2022-2023学年天津市南开中学高三年级下册第四次月考数学试题

2023届高三第四次月考

数学

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1,已知集合0={1，2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则集合A（”）=（）

A.{1}B.{2}C.{1,2,5}D.

{1,2,3,4)

2.“lga>lgZ?”是“(a-2)3>(/?-2)3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分又不必要条件

„2

3.函数〃6=中■的图象大致为()

4.学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩（单位：分）分别是：

73,74,76,82,82,87,90,91,92,94,96,98,则这12名学生成绩的75%分位数是（）.

A.92B.87C.93D.91

/]0.62

5.已知。=—,b=log±--,c=4,则a,b,c的大小关系是（）.

[223

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<c<bD.h<c<a

6.已知一个正四棱柱所有棱长均为3,若该正四棱柱内接于半球体，即正四棱柱的上底面的

四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则半球体的体积为（）.

A生色兀B.54&C.27逐兀D.

2

276兀

7已知函数/（x）=cos2x+2sinxcosx（xwR）,有下述三个结论：

①/（力的最小正周期是万；

②“X）在区间（看马上单调递减；

③将/（x）的图象上所有点向左平行移动g个单位长度后,得到函数g（力=血sin2x的图

O

象.

其中所有正确结论的编号是（）

A①B.②C.①②D.①②③

22

8.已知双曲线:一与=l（a>0/>0）的右焦点尸与抛物线的焦点重合，过户作

a~b~

与一条渐近线平行的直线/,交另一条渐近线于点A,交抛物线y2=8x的准线于点B,若

三角形AO8（。为原点）的面积36，则双曲线的方程为（）

2222

A,土-士=1B,工-匕=1C.-——V2=1D.

1244123-

9

r2尸一1

3

9.已知函数=2%+4X2-8X，0<%<2,若函数g(x)=a|.f(x)|+l有4个零

x1-2x-\,x<OWu>2

点，则实数。的取值范围是（）.

B.(-1,0)0-?0

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.复数z满足五=3+4i（i是虚数单位），则复数z为.

11.在（«-十）的展开式中，石的系数是.

12.直线/经过点尸（5,5）且和圆C：f+y2=25相交，截得弦长为4逐，则/的方程

是.

13.某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题.第一个问题回答

正确得10分，回答错误得。分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问

题回答正确得30分，回答错误得-20分.规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于

、2

30分就算闯关成功.若某位选手回答前两个问题正确的概率都是耳，回答第三个问题正确

的概率是且各题回答正确与否相互之间没有影响.则该选手仅回答正确两个问题的概率

是;该选手闯关成功的概率是.

14.已知a〉0,b>0,a+b^l,则5a+〃+4"2的最小值为.

ah

15.如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，且=则

DPBP=，若点M为线段8D（含端点）上的动点，则M尸的最小值为

三、解答题：

4

16.在—ABC中，角所对的边分别为a,Z\c.己知a=5,6=6,cosB=-y.

（1）求A的值；

（2）求c的值;

（3）求sin（23+A）的值.

17.如图所示的几何体中，四边形4BCD为矩形，A/7,平面A8CD,EF//AB,A£>=2,

AB=AF=2EF=1，点尸为棱。厂的中点.

(1)求证：8E〃平面APC；

(2)求直线OE与平面BCF所成角的正弦值；

(3)求平面ACP与平面BC尸的夹角的余弦值.

2y1

18.已知椭圆。：二+=l（Q>〃>0）其离心率为右焦点为尸，两焦点与短轴两端

arb2

点围成的四边形面积为2G.

(1)求椭圆。的标准方程：

(2)直线/与椭圆有唯一的公共点M在第一象限，此直线/与y轴的正半轴交于点N,

3

直线NF与直线OM交于点P且S&OFP=~S^OFN，求直线/的斜率.

19.设{q}是公比大于0的等比数列，也}是等差数列，已知4=1,%=勺+2,

4=4+4，a5=b4+2b6.

