2023-2024学年江苏省镇江高一年级下册三月检测数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省镇江高一下册三月检测数学试题

一、单选题

1.求值tan(—1140)=()

A.3B.73C.-3D.->/3

33

【正确答案】D

【分析】利用诱导公式化简后再利用特殊角的正切值可得所求结果.

【详解】tan(-l140°)=-tan1140°=-tan(1080°+60°)=-tan60。=-6.

故选：D.

2.已知非零向量贝是"a=b”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【正确答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所不，04=4,08=〃,OC=c,8A=a—8，当AB丄OC时，a—b与c垂直,

1|-0,所以。©,成立，此时aw》，

不是“=人的充分条件，

当a=b时，a—8=0，..(a—3)，c=0，c=0,成立，

="［是a=。的必要条件，

综上，"7：=W是",；=X”的必要不充分条件

故选：B.

3.已知非零向量满足H=2恸，且（“-力丄则“与b的夹角为

71匹九一2兀-5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【正确答案】B

【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与

化归、数学计算等数学素养.先由（a-勿丄b得出向量的数量积与其模的关系，再利用

向量夹角公式即可计算出向量夹角.

【详解】因为（a-%）丄6,所以（a—3.匕=6/为—汇=0,所以“丿=力-，所以

ab闻21式

COS6>=R1「=5而=5,所以"与人的夹角为彳‘故选民

对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角

的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为［0,用.

4.为了得到函数y=sin（2x-2）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）

A.向左平移「个单位B.向右平移g个单位C.向左平移白个单位D.向右平移3个单位

661212

【正确答案】D

【分析】根据函数丫=4血（5+。）的图象变换规律，可得结论.

【详解】解：y=sin（2x-^）=sin2（x--^）,

o12

故将函数丫=$布2》的图象向右平移3个单位，可得y=sin（2x-J）的图象，

126

故选：D.

5.一ABC中，点M为边AC上的点，且AM=2MC,若3M=/13A+〃BC,则几一〃的值是

（）

A.—1B.1C.—D.—

33

【正确答案】D

【分析】根据题意，由平面向量基本定理代入计算，即可得到结果.

2

【详解】因为AA/=2MC，则

所以BA/=BA+AM=8A+§AC=a4+§（BC-a4）=dA+dC，

121

且+则4=3，〃=],所以4-〃=-].

故选:D

6.已知cos（?-a）=|,sin（7+万）=-j|,/仁[，?），则sin（tz+4）的

值为（）

16「56-63-33

A.——B.—C.——D.——

65656565

【正确答案】B

【分析】根据题意可知，（?+夕）再结合题意可得

sin（?-a）=-|,cos（?+夕）=得，又（a+〃）=（?+尸,利用两角差的正弦公

式，即可求出结果.

【详解】因为ae（?岑｝所以（:勾+利,

z

r2

又n

si4

I

.

所以cose+6卜》sine+可*,

又（。+小仔+4仔-

所以sin(0+〃)=sin

了+抄in

7.在AABC中，cos£=且,BC=1,AC=5,则AB=

25

A.40B.730C.x/29D.2石

【正确答案】A

【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.

详解：因为cosC=Zcos?C-1=2x(—-1=-之，

255

所以。2=巒+62-26必cosC=l+25-2xlx5x(—1)=32r.c=40,选A.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵

活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

8.如图，在平面四边形中，AB1BC,ADLCD,ZBAD=\2O,AB=AD=l,

若点E为边CD上的动点，则4E8E的最小值为

为

A

A.0

16

【正确答案】A

【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，△BCD为等边三角形，把数量积AB8E

分拆，设。E=rDC(0Wl),数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD中点为0,可知△A8O为等腰三角形，而丄8C,AO丄8,所以

△88为等边三角形，BD=上。设。E=/OC(0W1)

23-2

AEBE=(AD+DE).(BD+DE)=A>BD+DE(AD+BD)+DE=7+BDDE+DE

=3r2--r+-(0<r<l)

22

121

所以当匕时,上式取最小值记,选儿

点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量

都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。

二、多选题

9.根据下列条件，能确定向量”是单位向量的是()

A.«=(1,1)B.〃=(-1,0)

C.a=(cos38°,cos520)D.a-哨刎卜。)

【正确答案】BCD

【分析】根据单位向量的定义判断即可;

