2023-2024学年江西省宜春市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年江西省宜春市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.抛物线y=1/的准线方程是（）

4

A.丁=_1B.y=i

11

C.x=-----D.x=—

1616

【正确答案】A

【分析】得出焦点位置和P=2即可得出.

【详解】由y=1/化为丁=4抛物线焦点在y轴正半轴，且p=2,

4

则准线方程为y=-L

故选：A.

2.在空间直角坐标系中，点加（2,1,-3）关于平面Oxz对称的点的坐标为（）

A.（—2,—1,3）B.（—3,1,2）C.（—2,—1,-3）D.（2,—1,-3）

【正确答案】D

【分析】根据空间坐标系点的对称求解即可.

【详解】/（2,1,-3）关于平面。"的对称点为（2,-1,-3）.

故选：D

3.已知双曲线C的方程为《-片=-1,则下列说法正确的是（）

169

A.双曲线。的实轴长为8

3

B.双曲线C的渐近线方程为y二咛x

4

C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3

9

D.双曲线。上的点到焦点距离的最小值为:

4

【正确答案】B

【分析】根据双曲线的性质直接求解即可.

V2V2

【详解】由题得双曲线方程为2-L=l,

916

所以a=3,b=4,c=y/$+=5,所以实轴长为6,故A错误;

双曲线的渐近线方程为N=±?X=±3X,故B正确；

b4

双曲线的焦点(0，。)到一条渐近线即办=0的距离为

由于对称性，双曲线的上下焦点到两条渐近线的距离都相等，

故C错误；

双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c-a=2,故D错误.

故选:B.

4.已知两个变量x和〉之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组x,»的样本数据如

下表所示：

X12345

y0.50.611.41.5

根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是()A.y=0.2lx+0.53

B.y=0.25x+0.21

C.y=0.28x+0.16D.y=0.31x+0.11

【正确答案】c

【分析】求出37,由回归直线必过样本中心，将点U依次代入各项检验是否成立可得

结果.

【详解】•.,x=-x(l+2+3+4+5)=3,^=-x(0.5+0.6+l+1.4+1.5)=l

55

回归直线必过样本中心(3,1),

而A、B、D项中的回归直线方程不过点(3,1),C项的回归直线方程过点(3,1),

故选：C.

5.有甲、乙、丙三个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为10%,乙厂生产的次

品率为20%,丙厂生产的次品率为30%,生产出来的产品混放在一起.已知甲、乙、丙三

个工厂生产的产品数分别占总数的50%、30%、20%,任取一件产品，则取得产品为次品

的概率是()

A.0.83B.0.79C.0.21D.0.17

【正确答案】D

【分析】根据三个工厂生产的产品数的占比以及次品率可求得结果.

【详解】由题意可知，任取一件产品，则取得产品为次品的概率是

0.1x0.5+0.2x0.3+0.3x0.2=0.17.

故选：D.

6.关于x的方程小二『_京—2=0有唯一解，则实数人的范围是()

A.k=+5/3

B.%£(-2,2)

C.kG(-oo,-2)U(2,+00)

D.Ae(-8,-2)11(2收)U卜点6}

【正确答案】D

【分析】将问题转化为函数=与g*)=h+2只有一个交点，然后利用数形结合处

理.

【详解】因为方程7i=^_履-2=0有唯一解，

即=履+2有唯一解，

即/(x)=与g(x)=h+2的图象有唯一交点，

又y=即/+/=1,(形0)

表示圆心为(0,0),半径为1的上半圆(包括4-1,0)和8(1,0),

而g(x)=6+2是过定点C(0,2)的直线，

如图：

2

当直线与半圆相切时，由圆心到直线的距离公式得：下^=1,解得％=±百

由图象可知，当《<-2或%>2或4=±JJ时，八x)=h与g(x)=h+2的图象有唯一交点.

