高考数学一轮复习试题第一章集合与常用逻辑用语、不等式

麦烹集合与常用逻辑用语、不等式

第1节集合

考试要求1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图

形语言的基础上，用符号语言刻画集合.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别

给定集合的子集.3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.4.理解两个集合的并

集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集5能使用Venn

图表达集合间的基本关系与基本运算.

||知识诊断•基础夯实

知识梳理

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为e和阵.

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

(4)常用数集及记法

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法NN*或N.ZQ.R

2.集合间的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B

中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作(或BQA).

(2)真子集：如果集合但存在元素xGB,且依A,就称集合A是集合8的

真子集,记作A8(或BA).

(3)相等：若AUB,且正4，则A=8

(4)空集的性质：。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集

符号表示AUBAQB

合A的补集为[以

图形表示U0

「AJ

AUBADB

集合表示[x\x^A,或x£8}且xGB){x\x^U,且依A}

4.集合的运算性质

⑴AAA=A,AA0=0,AAB=BnA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)An([uA)=0,AU((uA)=U,|>([uA)=A.

常用结论

1.若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2〃个，真子集有2”—1个，非空子集

有2"—1个，非空真子集有2"—2个.

2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

Cl3=A=AUB=Bo:以=[uB.

4.[u(AC8)=(0A)U([uB),Ca(AUB)=(CtzA)n(Ci/B).

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)任何一个集合都至少有两个子集.()

(2){Ry=f+l}={y[y=f+1}={(X,y)|y=f+l}.()

⑶若1G，，x},则尤=-1或1.()

(4)对于任意两个集合A,3,(AnB)U(AUB)恒成立.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)错误.空集只有一个子集.

⑵错误.{巾=4+l}=R,{>|y=/+l}=[l,+°°),{(x,y)仅=f+l}是抛物线

y=f+l上的点集.

(3)错误.当x=l时，不满足集合中元素的互异性.

2.(易错题)已知集合A={y|y=x2},B={x\y=yjx+1},则)

A.[0,+8)+0°)

c.[-l,0]D.(-l,0)

答案A

解析易知A=[0,+°°),B=[—1,+°°),故AC5=[0,+°°).

3.(易错题)已知集合A={/w+2,2m2+m],若36A,则加的值为()

3

A.lB.—2

C.l或一]D.-1或，

答案B

解析当〃?+2=3时，m=1,此时，m+2=2m2+m=l,故舍去；

当2加+根=3时，解得机=一系根=1舍去).

4.(2021•新高考I卷)设集合A={x[-2a<4},B={2,3,4,5},则2n8=()

A.{2}B.{2,3}

C.{3,4}D.{2,3,4}

答案B

解析因为A={x[—2<x<4},B={2,3,4,5},所以ACB={2,3},故选B.

5.(2021.新高考H卷)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,

4),则An([”3)=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

答案B

解析由题设可得5,6),

故AC([uB)={l,6}.

6.若集合A,B,U满足ABU,则U=()

A.AU([L/3)B.8U([UA)

C.An(Ct/B)D.BC([uA)

答案B

解析由题意，ABU,作出韦恩图如图所示，所以BU([uA)=U,故选B.

考点突破•题型剖析

考点一集合的基本概念

1.(2020•全国HI卷)已知集合4={(x,y)Qy£N*,yex},B={(x,y)|x+y=8},

则AC8中元素的个数为()

A.2B.3C.4D.6

答案C

解析4nB={(x,y)lx+y=8,x,y@N*,且y》x}={(l,7),(2,6),(3,5),

(4,4)).

2.已知集合A=kbwz，且三;ez|,则集合A中的元素个数为()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析GZ,/.2—x的取值有-3,—1,1,3,

又'."GZ,...x值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4,故选C.

3.设集合4={—1,0,1,2,3,4},B={X\X&A^L2X^A},则集合8为.

答案(0，1，2}

解析由题意知，•.•0WA且2X0GA,1WA且2X1GA,26A且2X2WA,故

5={0,1,2).

4.设a,Z?GR,集合[1,a+b,a}=jo,小，则层023+^2024=.

答案0

解析由题意知aWO,

因为{1,a+b,6f}=j0,/?[.

b

所以a+b=0,贝叮=—1,

所以a=-1,b=\.

故屋023+/024=—1+1=0

感悟提升1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集

合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什

么，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验

集合中的元素是否满足互异性.

考点二集合间的基本关系

例1(1)已知集合A={x|『一2x—3W0},集合8={x||x—l|W3},集合C=

则集合A,B,。的关系为()

A.8GAB.A=B

C.CQBD.A"

答案D

解析因为x2—2x—3W0,即(x—3)・(x+1)WO,所以一1WXW3,则4=[—1,3]；

又仅一1|W3,即一3Wx—1W3,

所以一2WxW4,则3=[—2,4]；

x—4

因为FWO,所以一5cx<4,则C=(-5,4],所以AQB,AUC,故选

x十5

D.