【详解】解：模为1的向量为单位向量，对于A：)=仏1),所以卜卜炉不二夜，故A错

误;

对于B：a=(-1,0),则忖=J(-l『+02=1,故a=(-1,0)为单位向量，故B正确;

对于C：a=(cos38°,cos52°),贝川4=Jcos，38。+cos?52。=Jcos?38。+sin:38。=1,故

“=(cos38o,cos52。)为单位向量，故C正确;

m

=防(卜卜°)为单位向量，故D正确;

对于D：a==1,故“

故选：BCD

三、单选题

10.在AABC中,已知〃==4,c=3f则cosA=()

A丄B.受

A.2C.2D

22

【正确答案】A

【分析】由余弦定理直接求解即可.

【详解】在中，已知a=b=4,c=3,

4?+32-1316+9-13_1

由余弦定理得：cosA

2x4x3242

故选：A

四、多选题

11.在直角梯形A88中，CD//AB,ABJ.BC,CD=\,AB=BC=2,E为线段8c的中

点，贝！I()

TT1Tf3f1一

A.AC=AD-i--ABB.DE=-AB——AD

242

(->ff

C・ABCD=2D-AEAC=6

【正确答案】ABD

【分析】利用向量的线性运算证明选项A,B正确；利用向量的线性运算和数量积计算选项

C,D,即得解.

DC

-------7T

【详解］/，E

—>—>—>—>1—>

A项，AC=AD+DC=AD+-AB,故A正确；

TTT1/->T、T1/-»I-*\T3T1T

B项，DE=AE-AD=-\^AC+AB\-AD=-^\AD+-AB\+AB-AD,=^AB--ADf故

B正确；

c项，因为4%与cb反向共线，DC=^AB=\,所以低.cb=_2,故C不正确；

D项，AE-AC=-{AC+AB\-AC=-AC+-AB-AC=-x8+-x2x2>/2xcos45o

2(丿2222

=6,故D正确.

故选：ABD.

方法点睛：平面向量的数量积的计算，常用的方法有：（1）定义法W/=|力日|cosc；（2）

坐标法：工=入/+%%•要根据已知条件灵活选择方法求解.

12.在./IBC中，角A、B、C所对的边的长分别为。、b、J下列命题中正确的是（）

A.若tanA+tan8+tanC>0,则/3C一定是锐角三角形

B.若acosB=6cosA+c,贝I_ABC一定是直角三角形

C.若$沦4+5布8=$出（7（854+8$8）,则1ABe—定是钝角三角形

D.若cos24=陪，贝LABC一定是锐角三角形

22c

【正确答案】AB

【分析】由已知结合两角和的正切公式检验A,由正弦定理及和差角公式进行化简可求A,

进而可判断8,由和差角公式进行化简可求C,进而可判断选项C,由二倍角公式及正弦定

理，和差角公式进行化简可判断。.

【详解】因为tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC>0,

又一ABC中不可能有两个钝角，

故tanA>0,tanB>0,tanC>0,

所以A,B,C都为锐角，A正确；

因为。cos3=力cosA+c,

由正弦定理得sinAcosB=sinBcos/A+sinC,

即sin(A-B)=sinC,

所以A—B=C,即A=B+C,

因为A+3+C=2A=〃，

所以A.,

所以/WC一定是直角三角形，8正确；

因为sinA+sin8=sinC(cosA+cosB),

所以sin(B+C)+sinB=sinC(cosA4-cosB),

整理得(sin8+sinA)cosC=0,

因为5由3+5抽。>0,

所以cosC=0,即C=5,一定是直角三角形，C错误;

Ba+c

因为cos2—=

I+cosBa+c1a

所以---=—i--

22c22c

asinA

即nncos5=—=------,

csinC

所以sinA=sinCeosB=sin(B4-C)=sinBcosC+sinCeosB,

所以sin3cosc=0,

因为sin3>0,

故cosC=0,即C为直角，则43c一定是直角三角形，。错误.

故选：AB

五、填空题

ifrrr>_

13.已知向量〃、］满足,|=回=1,：+4=>/3,则|24十年

【正确答案】近

【分析】将卜+4=6,两边同时平方，即可求得两向量乘积，再将要求的关系式平方代入

即可.