故选：D

7.将诗集《诗经》、《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三

国演义》、《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是()

A.戏剧放在中间的不同放法有7!种B.诗集相邻的不同放法有6!种

C.四大名著互不相邻的不同放法有4!x3!种D.四大名著不放在两端的不同放法有6x4!种

【正确答案】C

【分析】根据分步乘法计数原理计数后进行判断即可.

【详解】选项A：戏曲书只有一本，所以其余6本书可以全排列，共有6!种不同排列方

法；

选项B：诗集共2本，把诗集当成一本，不同方法有6!种，这两本又可交换位置，

所以不同放法总数为2x6!；

选项C：四大名著互不相邻，那只能在这四本书的3个空隙中放置其他书，共有3!种放

法，

这四本书又可以全排列，所以不同放法总数为4!x3!；

选项D：四大名著可以在第2至第6这5个位置上任选4个位置放置，共有A；种放法,

这四本书放好后，其余3本书可以在剩下的3个位置上全排列，

所以共有不同放法总数为A；x3!

故选：C.

8.19世纪法国著名数学家加斯帕尔・蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发

展.提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同

心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.

若圆(x-2)，(i)2=9上有且只有一个点在椭圆三+/=］的蒙日圆上，则占的值为()

A.+1B.+5C.±721D.±2斯

【正确答案】C

［分析］根据题意得椭圆5+/=1的蒙日圆方程为V+/=4,进而得该圆与己知圆相切,

再根据圆的位置关系求解即可.

【详解】解：根据题意，椭圆］+/=1的蒙日圆方程为一+/=4,

因为圆（x-2）2+（y-6『=9上有且只有一个点在椭圆］+/=1的蒙日圆上，

所以该圆与已知圆相切，

又两圆圆心间距离为“+从，

所以14+/=5或J4+从=1（无解，舍去），解得6=±血

故选：C.

二、多选题

9.下列说法中，正确的命题是（）

A.对于任意两个事件A与8,如果尸（/8）=P（⑷尸（8）,则事件A与B独立

B.互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件：

C.E（aX+b）=aE（X）+b,D（aX：+b）=a2D（X）

D.随机变量X服从正态分布N（2,/）,若尸（X<4）=0.8,则尸（2<X<4）=0.3.

【正确答案】ABCD

【分析】根据独立事件的定义判断A,根据互斥事件和对立事件的定义B,根据期望和方

差的性质判断C,根据正态分布密度曲线的性质判断D.

【详解】对于A,由尸（48）=尸（N）P（8）,根据独立事件的定义可得事件A与3独立；A正

确；

对于B,互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定为互斥事件，B正确；

对于C,由期望的性质可得E（M+6）=/（X）+b,由方差的性质可得。（aX+b）=/Z）（X）,

C正确；

对于D,因为随机变量X服从正态分布N（2,/）,所以尸（X42）=0.5,

又P（X<4）=0.8,又P（2<X<4）=0.3,D正确.

故选：ABCD.

10.已知空间中三点二（0,1,0）,8（2,2,0）,C（-l,3,1）,则下列结论正确的有（）

A.ABA.AC

B.与刘共线的单位向量是（11,0）

C.而与前夹角的余弦值是-叵

11

D.平面/8C的一个法向量是（1,-2,5）

【正确答案】ACD

【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD,根据共线向量和单位向量判断B,根据

向量夹角的坐标运算判断C.

【详解】因为/（0,1,0）,8（2,2,0）,C（-l,3,l）,

所以方=（2,1,0）,就=（-1,2,1）,5C=（-3,1,1）,

对于选项A：在.农=-2+2+0=0，故万_L就，A正确：

对于选项B：（1,1,0）不是单位向量,且。,1,0）与荏=（2,1,0）不共线,B错误;

ABBC6+1+0y/55

COS(ABBC\----

选项C：''k画画「石X而一TT,C正确;