(1)求数列{q},数列出}的通项公式；

(2)设c.=(—1)。也+(合)(：；+1)，求数列{%}的前2〃项和

20.已知函数/(x)=lnx+or,在点«处的切线方程为y=3x-l.

(1)求”的值；

(2)已知左《2,当x>l时，+恒成立，求实数々的取值范围；

(3)对于在(0』)中的任意一个常数〃，是否存在正数%,使得6小则--2+|片<i,请

说明理由.

2023届高三第四次月考

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合"={12345},A={1,2},B={2,3,4}；则集合A的)=()

A.{1}B,{2}C.{1,2,5}D.

{1,2,3,4)

【答案】A

2.“尼。>尼匕”是“((7—2)3>S—2)3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

„2

3.函数/（»=中■的图象大致为（）

【答案】c

4.学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩（单位：分）分别是：

73,74,76,82,82,87,90,91,92,94,96,98,则这12名学生成绩的75%分位数是（）.

A.92B.87C.93D.91

【答案】C

1、-0.62

-,b=log,-,c=4/，则a也C的大小关系是（）.

（2）23

A.c<b<aB.h<a<c

C.a<c<bD.h<c<a

【答案】B

6.已知一个正四棱柱所有棱长均为3,若该正四棱柱内接于半球体，即正四棱柱的上底面的

四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则半球体的体积为（）.

A.旦旦乳B.54石兀C.27瓜nD.

2

27届

【答案】A

7.已知函数/（%）=以%2为+25111%以九%（工611）,有下述三个结论:

①/（x）的最小正周期是乃；

②/（X）在区间（%■，］■

上单调递减;

③将/（x）的图象上所有点向左平行移动二个单位长度后，得到函数g（x）=&sin2x的图

象.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

【答案】C

22

8.已知双曲线:一与=l（a>0/>0）的右焦点尸与抛物线的焦点重合，过户作

a~b~

与一条渐近线平行的直线/,交另一条渐近线于点A,交抛物线V=8x的准线于点B,若

三角形AO8（。为原点）的面积36，则双曲线的方程为（）

2222

A,土-士=1B,工-匕=1C.-——V2=1D.

1244123-

9

r2尸一1

3

【答案】D

9.已知函数/(x)=/-X+©2_8X，<X<,若函数g(x)=4/(x)|+］有4个零

x2-2x-l,x<0或x>2

点，则实数。的取值范围是（）.

B.(-l,0)of-1-,0

【答案】A

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10,复数z满足石=3+4i（i是虚数单位），则复数z为.

【答案】4+3i

11.在的展开式中，石的系数是.

7

【答案】一

3

12.直线/经过点P（5,5）且和圆C：f+y2=25相交，截得弦长为46，则/的方程

是______

【答案】x—2y+5=0或2x—y—5=0

13.某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题.第一个问题回答

正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分：第三个问

题回答正确得30分，回答错误得-20分.规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于

2

30分就算闯关成功.若某位选手回答前两个问题正确的概率都是g,回答第三个问题正确

的概率是，，且各题回答正确与否相互之间没有影响.则该选手仅回答正确两个问题的概率

是;该选手闯关成功的概率是.

41

【答案】y

14.已知。>0,b>0,a+h=\,则5"'+4"二的最小值为

ab

【答案】12

2

15.如图，在边长为1的正方形ABC。中，P是对角线AC上一点，且=则

DP-BP=，若点例为线段8。（含端点）上的动点，则“p.MB的最小值为

121

【答案】①.——②.——

258

三、解答题：

4

16.在一ABC中，角所对的边分别为a,Z?,c.已知。=5,b=6,cosB=-y

(1)求A的值;

(2)求。的值;

(3)求sin（23+A）的值.

71

【答案】（1）-

6

⑵3百一4

(3)7-246

50

【解析】

31

【分析】（1）先求出sinB=-,利用正弦定理求出sinA=—，即可求出A；

52

（2）先利用和差角公式求出sinC=拽二利用正弦定理求出c；

10

（3）利用二倍角公式和和差角公式即可求解.