【详解】14Tbi=1，|。+0=道，（“+庁=/+2“丿+戸=3，解得a.b=g,所以

|2a+b/=4a+4a-b+b=7，贝lJ|2a+Z?|=x/7.

故#i

14...ABC的内角A8,C的对边分别为”,6,c.若b=6,a=2c,B=g，则一M。的面积为

【正确答案】6>/3

【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用。的关系、三角形面积公式计

算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运

算求解能力的考查.

【详解】由余弦定理得尸=巒+/—为ccosB,

所以（2c>+/-2x2cxcx丄=6*2,*S

2

即=12

解得C=2^,C=-26（舍去）

所以a=2c=45

SSIABC=3acsin8=/x4^3x2,^3x=6^3.

本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误.解答此类问

题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算.

15.已知点。是锐角“ABC的外心，AB=8,AC=12,A=j,^AO=xAB+yAC,则

2x+3y=

【正确答案】j

【分析】先应用外心是垂直平分线的交点，再应用数量积的几何意义求得A。和AC-AO

列出方程组求解即可.

【详解】如图，点。在AB、AC上的射影是点。、E,它们分别为AB、AC的中点.

由数量积的几何意义,可得荏.疝=,耳.］而卜32,AC-Ad=\AC\-\AE\=12.

AB-AC=ABxACxcosA=8xl2x丄=48

2

依题意有AB-AO=xA3'+yAC・AB=64x+48y=32，BP4x+3y=2.

同理厶。.40=x43-4。+)&。2=48犬+144_丫=72，即2x+6y=3・

将两式相力口得6x+9y=5,所以2x+3y=g.

故答案为：

六、双空题

3

16.如图，在四边形ABC。中，ZB=60\AB=3,BC=6,h.AD=ABC,ADAB=一-,

2

则实数/l的值为,若M，N是线段BC上的动点，且|MN|=1,则。M-£W的最小

值为.

【分析】可得NBAD=120,利用平面向量数量积的定义求得2的值，然后以点B为坐标原

点，8c所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点M（x,0）,则点N（x+l,O）（其中0Wx<5）,

得出DM-DN关于x的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM-DN的最小值.

【详解】AD=ABC，AAD//BC,.-.ZBAD=180-ZB=120,

ABAD=ABCAB=A\BC\-JAfi|cos120

=2x6x3x(-g)=-94=~~,

解得a=丄，

o

以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy,

BC=6,.-.C(6,0),

•：\AB\=3,ZABC=6O°,，A的坐标为A

VXVAD=-BCM\\D设M（x,0）,则N（x+l,0）（其中04xK5）,

6

3⑻3

DM=\x--DN=x——

222

DM.ON=(x-|)(x-9+(容)=x2-4x+y=(x-2)2+y,

所以，当x=2时，取得最小值了.

.113

故小T-

本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力,

属于中等题.

七、解答题

17.计算

7T1［、一

(1)已知一5Vx<0,sinx+cosx=g,求sinx—cosx的值；

(2)已知向量a=(l,2)g=(2,-2),c=(l,/l).^c//(la+b),求7

7

【正确答案】(1)-二

⑵3

【分析】（1）根据题意，由同角三角函数的平方关系即可得2sinxcosx=-不，再由

JT

--<x<0,可得sinx,cosx的正负，从而得到结果；

（2）根据题意，由向量共线的坐标运算，代入计算，即可得到结果.

।124

【详解】（1）由sinx+cosx=—可得，sin2x+cos2x+2sinxcosx=—,所2sinxcosx=-----,

52525

jr

因为——<x<0,所以sinx<0,cosx>0,

2

则sinx-cosx=-^（sinx-cosx）2=->/l-2sinxcosx=一11+奈=--^.

（2）因为a=（l,2）］二（2,—2）,c=（Vl）,则2。+匕=（2,4）+（2,—2）=（4,2）,

且0〃（2〃+6）,则;=（，可得

18.己知。为等边..A8C所在平面内的一点，|A8|=2,A8=§AO,且线段BC上存在点E,

41.

使得AEugAO+mAC.

（1）试确定点E的位置，并说明理由；

⑵求AEQC的值.

【正确答案】（1）E为靠近点8的一个三等分点，理由见解析

(2)-y

【分析】（1）用平面向量的线性关系找出点所在的位置；（2）用向量4艮AC分别表示出向

量AE,DC利用向量数量积公式计算.

