第三章-从线性到非线性

真正的定律不可能是线性的，而且也不可能是从这些线性方程中得到。----爱因斯坦线性律和非线律之间的一个明显区别就是叠加性质有效还是无效：在一个线性系统里，两个不同因素的组合作用只是每个因素单独作用的简单叠加。但在非线性系统中，一个微小的因素能导致用它的幅值无法衡量的戏剧性结果……可能导致突变。---普利高津在大自然中的许多事情确实不是线性的，这包括使这个世界感兴趣的大多数事情。我的大脑肯定不是线性系统……经济也并非是线性系统。除了非常简单的物理系统外，世界上几乎所有的事情，所有的人，都被裹罩在一张充满刺激、限制和相互关系的巨大的非线性大网之中。----沃尔德罗线性理论线性，指量与量之间成比例关系，用直角坐标形象地画出来是一条直线。在空间与时间上代表规则与光滑的运动。在线性系统中，整体的行为或性质等于部分之和。描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是解，复杂性不因叠加产生。线性系统的各个组成部分互不相干、各自独立起作用。线性理论线性理论的研究对象为线性系统，主要研究系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能之间的确定的和定量的关系。对于线性系统，常用的数学模型有时间域模型，一般为多元一阶联立方程。线性理论严格的说，真正的线性系统是不存在的，一切实际的系统都是非线性的。对于我们所研究的问题，当实际系统与理想化的线性系统之间的差别已经小到无关紧要而可以忽略不计的程度时，我们可以用线性理论的分析方法来决定非线性系统在局部范围内的某些性质，但应该注意，用线性理论分析这种线性化的系统所得到的结论，一般不能用来推论原来非线性系统的性质或现象。例如很多的物理现象的研究，都是把物体受到的摩擦等忽略掉。非线性理论非线性，指量与量之间不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。研究非线性系统的动态行为，一般难以通过解析方法求解，而几何方法主要用于定性分析，常用的方法是用计算机进行数值计算求近似解。非线性理论：耗散结构论、突变论和协同学耗散结构论耗散结构论是比利时著名科学家普利高津于1969年创立的，来源于物理、化学研究。耗散结构论：有序结构的形成和维持需要耗散能量与物质，耗散结构论就是研究耗散结构的形成、稳定、演化及其性质。耗散结构是相对平衡结构而言的。平衡结构，是一种“死”结构，它不需要进行任何能量或物质的交换就能维持。耗散结构是一种“活”结构，它依靠能量的耗散才能维持其有序状态。耗散结构论按照好散结构理论，一个宏观有序状态的自发产生和维持，至少需要三个条件：

1、系统必须是开放的，开放系统是产生有序结构的前提平衡态是指系统各处可测的宏观物理性质均匀(从而系统内部没有宏观不可逆过程)的状态，它遵守热力学第一定律：dE=dQ-pdV，即系统内能的增量等于系统所吸收的热量减去系统对外所做的功；热力学第二定律：dS/dt>=0，即系统的自发运动总是向着熵增加的方向。

热力学第二定律告诉我们，一个孤立系统的熵一定会随时间增大，熵达到极大值，系统达到最无序的平衡态，所以孤立系统绝不会出现耗散结构。那么开放系统为什么会出现本质上不同于孤立系统的行为呢？其实，在开放的条件下，系统的熵增量dS是由系统与外界的熵交换deS和系统内的熵产生diS两部分组成的，即：dS=deS+diS。热力学第二定律只要求系统内的熵产生非负，即diS>=0，然而外界给系统注入的熵deS可为正、零或负，这要根据系统与其外界的相互作用而定，在deS<0的情况下，只要这个负熵流足够强，它就除了抵消掉系统内部的熵产生diS外，还能使系统的总熵增量dS为负，总熵S减小，从而使系统进入相对有序的状态。所以对于开放系统来说，系统可以通过自发的对称破缺从无序进入有序的耗散结构状态。2、系统必须处于远离平衡的条件下，非平衡是有序之源远离平衡态是指系统内可测的物理性质极不均匀的状态，远离平衡态是相对于平衡态和近平衡态而言的。近平衡态是指系统处于离平衡态不远的线性区，它遵守昂萨格(Onsager)倒易关系和最小熵产生原理。前者可表述为：Lij=Lji，即只要和不可逆过程i相应的流Ji受到不可逆过程j的力Xj的影响，那么，流Ji也会通过相等的系数Lij受到力Xi的影响。后者意味着，当给定的边界条件阻止系统达到热力学平衡态(即零熵产生)时，系统就落入最小耗散(即最小熵产生)的态。

