为(“厶zn2+—AH+2),

33

24

则点N的坐标为(2・/n,--/722+-7H+2),

33

24

MN=m-2+m=2m-2,GM=-9-+二6+2

33

矩形MNHG的周长C=2MN+2GM

、2)4

=2(2/n-2)+2(----m~+—m+2')

33

4220

=----m"-\-----m

33

4,5、225

323

525

・・・当工=彳时，C有最大值，最大值为

(3)VA(3,0),B(0,2),

.\OA=3,OB=2,

由对称得：抛物线的对称轴是：x=L

AAE=3-1=2,

设抛物线的对称轴与x轴相交于点E,当aABP为直角三角形时，存在以下三种情况:

①如图1,

...NPAE=NABO,

VZAOB=ZAEP,

.,.△ABO<^APAE,

BOAE22

:.--------,即an——----

AOEP3PE

，PE=3,

AP(1,-3)；

当NPBA=90。时，点P在AB的上方，过P作PF丄y轴于F,

同理得：△PFBs^BOA,

PFOB12

.•---=----,即an-----，

BFOABF3

以AB为直径作圆与对称轴交于Pi、P2,贝！JNAPIB=NAP2B=90。,

设PI(1,y),

VAB2=22+32=13,

由勾股定理得：AB2=P|B2+P|A2,

.•.[12+(y-2)2]+[(3-1)2+/]=13,

解得：)=1士也,

AP（1,1+百）或（L1-73）

7

综上所述，点P的坐标为（1,-3）或（1,万）或（1,1+6）或（1,1-6）

【点睛】

本题考査二次函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的性质、三角形相似的性质和判定、勾股定理等知识，解题

的关键是灵活运用学过的知识解决问题，学会构建二次函数，利用配方法确定线段的最值，与方程相结合，并利用分

类讨论的思想.

21、（1）y=勻；（2）（扌6）

【分析】（1）设反比例函数的表达式为y=8,将点B的坐标代入即可;

（2）过点3作丄A0于点。，根据点B的坐标即可得出80=4,。0=2,然后根据tan/Q4B=l,即可求出

AD,从而求出AO的长即点C的纵坐标，代入解析式，即可求出点C的坐标.

【详解】解：(1)设反比例函数的表达式为y=幺,

X

•.•点8(4,2)在反比例函数图象上，

ck

2—.

4

解得去=8.

O

...反比例函数的表达式为y=2.

x

(2)过点3作丄AO于点。.

•••点8的坐标为(4,2),

:•BD=4,DO=2.

or\

在RtZkABZ)中，tanZ.OAB=----=1,

AD

二AZ)=BD=4.

:.AO=AD+DO=6.

•.•AC丄)，轴，

.•.点C的纵坐标为6.

84

将y=6代入y=—,得x=；.

x3

(4)

...点。的纵坐标为-,6.

IJ)

【点睛】

此题考查的是反比例函数与图形的综合题，掌握用待定系数法求反比例函数的解析式和利用锐角三角函数解直角三角

形是解决此题的关键.

22、(l)R-d；(2)BD=ID,理由见解析；(3)见解析；(4)君.

【解析】⑴直接观察可得；

(2)由三角形内心的性质可得NBAD=NCAD,ZCBI=ZABL由圆周角定理可得NDBC=NCAD,再根据三角形外角

的性质即可求得NBID=NDBL继而可证得BD=ID；

⑶应用⑴⑵结论即可；

(4)直接代入结论进行计算即可.

【详解】(1)；0、I、N三点共线，

.,.OI+IN=ON,

.,.IN=ON-OI=R-d,

故答案为：R-d；

(2)BD=ID,理由如下：

1•点1是厶ABC的内心，

.,.ZBAD=ZCAD,ZCBI=ZABL

VZDBC=ZCAD,NBID=NBAD+NABLZDBI=ZDBC+ZCBL

.,.ZBID=ZDBL

；.BD=ID；

(3)由(2)知：BD=ID,

又IA」D=1M7N,IABD=DEIF,

.,.DEIF=IMIN,

A2Rr=(R+d)(R-d),

二戸一屋=26

:.d?=R?-2Rr;

(4)由(3)知：d?=片-2Rr，

把R=5,r=2代入得：d2=52-2x5x2=5,

Vd>0,

：.(1=小，

故答案为：石.

【点睛】

本题是圆综合题，主要考査了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，三角形外角性质等,

综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.

23、(1)当机〉且加时，方程有两个不相等的实数根；(2)V2+1

【分析】(1)由方程有两个不相等的实数根，可得/=尸-4ac>0,继而求得m的取值范围;

（2）由根与系数的关系，可得％+々和%/，再根据已知得到方程并解方程即可得到答案.

【详解】（1）关于x的方程小£一（2加一1）%+〃?-2=0

a=m,。=一（2〃？-1）,c=m-2,

V方程有两个不相等的实数根，

A=b1-4ac=1）1-4nz（m-2）＞0,

解得：tn＞一--,

4

•・•二次项系数。。（），

••ITL工0,

.•.当机＞-丄且帆H0时，方程有两个不相等的实数根；

4

（2）•••%、%为方程的两个不等实数根，

b2m-1cm-2

••X|4-%2=-----=----------，%W=—=---------9

amam

2m-1Y3（m-2）

------------------------=2

m丿m

解得：IT\=V24-1,〃=—+1（不合题意，舍去）,

m—＞/2+1•

【点睛】

本题考查了根的判别式以及根与系数的关系.注意当/=〃—4改＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；注意若

be

%、%是一兀二次方程or2+fex+c=O（aWO）的两根时，玉+/=---，xx.

a12a

24、⑴65-x,130-2x,130-2x；（2）每件乙产品可获得的利润是HO元.

【分析】（1）根据题意即可列出代数式；

（2）根据题意列出方程即可求解.

【详解】解：。）由己知，每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有（65-X）人，共生产甲产品

2（65-x）=130-2x件.在乙每件120元获利的基础上，增加X人，利润减少2x元每件，则乙产品的每件利润为

120-2（x-5）=130-2x.

故答案为：65—x;130—2x;130-2%

(2)由题意

15x2(65-x)=x(130-2x)+550

x2-80x+700=0

解得％=10,々=70(不合题意，舍去)

130—2x=110(元)

答:每件乙产品可获得的利润是110元

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系