23

【详解】（1）因为AB=§A。，所以=

431.21

所以AE=—x—AB+—AC=—A5+—AC,

92333

^BE=AE-AB^-AC--AB=-(AC-AB)=-BC,

3333

故点E为靠近点B的一个三等分点.

3

(2)因为。C=£)A+AC=qAB+4C,

所以AE.£>C=(：AB+gAc)(-；AB+AC),

,11,

=-|A8『+-ABAC+-AC2,

63

1万47

=-4+-|A^|-|AC|-cos-+-=一一.

6333

19.在中，角4,8,C所对的边分别为“也c.已知a=2y/2,b=5,c=y/n.

(I)求角C的大小；

(II)求sinA的值；

(III)求sin(2A+?)的值.

【正确答案】(I)C=f;(IDsinA=:(III)sin(2A+三］

413I4J26

【分析】(I)直接利用余弦定理运算即可；

(n)由(I)及正弦定理即可得到答案；

(III)先计算岀sinAcosA,进一步求出sin24cos2A,再利用两角和的正弦公式计算即可.

【详解】(I)在一中，由“=2应力=5,c=J万及余弦定理得

cose1%八J8+25J13二正,

2ab2x2y2X52

又因为一。㈤,所以cq

(H)在一MC中‘由C=%"2"c=》及正弦定理，可得

242x—2拒

.qsinC

sinA=-----2

c13

(III)由知角A为锐角，由sin4=2辿3,可得cosA=V1—sin2A=

1313

1225

进而sin2A=2sinAcosA=w，cos2A=2cosA-l=—

所以sin（2A+£）=sin2Acos—+cos2Asin—=—x+—x—.

44413213226

【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考

查学生的数学运算能力，是一道容易题.

20.设f（x）=2sinxc°sx-2cos+

（1）求/（x）的单调增区间及对称中心；

⑵当时，小+聿）=|,求cos2x的值.

【正确答案】（1）单调递增区间是19+E，；+E］（/GZ）：对称中心

L44JI2丿

⑵山

10

【分析】（1）先利用二倍角公式及诱导公式化简得到/（x）=2sin2x-l,整体法求解函数的

单调递增区间及对称中心；

（2）先求出sin（2x+］）=g,结合xe（0,1J得到标+枭6,兀），

从而求出cos（2x+］）=-|,利用余弦差角公式进行求解.

【详解】（1）由题意得：/（x）=sin2x-14-cosf2^+^j=sin2x-l+sin2x=2sin2x-l,

ITTTJT7T

由——+2E<2x<—4-2kjt(kGZ),可得——+H<x<—+kn(keZ)；

2244

所以/⑶的单调递增区间是-＞呜+ES

“TT

令2x=E,ksZ,解得：x=y,k£Z,此时函数值为-1,

所以对称中心为

(-1=2

(2)v/=2sin2x+]

r?5

4

sinI2.x4—

I35

兀4兀

x呜,2x+

♦,-r3'3

TtJint.以兀、.兀84

・.,当+时，sin2x4—>sin———>一，

3,23325

C兀、71.f_兀、.兀

cos2%=cos2x+-=cos2x+—cos—+sin2x+—sin—

LI3丿3.(3丿313丿3

一，丄+±x与473-3

525210

21.在边长为1的等边三角形ABC中，£＞为线段BC上的动点，上丄他且交AB于点

E.DFA8且交AC于点凡

⑴求I28E+OFI的值

（2）求（Q£+QF）-D4的最小值.

【正确答案】（1）1

【分析】（1）设=根据题意找到其他边长，对所求进行平方结合向量的数量积运算

即可求出；（2）将GDE+OFAD4化为关于x的关系式即可求出最值.

【详解】（1）设3E=x,xe（0,g）,一MC为边长为1的等边三角形，DEJ.AB,

...NBDE=30,BD=2x,DE=瓜,DC=l-2xt

DF//AB,..OFC为边长为l-2x的等边三角形，

/.（2BE+DF^=4BE2+4BE-DF+DF?=4x2+4x（1-2x）xcos0+（1-2x）2=b

/.|2BE+DF|=1.

BD

(2)DF//AB,:.DE工DF,

2

(DE+DF)DA=(DE+DF)(DE-i-EA)=DE+DFEA

2

=（6x『+（j_2x）x