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第4招一元二次方程中常见易错易混问题归类九年级数学(上)极速提分法已知6是关于x的方程x2-(m+2)·x+2m=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的长,则△ABC的周长为多少?
例解题方法:本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程及三角形三边的关系,掌握数形结合思想是解题关键.解:把x=6代入方程得36-6(m+2)+2m=0,解得m=6,则原方程为x2-8x+12=0,解得x1=2,x2=6.由这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边的长,可知:①当△ABC的腰长为6,底边长为2时,△ABC的周长为6+6+2=14;②当△ABC的腰长为2,底边长为6时,因为2+2<6,不合题意,所以舍去.综上所述,△ABC的周长为14.易错1忽视二次项系数不为零的条件而致错1.若关于x的方程(k-3)x|k|-1-x-2=0是一元二次方程,求不等式kx-2k+6≤0的解集.
错解:由题意知|k|-1=2,解得k=±3.∴不等式为3x-6+6≤0或-3x+6+6≤0,∴x≤0或x≥4.【点易错】当方程是一元二次方程时,不仅要使未知数的最高次数是2,还要使二次项的系数不为0.本题易忽视二次项的系数k-3≠0这一条件,而导致错解.2.将2y2-6y+1进行配方.易错2将多项式进行配方时与方程配方相混淆而致错【点易错】配方时,加上一次项系数一半的平方后,为了保持代数式的值不变,必须再减去一次项系数一半的平方,不能“只加不减”.3.【2023·清华附中模拟】已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.易错3应用根的判别式求字母的取值范围时忽视一元二次方程的隐含条件【诊断】对于一元二次方程ax2+bx+c=0,隐含条件a≠0很容易被忽视,所以二次项系数含字母时,一定要考虑二次项系数不能为0.易错4在方程两边同时除以含有未知数的式子,导致失根4.解方程:3(2x+5)=2x(2x+5).
【点易错】5.已知关于x的一元二次方程x2-6x+(2m+1)=0有实数根.(1)求m的取值范围;解:根据题意,得Δ=(-6)2-4(2m+1)≥0,解得m≤4.易错5利用根与系数的关系时未考虑“Δ”(2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1x2+x1+x2≥20,求m的取值范围.解:根据题意,得x1+x2=6,x1x2=2m+1,而2x1x2+x1+x2≥20,∴2(2m+1)+6≥20,解得m≥3.又∵m≤4,∴m的取值范围为3≤m≤4.6.已知关于x的一元二次方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0.(1)求证:无论k取何实数值,方程总有实数根;证明:对于一元二次方程x2-(3k+1)x+2k2+2k=0,Δ=(3k+1)2-4(2k2+2k)=9k2+6k+1-8k2-8k=k2-2k+1=(k-1)2≥0.∴无论k取何实数值,方程总有实数根.易错6忽视几何图形对方程根的要求(2)若等腰△ABC的一边长a=6,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求此三角形的另两边长.解:∵△ABC为等腰三角形,∴有a=b=6,a=c=6或b=c三种情况.①当a=b=6或a=c=6时,可知x=6为方程的一个根,∴62-6(3k+1)+2k2+2k=0,解得k=3或k=5.当k=3时,方程为x2-10x+24=0,解得x=4或x=6,∴三角形的另两边长为4,6.当k=5时,方程为x2-16x+60=0,解得x=6或x=10,∴三角形的另两边长为6,10.②当b=c时,方程有两个相等的实数根,∴Δ=0,即(k-1)2=0,解得k1=k2=1,∴方程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,此时三角形三边长为6,2,2,不满足三角形三边关系,舍去.综上可知,三角形的另两边长为4,6或6,10.7.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价4元,商场平均每天可多售出8件.易错7忽略实际问题对方程根的要求(1)若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元,每件衬衫应降价多少元?解:设每件衬衫应降价x元.根据题意,得(40-x)(20+2x)=1200.整理得x2-30x+200=0,解得x1=20,x2=10.因为要尽快减少库存,所以x应取20.答:每件衬衫应降价20元.(2)每件衬衫降价多少元时,商场每天盈利最多?解:由(1)知(40-x)(20+2x)=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+1250.因为-2(x-15)2≤0,所以当-2(x-15)2=0,即x=15时,-2(x-15)2+1250的值最大.即(40-x)(20+2x)有最大值,为1250.答:每件衬衫降价15元时,商场每天盈利最多.8.如图,AO=OB=50cm,OC是一条射线,OC⊥AB,蚂蚁甲由A点以2cm/s的速度向B点爬行,同时蚂蚁乙由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行,在什么时刻,两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450cm2?易错8考虑问题不全面,出现漏解【错因分析】此题考虑问题不够全面,漏掉了蚂蚁甲在OB上的情况.【点易错】解动点
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