(2)已知集合A={x|-2WxW5},B={x\m+l^x^2m-\],若已口4,则实数加

的取值范围为.

答案(一8,3]

解析,：BQA,

.•.若8=0,则2〃z—解得机V2；

2m-12加+1,

加+12—2,解得2WmW3.

{2m~1W5,

故实数机的取值范围为(一8,3].

感悟提升1.若应分3=0和两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区

间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对

参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.

训练1(1)已知集合4={8£网产―3%+2=0},B={xGN|O<x<5},则满足条件

AQCQB的集合C的个数为.

答案4

解析由题意，可得A={1,2},B={1,2,3,41.

又•「AGCXB,

/.C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},共4个.

(2)若集合A={1,2},B={X|X2+/T?X+1=0,XGR},且3UA,则实数机的取值

范围为.

答案L2,2)

解析若8=0,则/=旭2—4<0,解得一2<相<2,符合题意；

若1GB,则V+机+1=0,解得机=—2,此时B={1},符合题意；

若2GB,则2?+2m+1=0,解得m=—|,此时8=,，不符合题意.

综上所述，实数加的取值范围为[-2,2).

考点三集合的运算

例2(1)(2021•全国乙卷)已知集合S={s|s=2〃+l,〃£Z},T={t\t=4n+1,n^Z],

则SAT=()

A.0B.SC.TD.Z

答案C

解析法一在集合T中，令〃=网女£Z),则r=4〃+l=2(2Z)+laSZ),而集

合S中，s=2〃+l(〃GZ),所以必有TUS,所以SCT=T,故选C.

法二S={…，-3,-1,1,3,5,•••),T={…，-3,1,5,…},观察可知，

TQS,所以SCT=T,故选C.

(2)设全集为R,集合A={y\y=2\x<1},B={由={/-1}，则AC([RB)=()

A.{x|-l<x<2}B.{x[0<x<l}

COD.{x|0<x<2}

答案B

解析由题意知A={y[0<yV2},8={x|xW—1或xel},所以[R8={x|-1V无

<1},所以An([R8)={x|0VxVl},故选B.

(3)集合M={x|2/—x—IVO},N={x|2x+a>0},U=R.若MA(自加=。，则a

的取值范围是()

A.(l,+°°)B.[l,+8)

C.(—8,1)D.(—8,1]

答案B

解析易得M={x|2x2一工-1<0}=卜

N={x\2x+a>0}=jx|x>一?,

由MC([uN)=0,则一拜一3，得心1.

感悟提升1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究

其关系并进行运算.

2.数形结合思想的应用：

(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还

是空心.

训练2(1)(多选)(2022・潍坊质检)已知集合4=3一1<%忘3},集合2={x||x|W2},

则下列关系式正确的是()

A.ACIB=0

B.AUB={x|-2«}

C.AU[RB={X|XW—1或x>2}

D.AA[RB={X|2VXW3}

答案BD

解析•••A={x|T<元W3},

B={x|,|W2}={x|-2WxW2},

.•.AC8={x|—IV无W2},A错误；

AU8={x|-2Wx<3},B正确；

•.•[RB={4XV—2或无>2},

.,.AU[RB={X|XV—2或x>—1},C错误；

An{jRB={x\2<x^3],D正确.

（2）（2021・邯郸二模）已知集合A={九ez*—4x—5V0},B={x\4x>2m},若APB

中有三个元素，则实数〃?的取值范围是（）

A.[3,6)B.[l,2)C.[2,4)D.(2,4]

答案C

f

解析集合A={x£Z|x2—4x-5V0}={0,1,2,3,4},B={^>2W}=1x|x>yj,

ni

•.•AC8中有三个元素，.-.l<y<2,

解得2W/w<4.

拓展视野/Venn图的应用

在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的

交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表

示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.

例(1)(2020.新高考全国I卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学

生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜

欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()

A.62%B.56%C.46%D.42%

答案C

解析用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，

设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为%,贝M60%—x)+

(82%-x)+x=96%,解得x=46%.故选C.

“足球乙、

(2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两

个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加

数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学

和化学小组的有人.

答案8

解析设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A,B,C,同时参

加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图.

(26-6-x)>

A数学,

(15-4-6)ZFC化学

V物理V(13-4-x)

由全班共36名同学可得(26—6—JC)+6+(15—4—6)+4+(13—4—x)+x=36,

解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.

口分层训练•巩固提升

[A级基础巩固

1.(2021•重庆三模)若集合4=“£用工一3)(工一2)<6},则4中的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

答案B

解析A={xeNpr-5x<0}={xeN|0<x<5}={l,2,3,4}.共4个元素.