选项D：设加=(1,-2,5),则云.懑=2-2+0=0，而•就=-l-4+5=0,

所以切_LZ8，m±AC>

又=N8,/Cu平面43C,

所以向量(1,-2,5)是平面N8C的一个法向量，D正确；

故选：ACD

11.若，+l)(x+2)s=4+叩+。2*2+…+”7x7,其中qeR,i=0,1,2,­••7,则()

A.旬=32B.。3=120

C.%+《+%+,一+。7=486D.a2+a4+a6=244

【正确答案】ABC

【分析】令x=0，求出%可判断A；求出巴可判断B；令x=l,求出〃o+q+%+…+%的

值，令工=一1,求出为一。1+。2-〃3+〃4+--%的值，两式相加可判断C,D.

【详解】对于A,令x=0,旬=25=32,所以A正确；

对于B,（/+l）（x+2）s的J前面的系数为四=C；24+C；22=5x16+10x4=120,所以B正

确；

对于C,令x=l,q+q+%+%+%+…+%=2x3,=486①，

对于D,令x=-l,a0-at+a2-a3+a4+---%=2②，

①+②得2（%+。2+4+。6）=488,所以&+。2+4+4=244,贝!]%+%+6=212,所以D

错误.

故选ABC.

12.已知抛物线E：炉=4》的焦点为尸，准线为/,过尸的直线与E交于4,8两点，分别

过48作/的垂线，垂足为C,D,且工厂=38尸，M为AB中点，则下列结论正确的是（）

A.ZCFD=90°B.△CMD为等腰直角三角形

C.直线的斜率为土6D.Z08的面积为4

【正确答案】AC

【分析】对于A、B,结合抛物线定义可得；

对于C、D,由直线与抛物线联立结合韦达定理及三角形面积公式可得.

【详解】如图，过点M向准线/作垂线，垂足为M设4看,必），8（%必）.

对于A,因为/尸=4C,所以N4FC=N4CF,又因为NOFC=N4CF,

所以NOFC=N4FC,所以FC平分/。以，同理可知我。平分/O尸8,所以/。吟=90。，

故A正确；

对于B,假设△CMO为等腰直角三角形，则NC尸。=NCMD=90。，

则C,D,F,A/四点共圆且圆的半径为1c〃=MV,又因为力尸=38尸，

2

所以AB=AF+BF=AC+BD=2MN=4BF,所以MN=2BF,

所以CD=2MN=4BF,所以显然不成立，故B错误；

v-4x

,,所以/-4"9-4=0,

fx=my

y,4-=4加~2y2=4加

所以*~,又因为力尸=3",所以必=一38，所以＜/,

帅一卜3%=-4

所以/=1,所以'=±如，所以直线的斜率为±6，故C正确；

3m

对于D,不妨取加=3，贝卜"+%=亍，所以比警］+16=孚,

3L仍一X1

所以S,,0.=，.℃|凹—%|=，xlx=4.A.,故D错误.

L^AUD2”I//1233

三、填空题

13.1一/=)的展开式中V的系数为.

【正确答案】60

【分析】先求出展开式通项，令x的指数为3即可求出.

【详解】卜-六的展开式通项为却|=C：.卜贵)=(_2)1C】x

令6-|r=3,解得r=2,所以展开式中/的系数为(-2丫=60.

故60.

14.过点(1,2)且与圆/+/=］相切的直线的方程是.

【正确答案】x=l或3x-4y+5=0

【分析】当直线斜率不存在时，可得直线/:x=l,分析可得直线与圆相切，满足题意，当直

线斜率存在时，设斜率为A,可得直线/的方程，由题意可得圆心到直线的距离

1=修3=厂=[,即可求得左值，综合即可得答案.

W+1

【详解】当直线/的斜率不存在时，因为过点(1,2),

所以直线/:x=l,

此时圆心(0,0)到直线x=l的距离为l=r,

此时直线/:x=l与圆x?+V=1相切，满足题意；

当直线/的斜率存在时，设斜率为4,

所以/：y-2=々(x-l),BPkx-y-k+2=0,

因为直线/与圆相切，

所以圆心到直线的距离一=，=1,解得％

收+14

所以直线/的方程为3x-4y+5=0.

