第21章一元二次方程常见易错易混问题归类人教版数学九年级上册

第4招一元二次方程中常见易错易混问题归类九年级数学（上）极速提分法已知6是关于x的方程x2－(m＋2)·x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长为多少？

例解题方法：本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程及三角形三边的关系，掌握数形结合思想是解题关键．解：把x＝6代入方程得36－6(m＋2)＋2m＝0，解得m＝6，则原方程为x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6.由这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边的长，可知：①当△ABC的腰长为6，底边长为2时，△ABC的周长为6＋6＋2＝14；②当△ABC的腰长为2，底边长为6时，因为2＋2＜6，不合题意，所以舍去．综上所述，△ABC的周长为14.易错1忽视二次项系数不为零的条件而致错1.若关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，求不等式kx－2k＋6≤0的解集．

错解：由题意知|k|－1＝2，解得k＝±3.∴不等式为3x－6＋6≤0或－3x＋6＋6≤0，∴x≤0或x≥4.【点易错】当方程是一元二次方程时，不仅要使未知数的最高次数是2，还要使二次项的系数不为0.本题易忽视二次项的系数k－3≠0这一条件，而导致错解．2.将2y2－6y＋1进行配方．易错2将多项式进行配方时与方程配方相混淆而致错【点易错】配方时，加上一次项系数一半的平方后，为了保持代数式的值不变，必须再减去一次项系数一半的平方，不能“只加不减”．3.【2023·清华附中模拟】已知关于x的方程k2x2＋(2k－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．易错3应用根的判别式求字母的取值范围时忽视一元二次方程的隐含条件【诊断】对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，隐含条件a≠0很容易被忽视，所以二次项系数含字母时，一定要考虑二次项系数不能为0.易错4在方程两边同时除以含有未知数的式子，导致失根4.解方程：3(2x＋5)＝2x(2x＋5)．

【点易错】5.已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实数根．(1)求m的取值范围；解：根据题意，得Δ＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，解得m≤4.易错5利用根与系数的关系时未考虑“Δ”(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．解：根据题意，得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，∴2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3.又∵m≤4，∴m的取值范围为3≤m≤4.6.已知关于x的一元二次方程x2－(3k＋1)x＋2k2＋2k＝0.(1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；证明：对于一元二次方程x2－(3k＋1)x＋2k2＋2k＝0，Δ＝(3k＋1)2－4(2k2＋2k)＝9k2＋6k＋1－8k2－8k＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0.∴无论k取何实数值，方程总有实数根．易错6忽视几何图形对方程根的要求(2)若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的另两边长．解：∵△ABC为等腰三角形，∴有a＝b＝6，a＝c＝6或b＝c三种情况．①当a＝b＝6或a＝c＝6时，可知x＝6为方程的一个根，∴62－6(3k＋1)＋2k2＋2k＝0，解得k＝3或k＝5.当k＝3时，方程为x2－10x＋24＝0，解得x＝4或x＝6，∴三角形的另两边长为4，6.当k＝5时，方程为x2－16x＋60＝0，解得x＝6或x＝10，∴三角形的另两边长为6，10.②当b＝c时，方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即(k－1)2＝0，解得k1＝k2＝1，∴方程为x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，此时三角形三边长为6，2，2，不满足三角形三边关系，舍去．综上可知，三角形的另两边长为4，6或6，10.7.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价4元，商场平均每天可多售出8件．易错7忽略实际问题对方程根的要求(1)若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？解：设每件衬衫应降价x元．根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200.整理得x2－30x＋200＝0，解得x1＝20，x2＝10.因为要尽快减少库存，所以x应取20.答：每件衬衫应降价20元．(2)每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？解：由(1)知(40－x)(20＋2x)＝－2x2＋60x＋800＝－2(x－15)2＋1250.因为－2(x－15)2≤0，所以当－2(x－15)2＝0，即x＝15时，－2(x－15)2＋1250的值最大．即(40－x)(20＋2x)有最大值，为1250.答：每件衬衫降价15元时，商场每天盈利最多．8.如图，AO＝OB＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，蚂蚁甲由A点以2cm/s的速度向B点爬行，同时蚂蚁乙由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，在什么时刻，两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450cm2?易错8考虑问题不全面，出现漏解【错因分析】此题考虑问题不够全面，漏掉了蚂蚁甲在OB上的情况．【点易错】解动点