【小问I详解】

4/I--------3

因为cos8=——,BG(0,乃)，所以sinB=A/1-COS2B

5

56

因为。=5,/?=6,由正弦定理一区—W：sinA3,所以sinA=7.

sinAsinBi2

因为Ae(O,%),a<b,所以A=色.

6

【小问2详解】

,,、，.C3,71

由(1)知：sinfi——,A.——

56

因为A+B+C=不，所以sinC=sin[zr—(A+B)]=sin(A+8)

=sinAcosB+cosAsinB=­x

2

u36-4

6x_______

由正弦定理上-=」一得：，=她吧=——-W—=3^-4.

sinBsinCsin83

5

【小问3详解】

3兀

由(1)知：sinB——,A=一.

56

3424

所以5抽28=25皿8(：058=2乂丁(-《)=-石.

cos2fi=2cos2fi-l=2x(-1)2-l=^.

FTI、1./cn“、.r,,__.24^3717—24-\/3

所以sm(2B+A)=sin2BcosA+cos2BsinA=-~x—+—x—=--------.

25225250

17.如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，A尸J_平面ABC。，EF//AB,AD=2,

AB=AF=2EF=1，点P为棱。下的中点.

(1)求证：BE〃平面APC；

(2)求直线OE与平面BC尸所成角的正弦值；

(3)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

14

⑶汉1

3

【解析】

【分析】（1）连接B。，交AC于点O,由中位线定理和线面平行判定定理即可证明结果；

（2）建立空间直角坐标系，写出坐标，求得平面BC尸的法向量，根据线面角公式即可求

得直线DE与平面8CF所成角的正弦值；

（3）由（2）可知平面8C尸的法向量，再求得平面APC的法向量，利用空间向量法即可

求出结果.

【小问1详解】

证明：连接80,交AC于点0,又P,0分别为QF和。8的中点,

所以BF//PO,

因为POu平面APC,平面4PC,所以B/〃平面APC；

由Q)得ADJ_AE，AD.LAB，

所以以A为原点，AB,AD,AF所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

3(1,0,0),0(0,2,0),叫,0,1),C(l,2,0),F(0,0,1),

UUUl

所以8C=(0,2,0),BF=(-1,0,1),

设平面BCF的法向量〃=(x,y,z),

x=i

n•BC=02y=0解得(y=o,

n•BF=0-x+0+z=0

z=1

又叫*Zl)

设直线OE与平面BCr所成角的正弦值e,

-+0+1V42

所以sin。=cos(%2

"TT

所以直线OE与平面BC尸所成角的正弦值这；

14

【小问3详解】

解：由(2)AC=(1,2,0),AP=(0』,；［，A£=f1,O,l

设平面APC的法向量为n=(x,y,z),

x+2y+0=0

n-AC=O即，1

则《令y=-l,则z=2，x=2,

n-AP=QO+y+-z=O

所以平面APC的法向量〃=(2,—1,2%

所以卜os(/wz)|=鼠：=当，

所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为逆

3

22

18.已知椭圆C:*+我=1（。＞8＞0）其离心率为右焦点为尸，两焦点与短轴两端

点围成的四边形面积为

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)直线/与椭圆有唯一的公共点〃在第一象限，此直线/与y轴的正半轴交于点N,

3

直线NF与直线OM交于点P且SNFP=~SAOFN,求直线I的斜率.

22

【答案】⑴工+匕=1

43

【解析】

【分析】(1)由已知可得出关于。、b,。的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C

的标准方程；

(2)由题意可知，直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为丁=依+，〃，且相。0,

将直线/的方程与椭圆C的方程联立，由△=()可得出疗=4二+3,列出韦达定理，求出点

3

M、N的坐标，进而求出点P的坐标，由已知可得出＞p=-M,，可求得Am=—1,结合

旭2=4公+3可求得女的值.