综上：直线的方程为x=l或3x-4y+5=0

故x=l或3x-4y+5=0

15.已知点耳为双曲线=i的左焦点，过原点的直线/与双曲线c相交于R。两

4

点.若|P周=3,则|。用=.

【正确答案】7

【分析】先证明四边形片尸入。是平行四边形，再根据双曲线的定义可求解.

【详解】由双曲线的对称性，可知|0勺=|。。|,又|0片=|0巴|,所以四边形月尸鸟。是平行

四边形,所以IPRHMI，

由|尸制=3〈君+2=c+o,可知点P在双曲线的左支，如下图所示：

由双曲线定义有|尸61-|尸£|=4,又|尸片|=3,所以|。£|=|率1=7.

故7

16.三菱柱ABC-AIBICI中，底面边长和侧棱长都相等，NBAA尸NCAAi=60。则异面直线

ABi与BC,所成角的余弦值为

【正确答案】远

6

【详解】如图设麴=2方=反刀=1设棱长为1,则函=&+$,~BC,=a+c-b

,因为底面边长和侧棱长都相等，且NA44=NO4=60°所以£$=["=鼠"=；,所以

2

|ABX|=yj(a+,|BC}|=yj(a+c—b)--BC、=(a+h)'(a+c—b)=\,设异

八福.届1娓

面直线的夹角为8,所以3"扃扃|=不方=了.

四、解答题

17.已知（2x+1—）

展开式中前三项的二项式系数和为16.

(1)求〃的值；

(2)求展开式中含f的项的系数.

【正确答案】(1)5；(2)80.

【分析】(1)根据已知结合组合数公式，通过解一元二次方程进行求解即可:

(2)利用二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】解:(1)由题意,MA）展开式中前三项的二项式系数和为16.

即：&+&+d=1+"+当辿=16,解得：”=5或〃=-6(舍去).

即〃的值为5.

(2)由通项公式心=Cf(2x广=C*25-*/T,

令5-22,可得.左=2

所以展开式中含Y的项为=屐2".若=80x2,

故展开式中含的项的系数为80.

18.由1,2,3,4,5组成的五位数中，分别求解下列问题.(应写出必要的排列数或组合

数，结果用数字表示)

(1)没有重复数字且为奇数的五位数的个数；

(2)没有重复数字且2和4不相邻的五位数的个数；

(3)恰有两个数字重复的五位数的个数.

【正确答案】(1)72个;(2)72个；(3)1200个.

【分析】(1)由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.

(2)先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4即可.

(3)从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列,

然后余下的三个数全排列即可.

【详解】解：(1)由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.

C•《=72个.

(2)先对•1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即4^4=72个

(3)从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列,

然后余下的三个数全排列即C^CjAl=1200个

19.已知过点力(3,2)的圆的圆心M在直线y=3x上，且y轴被该圆截得的弦长为4.

(1)求圆加的标准方程；

(2)设点N(-2,3),若点P为x轴上一动点，求1PM+|P时的最小值，并写出取得最小值时点

产的坐标.

【正确答案】(l)(x-l)2+(y-3>=5

(2)3丁，尸«。)

【分析】(1)用待定系数法设出圆心，根据圆过点和弦长列出方程求解即可；

(2)当三点共线时户叫+|尸川有最小值，求出直线A/N的方程，令产0即可.

【详解】(1)由题意可设圆心加(。,3a),

因为y轴被圆M截得的弦长为4,

所以/=(g)+=4+二,

又尸=\MA\=("3)2+(3a-2)2,

则4+“2=("3)，(3"2)2,

化简得/一2。+1=0,解得。=1,

则圆心M(1,3),半径—“7/=指，

所以圆M的标准方程为(x-l『+(y-3)2=5.

