四川大学数值分析期末总复习市公开课一等奖省赛课获奖课件

数值分析程复习课第1页Gauss消元法解线性代数方程组直接法列主元素消去法全主元素消去法矩阵三角分解法范数、条件数平方根法LU分解法追赶法列主元素三角分解法第2页第四章解线性代数方程组直接法（适合用于中等规模n阶线性方程组）范数、条件数Gauss消去法LU分解法平方根法第3页了解几个基本概念：次序主子式Di：方阵前i行、前i列元素矩阵行列式；非奇异矩阵：对方阵A而言，即可证实A非奇异，包括特征值时，全部特征值均不等于0可证实A非奇异.对称正定矩阵：充要条件：A全部特征值大于0；次序主子式全大于0；

性质：行列式为正；严格对角占优矩阵：详见书P173.第4页Gauss消去法线性代数方程组：用矩阵及向量形式表示：AX=b（PS:A为非奇异矩阵，即）第5页消元过程：实质上是用去乘以第一个方程，得到一个新方程，然后用第二个方程减去这个新方程，使其第一项为0，最终变成：一样取乘以第一个方程，得到一个新方程，然后用第三个方程减去这个新方程，使其第一项为0，最终变成：

上标(2)实际上表示经过消去法一步，以这类推(3)表示经过消去法两步。第6页重复此步骤n-1次最终得到等价方程组：经过消元法n-1步后，能够得到一个等价上三角形方程组：（PS：经过初等变换得到矩阵与原矩阵等价）即：已为00第7页经过回代可得到方程组解：此时必须满足条件：n阶线性方程组消元过程所需要总运算量为：消元乘法运算量：消元除法运算量：回代乘除法运算量：第8页消元公式（4.1.1）回代公式（4.1.2）第9页消元法能够利用充要条件为：定理1.1：矩阵A次序主子式推论：若矩阵A次序主子式则有：第10页注意：若某个主元很小，会引发很大误差。

所以能够采取全主元素消去法或列主元素消去法。全主元素消去法：

实质上是在消元法进行了k（k=0,1,2,...,n-1）步之后，选取系数矩阵A第k+1行到第n行中绝对值最大元作为主元，并利用初等行变换和列变换交换其位置，使其置于对角线上，成为对角元，以减小误差。列主元素消去法：

实质上是在消元法进行了k（k=0,1,2,...,n-1）步之后，选取系数矩阵A第k+1列中绝对值最大元作为主元，并利用初等行变换使主元其置于对角线上，成为对角元，以减小误差。第11页经典题目——1、概念题、消元及回代公式；

2、用全主元素消去法或列主元素消去法解方程组；3、相关定理、定义或变形证实题(详见书本证实过程).例1：分别用全主元素消去法和列主元素消去法解方程组，并由此计算系数行列式值.第一步：消元法进行了0步后，选出前三行主元素4，经交换得：全主元素消去法：经Gauss消元得第12页第二步：消元法进行了1步后，选出前两行主元素2，经交换得：经Gauss消元得回代求解得：第13页列主元素消去法：第一步：选出第一列主元素2，经交换得：经Gauss消元得第14页第二步：选出第二列主元素3，经交换得：经Gauss消元得回代求解得：结果相同！第15页例2：矩阵A元素，经过Gauss消去法1步后，A变为证实若A对称，A2也对称.证实：Guass消元法第一步第16页即故A2也是对称矩阵.已知A为对称矩阵,故