3、系统内部必须存在适当的非线性反馈，通过涨落达到有序系统产生耗散结构的内部动力学机制，正是子系统间的非线性相互作用，在临界点处，非线性机制放大微涨落为巨涨落，使热力学分支失稳，在控制参数越过临界点时，非线性机制对涨落产生抑制作用，使系统稳定到新的耗散结构分支上。一个由大量子系统组成的系统，其可测的宏观量是众多子系统的统计平均效应的反映。但系统在每一时刻的实际测度并不都精确地处于这些平均值上，而是或多或少有些偏差，这些偏差就叫涨落，涨落是偶然的、杂乱无章的、随机的。一座城市不断有人外出和进入，生产的产品和原料也要川流不息地运入及运出。这种与外界环境自由地进行物质、能量和信息交换的系统，称为开放系统。当开放系统内部某个参量的变化达到一定阈值时，它就可能从原来无序的混乱状态，转变为一种在时间上、空间上和功能上的有序状态，即耗散结构。如一壶水放在火炉上，水温逐渐升高，但水开后水蒸气不断蒸发，壶中的水和空气就形成了一个开放系统，带走了火炉提供的热量，水温不再升高，达到了一种新的稳定状态。突变论突变论是1972年法国数学家雷内托姆提出。突变论的研究内容简单地说，就是研究非线性系统从一种稳定组态以突变的形式转化到另一种稳定组态的现象和规律。突变论突变论的数学基础是奇点理论和分岔理论。在数学上，把一些不稳定的状态叫分岔点，或分叉点。在这些关键点上，极小极小的扰动会引起系统发展过程中的质变。系统稳定状态的丧失，就是突变的开始。雷内托姆指出：系统从一种稳定状态进入不稳定状态，岁参数的再变化，又使不稳定状态进入另一种稳定状态，那么，系统状态就在这一刹那发生了突变。突变论突变论解决了哲学上的一个难题：质变究竟是通过了飞跃还是通过渐变来实现的？突变论认为，在严格控制条件的情况下，如果质变经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。质态的转化，既可以通过飞跃来实现，也可以通过渐变来实现，关键在于控制条件。突变论告诉我们，不是所有自然、社会、思维状态都可以被人们随意控制的，而是只有那些控制因素尚未达到临界值之前的状态是可控的。如果控制因素一旦达到某一临界值，则控制为随机的，甚至会变成无法控制的突变过程。协同论德国著名物理学家哈肯于1973年创立了协同学，亦称协同论。协同论：是指系统对各子系统（要素）进行协调的内在机制与动力。通过这一协调作用，系统从无序走向有序。协同论认为，千差万别的系统，尽管其属性不同，但在整个环境中，各个系统间存在着相互影响而又相互合作的关系。其中也包括通常的社会现象，如不同单位间的相互配合与协作，部门间关系的协调，企业间相互竞争的作用，以及系统中的相互干扰和制约等。协同论指出，大量子系统组成的系统，在一定条件下，由于子系统相互作用和协作，这种系统会研究内容，可以概括地认为是研究从自然界到人类社会各种系统的发展演变，探讨其转变所遵守的共同规律。应用协同论方法，可以把已经取得的研究成果，类比拓宽于其它学科，为探索未知领域提供有效的手段，还可以用于找出影响系统变化的控制因素，进而发挥系统内子系统间的协同作用。

协同论的主要贡献揭示了事物从无序走向有序的内在机制与动力哈肯的理论阐明，所谓目的，就是在给定的环境中，系统只有在目的点或目的环上才是稳定的，离开了就不稳定，系统自己要拖到点或环上才能罢休。这就是系统的自组织作用。问：如果一群工人由另一个工人即所谓的工头发号施令，那么我们就得到一种用于生产某种产品的组织行为，这种行为是自组织行为吗？协同论的主要贡献揭示了系统结构的稳定性与目的性的内在统一自组织理论的观点是，一个有序稳定的系统结构，就在于它具有较强的自组织功能，即具有较强的自我调节能力，使系统在不断地反馈控制调节中，保持着物质流、能量流和信息流的良性循环，生命之所以能不断地保持，也就在于它是一个能不断进行自我控制，自我协调的系统。事物系统之所以能保持有序稳定，就在于它能对其各子系统、各层次、各要素进行调节，对环境能够适应。协同论的主要贡献提出了用序参量来表征系统宏观的有序度在协同论中，哈肯使用了序参量来代表一个系统的有序度，用序参量的变化来描述系统内有序和无序矛盾的转化。比如，在激光系统中，光场强度就是序参量。在化学反应中，取浓度或粒子数为参序量。在社会学和管理学中，为了描述宏观量，采用“测验”、调研或投票表决等方式来反映对某项“意见”的反对或赞同。此时，反对或赞成的人数就可作为序参量。