【小问1详解】

c1

e=—=—

a2a-2

L2b2=26,解得%=声,

解：由题意可得《

2

a2^c2+h2C=1

,2

因此，椭圆C的标准方程为：—+^-=1

43

【小问2详解】

解：由题意可知，直线/的斜率存在且不为零，设直线/的方程为丫=履+%，且加。0,

y=kx+m

联立《尤2y2,消去y并整理，得（3+4/）*2+8初a+4m2—12=0,

---1---=1

43

A=64A:2w2-4（4Z:2+3）（W-12）=0,可得nr=3+4%2,

8km_8k4m2-12

由韦达定理可得X+Z4%2+3-m'X'X~~4k2+3

2in2_“24k3

%+必=&（芭+%2）+2加=---------,则点M

mmm

4k,、

---->0

m攵<03

因为点P在第一象限，贝叫，则《加〉。‘直线OM的方程为"一元、'

2>o

，机

在直线/的方程中，令x=0可得y=加，即点N（0,/n）,易知点尸（1,0）,

kNF=0[=-m,则直线N尸的方程为y=-〃z（x-l）,

4km

3x=------

V-----X4km-34km3m

联立，4k可得《即点P

3m4km-34km-3

y

4km-3

333/TI3加I

因为5用„>=孑5"制，，即力=3%，即一丁工=亍，可得Am=T，则m=一7,

774%加一37k

将〃2=—1代入苏=4二+3可得（4/-1）（公+1）=0,贝此2=；,

k<0,解得女.

2

【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角形面积之间的等量关系求出直线的斜率，解题的关

键在于求出点P的坐标，将三角形面积的等量关系转化为两点坐标之间的关系，进而构建

等式求解.

19.设｛4｝是公比大于0的等比数列，｛%｝是等差数列，已知4=1,4=4+2,

a4=b3+b5,%=d+2b6.

（1）求数列｛/｝,数列也｝的通项公式;

⑵设J二（一1广%伉+（丁;卜：；），求数列｛&｝的前2〃项和七.

【答案】(1)a“=2"T,b„=n

⑵―

【解析】

【分析】（1）先根据等比数列的通项公式列方程，求得公比，可求得其通项公式，继而根据

等差数列的通项公式列方程，求得首项和公差，可得其通项公式;

（b——1

（）由（）的结论可得%（广'。也+

21=-1/，、的表达式，分别利用错位相

（4+1）（6用+1）

减法和裂项求和法，即可求得T2II.

【小问1详解】

设等比数列｛4｝的公比为q,q>0,设等差数列｛2｝的公差为其

q=1,4=42+2,•*-q-=q+2,

},,_|

：q>(),，q=2,an=axq''~=2.

2々+6。=8

a=b+b,a=b+2b,,

43554634+13d=16

4=1

b=/?)+(H-1)J=n.

d=ln

【小问2详解】

由⑴得「（—小〃.2"七（—）、*1.（_2）”M（-2）、；­

、）（2'i+l）（2"+l）I）（2"-'+1）（2,,+1）

人,川1R一（"2）”1

令%=〃.（—2）’凡一严而可

记数列｛%｝前2〃项和为A,数列电］的前2n项和为B,

A=1x(-2)°+2x(-2)'+3x(-2)2+L+2〃.(—2户\①

则-2A=lx(-2)'+2x(—2p+3x(-2)'+L+2“.(-2户，②

①一②得，3A=(—2)°+(—2)|+(—2)2+L+(-2)2H-l-2/r(-2)2n

=臼上亡—2户」一匕％22"，

1+2''33

11+6〃

4=------------4",

99

_(n-2)-2H1-1_n-\n

又瓦一(2=+1乂2"+1)—2,,-|+1-2"+1，

B=仇+P［+L+/?2„

2n

__邛+［，

：.T=A+B=---.

27"I994"+1

20.已知函数/(x)=lnx+，a,在点处的切线方程为y=3x-l.

（1）求“的值；

（2）己知攵<2,当x>l时，—j）+2x-l恒成立，求实数左的取值范围;

人2