(2)点N(-2,3)关于x轴的对称点为N'(-2,-3),

则|PA/|+|PN|=\PM\+>\MN'\=J(l+2)?+(3+3)2=3亚，

当且仅当A1,P,N'三点共线时等号成立，

因为&A，=「H^=2,则直线的方程为N-3=2(X-1),即y=2x+l,

令y=0,得》=-；，则｛一；,o）.

20.如图，在底面是菱形的四棱锥P-/8co中，£为C。中点，NAPD=90。，NADC=6（T，

已知P/=PO=1.

⑴若P8=0,证明：ABLPE；

（2）若尸C=0，求二面角尸-8-/的平面角的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵4

【分析】（1）证明Z814E,再由勾股定理证明48J.4P,从而证明48人平面NPE,即

可证明（2）取工。的中点。，连接。P,OC,证明P。工面/8C。，从而建立空间

直角坐标系，写出对应的坐标，以及向量的坐标，求解平面PC。的法向量为£,又因为平

面的法向量为%=（0,0,1）,代入向量的夹角公式计算.

【详解】（1）连结4E,由于E为C。中点，且N4DC=6。'，故

又有AB=AD=®AP=-Ji，而BP=后,AP=1,

故可知8尸2=/麻+4尸2，则又4E14P=4

所以N8/平面4PE,而PEu平面/PE,故Z81PE.

（2）取的中点O,连接。P,OC,

在△/「£）中，PA=PD=1,4PD=90°,。为X。中点，所以正，OP1AD.

22

在中，AD=DC=®，4OC=6（T，所以OC=如.

2

又,：PC=6,PO2+oc2=PC2.OCIPO.

又OCC\AD=O,NDu平面/8CQ,OCu平面/8CZ）,P01面/8CO.

Zf

所以以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

([7、(行、(历、则无=卜冬孝,。］不=(当。,§

则C券,0,00,m,0,P0,0,学

"

屈=o

2

晨而=0一丁

设平面PCD的一个法向量为［(X1,%zj,则，

«,"CP=0娓V2=O

-TX,

所以或=(1,6,6).易知微=(0,0,1)为平面的一个法向量,

/~1-'\W,•%5/21

cos仙，〃2)=而向="=一厂，由图可知，二面角尸-8-N的平面角为锐角，

所以二面角P-CD-A的平面角的余弦值为叵.

7

对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向

量的夹角公式求解.

21.北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功

着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.半年“出差”，

神舟十三号航天员顺利完成全部既定任务，创造了实施径向交会对接、实施快速返回流程、

利用空间站机械臂操作大型在轨飞行器进行转位试验等多项“首次”.为了回顾“感觉良好”三

人组太空“出差亮点”，进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定

初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成

每道题的概率都是:且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2

4

道题不能完成.

(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率;

(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望;

【正确答案】(1)鉴189

256

(2)分布列见解析，3

【分析】(1)根据独立重复实验概率公式和概率加法公式求解;

(2)由已知确定随机变量X的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公

式求期望.

【详解】(1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A,

3

贝J|P(4)=C：

(2)X的可能取值为2,3,4.

P(X=2)=^C2^c2=—15=—3

'JC：7014

4

3=罟47

r°C4153

P(X=4)=^^=—=

''C：7014

X的分布列为:

X234

343

P

147TZ

343

数学期望E(X)=2X]+3X]+4XA=3

22.已知椭圆C：「+,=l(a>b>0)经过点其右焦点为尸便,0).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)椭圆C的右顶点为A,若点RQ在椭圆。上，且满足直线/P与4。的斜率之积为去，求

△NP。面积的最大值.

【正确答案】⑴工+/=1

（呜

【分析】（1）根据椭圆过的点和右焦点，列方程组求出a,6,，，则椭圆方程可求：

（2）设尸。：，=丘+切,/西,％）,0仇,必），与椭圆方程联立，消去V