当系统处于混乱状态时，子系统之间联系很弱，而各子系统的相对独立性占主导地位，其序参量为零；当外界条件变化，系统开始出现有序时，序参量为非零值，并随着外界条件的改善和系统有序程度的提高而逐渐增大，当接近临界点时，子系统之间的相干作用产生的协同行为占主导地位，序参量急剧增大，最终在临界域变到最大，导致系统不稳定而发生突变。混沌动力学蝴蝶效应混沌理论的核心是混乱与无序。它粉碎了一个梦，一个科学家追求了数千年的梦，即你不可能完全精准的预测未来。这与量子理论有些类似。任何初始值的微小变化都将导致结果的不同，甚至是天壤之别。这一现象有个好听的比喻：蝴蝶效应（当然，她还有个专业名词：洛伦兹奇怪吸引子），南美洲丛林的一只蝴蝶扇扇翅膀，将引起几个月后美国的一场飓风！这可不是耸人听闻，它来自于60年代美国的气象科学家洛伦兹。对天气的预报有一套数学模型，有位预报员惊奇的发现初始值保留3位小数和6位小数所得出的答案大相径庭。初始值的小小差距经过层层放大，竟使结果迥异。对这点的认识，东西方不谋而合。“失之毫厘，差之千里”是我们常听到的。而西谚有云：“少了一个螺钉，坏了一个马蹄；坏了一个马蹄，损了一位骑士；损了一位骑士，输了一场战役；输了一场战役，亡了一个帝国。”又如，历史学家们常常津津乐道这样的说法：如果埃及王后克娄派屈拉的鼻子上长了一个瘤，恐怕整个西方历史都要重写。一个瘤的产生是由于一个生长异常的细胞，而它也许只是某个基因突变的产物。想象一下混沌理论的威力吧！混沌理论还向另一个经典理论：达尔文生物进化论提出了挑战。众所周知，达尔文进化论是生物学的“中心法则”：过度繁殖，生存斗争，遗传变异，适者生存。其中，生存斗争被看作进化的源泉。达尔文自己也将生存斗争的适用范围扩大到了人类社会，这给了狂热的生物学家，残暴的政治家绝好的“理论基础”。社会达尔文主义应运而生。它宣扬人类社会的竞争，把竞争看作人类社会进化的根源。资产阶级政客洋洋得意的鼓吹资本主义竞争，压迫，剥削是“社会学和生物学的本能”，想借此证明资本主义的合理性。20世纪人类最惨重的灾难，纳粹屠杀，其理论也是建立在社会达尔文主义基础上的。希特勒宣称：根据马尔萨斯人口论，地球资源的线性开发无法满足人口的指数增长，因此，只有“最优秀的种族”才配活在地球上，传递人类的遗传物质，“劣等种族”必须为“优秀种族”让出生存空间。基于这一理论，数千万犹太人，斯拉夫人被纳粹残忍杀害在集中营里。同样，二战时的日本也认为大和民族是优秀民族，对亚洲人民犯下了滔天罪行。

蝴蝶效应（TheButterflyEffect）是指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应。这是一种混沌现象。此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。举例1998年亚洲发生的金融危机和美国曾经发生的股市风暴实际上就是经济运作中的“蝴蝶效应”；蝴蝶效应的启示“蝴蝶效应”在社会学界被用来说明这样一个道理：一个坏的微小的机制，如果不加以及时的引导、调节，会给社会带来非常大的危害，戏称为“龙卷风”或“风暴”，一个好的微小的机制，只要正确引导，经过一段时间的努力，将会产生轰动效应，或称为“革命”。蝴蝶效应的启示“蝴蝶效应”的初始就是混沌的，在不准确或者说是不精确中产生的，