所以：其中：得证.第17页矩阵三角分解法原理：对矩阵进行一次初等变换，相当于用对应初等矩阵去左乘原来矩阵。从这个观点来考查Gauss消去法，用矩阵乘法表示，即可得到求解线性方程组另一个直接法：矩阵三角分解。矩阵分解：A＝LU第18页第一步为：LU分解法第19页第k步为：相当于左乘矩阵Lk第k行第i行，第20页总体有：易证：第21页其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。所以有：第22页注：分解理论由Gauss消去法得出，所以能够进行分解条件与Gauss消去法结果一样。*（实际使用时也需要选主元，即列主元素三角分解法）由此，解线性方程组Ax=b等价于解两个三角形方程组：关键在于能否对矩阵A直接进行LU分解第23页定理3.1：A全部次序主子式均不为零，则A存在唯一分解式A=LU.元素求解公式定理3.2：对非奇异矩阵A，存在排列阵P，以及元素值全小于1单位下三角阵L和上三角阵U，使第24页平方根法定理3.3：设A为对称正定矩阵，则存在唯一分解其中L为

单位下三角阵，D为对角阵且对角元全大于0.定理3.4：n阶矩阵A对称正定时，则有以下分解：

则A存在唯一分解(即平方根分解)：其中G为下三角阵，要求G对角元全为正时，分解式是唯一.第25页元素求解公式定理3.5：若线性代数方程组系数矩阵A对称正定，则用平方根法进行求解是稳定.（证实过程详见P172）PS：平方根法约需次乘法，大约为直接LU分解计算量二分之一.第26页定理：A为三对角矩阵，且满足

则A非奇异，且追赶法可实现。三对角方程组追赶法第27页假如A存在LU分解，则有：其中第28页则：求解Ax=f第29页再由解得以上称为解三对角方程组追赶法。第30页经典题目——1、利用LU方法、平方根法或追赶法对矩阵进行求解；

2、判断LU分解是否存在且唯一.例1：判断下述矩阵LU分解是否存在？若存在，是否唯一？已知A有唯一LU分解（LU存在且唯一）可从这两方面对问题进行考虑第31页？以从判断矩阵次序主子式为例对于A1

所以不存在LU分解对于A2

所以不存在LU分解对于A2

所以存在唯一LU分解第32页范数、条件数

为了研究线性方程组近似解误差预计和迭代法收敛性，我们需要对(n维向量空间)中向量或中矩阵“大小”引入一个度量——向量和矩阵范数。向量范数定义4.1：假如向量某个实值函数满足条件：1）正定性：当且仅当x=0时2）齐次性：3）三角不等式：则称N(x)是上一个向量范数.第33页惯用几个范数：向量2-范数：向量1-范数：向量-范数：绝对值之和模最大值第34页定理4.1（范数等价性）：对上定义任意两种范数必存在两正常数m，M，使得：定义4.2：设中一向量序列其中若满足则称向量序列(依分量)收敛到，记作：定理4.2：（PS：必须为向量任一范数.）第35页矩阵范数定义4.3：假如矩阵某个实值函数满足条件：1）正定性：当且仅当x=0时2）齐次性：3）三角不等式：则称N(A)是上一个矩阵范数.4）相容性：第36页定义4.4：

算子范数：且常见矩阵范数：谱范数列范数行范数F-范数算子范数第37页定义4.5：设中一矩阵序列其中若则称矩阵序列收敛到矩阵，记作：定理4.3：PS：必须为任一个矩阵范数.定义4.6：设为矩阵A特征值，称为矩阵A谱半径。谱半径和范数关系：第38页定理4.4：设任意n阶矩阵F满足，则非奇异，且：定理4.5：条件数（非奇异）：矩阵条件数性质：为任意非0常数。若则4）若A是正交矩阵，则A谱条件数等于1（对应谱范数也为1），为最小值.第39页经典题目——1、范数证实与判断(较难)，求常见范数(易)；

2、相关定理、定义证实(详见书本证实过程)；3、基于定理、定义证实变形证实题.例1：设为对称正定阵，定义试证为上向量一个范数.证：正定性：(正定矩阵定义).当时,等号成立齐次性：第40页三角不等式：对于因为A正定，则对任意数t有：第41页即对任意t成立.二次曲线开口向上，与X轴有一个或没有交点.则判别式即代入上面表示式可得：第42页例2：若矩阵

谱半径

为单位矩阵,证实矩阵