导数的概念及其几何意义(课件)高二数学（北师大版2019选择性）

2.2导数的概念及其几何意义温故知新1.平均变化率

对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x).这时，x的变化量为∆x，y的变化量为

∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0).我们把比值

，即叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋∆x的平均变化率.2.瞬时变化率

温故知新2.1、导数的定义：

一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative），记作或，即2、根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的三个步骤：

2.算比值：

1.求增量：

3.取极限：

由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:求函数的改变量2.求平均变化率3.求值口诀：一差、二化、三极限1．函数在某一点的导数是(

)A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案：C解析：由导数的定义可知，函数在某点的导数是平均变化率的极限值，是个常数．故选C.巩固提升

答案：A解析：由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A.故选A.例1:一条水管中流过的水量y（单位:m3）与时间x（单位:s）的函数关系为y=f(x)=3x.求函数y=f(x)在z=2处的导数f＇(2)，并解释它的实际意义.

当x趋于2,即△x趋于0时，平均变化率总是3,所以f'(2)=3m3/s.

导数f'(2)表示当x=2s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度.也就是说,如果水管中的水保持以x=2s时的瞬时速度流动的话,每经过1s,水管中流过的水量为3m3.例2:一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y(单位:kg)与其工作时间x(单位:h)的函数关系为y=f(x).假设函数y=f(x)在x=l和x=3处的导数分别为f'(1)=4和f'(3)=3.5,试解释它们的实际意义.解:f'(1)=4表示该工人上班后工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度,那么他每时可以生产4kg的食品.

f'(3)=3.5表示该工人上班后工作3h的时候，其生产速度为3.5kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产3.5kg的食品.例3:服药后，人体血液中药物的质量浓度c(单位:μg/mL)是时间t(单位:min)的函数c=c(t).假设函数c=c(t)在t=10和t=100处的导数分别为c'(10)=l.5和c'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.解:c'(10)=l.5表示服药后10min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5μg/(mL▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1min,血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/mL.c'(100)=-0.6表示服药后100min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6μg/(mL▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1min,血液中药物的质量浓度将下降0.6μg/mL.练习1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.练3:求y=f(x)=x2+1在x=1处的导数.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx练习4.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a.

我们发现，当点P__________________，割线P0P____________________位置.这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1,1)处的切线．观察

如图，当点P(x,x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1,1)时，割线P0P有什么变化趋势?T无限趋近于一个确定的无限趋近于点P0时2.2导数的几何意义

PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.1.割线的斜率2.切线的斜率

函数图象在点P0(x0,f(x0))处的斜率xyO121234PP0T割线斜率与切线斜率

导数的几何意义思考：导数f

′(x0)的几何意义是什么？割线P0P的斜率k切线P0T的斜率k0点P→点P0函数

y＝f(x)在x=

x0处的导数f

′(x0)曲线y＝f(x)在点P0(x0,f(x0))处切线的斜率k0导数f

′(x0)的几何意义PxyOT即求切线方程的方法例4已知函数y=x2及自变量xo=-2.（1） 分别对△x=l,0.5,0.1求y=x2在区间[xo,xo+△x]上的平均变化率，并画出过点(xo,f(xo))的相应割线；（2） 求函数y=x2在xo处的导数，并画岀曲线y=x2在点(xo,f(xo))处的切线.

例4已知函数y=x2及自变量xo=-2.（1） 分别对△x=l,0.5,0.1求y=x2在区间[xo,xo+△x]上的平均变化率，并画出过点(xo,f(xo))的相应割线；（2） 求函数y=x2在xo处的导数，并画岀曲线y=x2在点(xo,f(xo))处的切线.例5

：求函数y=f(x)=2x3在x=l处的切线的方程.

例6求曲线y＝-2x2+1在点(1,-1)处的切线方程.解：设f(x)＝-2x2+1所以所求切线方程为y-(-1)=(-4)(x-1),即4x+y-3=0.解决切线问题的关键:利用导数的几何意义求出切线的斜率k0=f′(x0).点斜式

变式:如图已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.

yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4.

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．(

)(2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(

)(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(

)(4)函数f(x)＝0没有导函数．(

)××××当堂检测2．函数y＝x2在x＝1处的导数为(

)A．2xB．2＋ΔxC．2D．1答案：C

3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(

)A．不存在

B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直

D．与x轴斜交答案：B解析：∵f′(x0)＝0，∴点(x0，f(x0))处切线的斜率为0.故选B.4．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(

)A．0>f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)<f′(xB)<0C．f′(xA)＝f′(xB)D．f′(xA)>f′(xB)>0答案：B解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)<f′(xB)<0.故选B.5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝x3＋ax＋3相切于点(1，4)，则a＝________．0解析：∵切点(1，4)在曲线y＝x3＋ax＋3上，∴4＝13＋a＋3，∴a＝0.5．求曲线f(x)＝x2＋1在点A(1，2)处的切线方程．

6．抛物线y＝x2＋4在点(－2，8)处的切线方程为________．y＝－4x

7.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A.f´(1)>f´(2)>f´(3)>0B.f´(1)<f´(2)<f´(3)<0C.0<

f´(1)<f´(2)<f´(3)D.f´(1)>f´(2)>0>f´(3)