2.(2021•北京卷)已知集合4={尤|一14<1},8={x|04W2},则AUB=()

A.{x|0Wx<l}B.{x|-14^2}

C.{x|l<xW2}D.{A|0<T<1}

答案B

解析由集合并集的定义可得AU3={x|-l<xW2},故选B.

3.(2021•天津卷)设集合4={-1,O1},8={1,3,5},C={0,2,4},则(AnB)UC

=()

A.{0}B.{0,1,3,5)

C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4)

答案C

解析VA={-l,0,l},B={l,3,5},C={0,2,4),/.AnB={l},.\(AnB)UC

={0,1,2,4).

4.设集合M={x|f=x},N={x|lgxW0},则MUN等于()

A.[0,1]B.(0,1]

C.[0,1)D.(—8,1]

答案A

解析VM={0,1},N={x[O<xWl},

.•.MUN={x|OWxWl}.

5.设集合4={。,y)|x+y=l},B={(x,y)|x—y=3},则满足MUQ4C8)的集合M

的个数是()

A.OB.lC.2D.3

答案C

x~\~y~~1>x=2,

解析由.。得,

[x-y=3,[y=-1,

：.AHB={(2,-1)}.

由MU(ACB),知加=0或〃={(2,-1)}.

6.(2021•上海卷)已知集合4={巾>一1,x£R},3={x|/—x—220,xGR},则

下列关系中，正确的是()

A.AU8B.[RA£[RB

C.AQB=0D.AUB=R

答案D

解析*.,A=(—1,+°°),—1]U[2,+°0),

：.AUB=R,D正确，其余选项均错误.

7.(2022•长沙质检)已知集合4={1,3,a},7=(1,cr-a+\},若BQA,则实

数a=()

A.-lB.2

C.-1或2D.1或一1或2

答案C

解析因为BUA,

所以必有。+1=3或。+1=4

①若/—&+1=3,则a?—a—2=0,解得a=-1或a=2.

当。=—1时，A={1,3,-1},B={1,3},满足条件；

当。=2时，A={1,3,2],B={1,3},满足条件.

②若层一a-\-]=a,则/-2a+1=0,解得a=l,

此时集合4={1,3,1),不满足集合中元素的互异性，所以。=1应舍去.

综上，a=—1或a=2.

8.(2021•河南名校联考)已知集合A={x|y=log2(A~-8.x+15)},3={<x<a+1},

若AC8=0,则实数a的取值范围是()

A(一8,3]B.(_g,4]

C.(3,4)D.[3,4]

答案D

解析易知A={x*—8x+15>O}={x|x<3或x>5},

a23,

由AC8=。，可得J所以3WaW4.

a+1W5,

9.若全集U=R,A={x|-1这九W6},5={R0VxW8},则图中阴影部分所表示的

集合为.

答案{x|0<x<6}

解析由题图知阴影部分所表示的集合为

Ans={x|0VxW6}.

10.已知集合A={x[—5<尤<1},B={x|(-V—m)(x—2)<0},若ACB=(—1,n),

则m+n=.

答案0

解析VAnB=(-l,n),

・・"Z=-19"=1,

Am+n=0.

11.已知集合4={1,3,\[m},B=[\,m],若B£A,则"?=.

答案0或3

解析因为8UA,所以相=3或机=5j.即〃?=3或阳=0或n?=1,根据集合中

元素的互异性可知mW1,所以m=0或3.

12.已知集合A={x|lVx<3},B=[x\2m<x<i-m],若AAB=。，则实数加的

取值范围是.

答案[0，+8)

解析①当2加21—"Z即/心^时，8=0,符合题意;

②当2/”Vl一加，即机＜；时，需满足

f/

m＜T,m＜T,,1

3或＜3所以0＜加＜1.

1—/nW1、2机23,

综上，实数加的取值范围是[0,+°°）.

|B级能力提升

卜仅=：+合,则

13.（多选）（2021•济宁模拟）若集合A={x|sin2x=l},B=

下列结论正确的是（）

A.AUB=BB.LRBULRA

C.AnB=0D.[RAU°R8

答案AB

解析A={x|sin2x=l}

4攵兀+兀

="x\x=,%eZj,

B=卜1产今+冬kGZ

2k兀+兀，I

=}廿=-4-

显然集合

4也+无2E+兀I

x\x=——,旧,

所以AUB,则AU8=8成立，所以A正确.

[RBG[RA成立，所以B正确，D错误.

AHB=A,所以C错误.

14.（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学

家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金

分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”

的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,

是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MUN=Q,MCN=。,

M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称（M,M为戴德金分割.试判断下列

选项中，可能成立的是（）

A.M={x|xVO},N={x|x>0}是一个戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M没有最大元素，N也没有最小元素

答案BD

解析对于A,因为M={4«V0},N={x\x>0},MUN={九|xWO}WQ,故A错

误；

对于B,设“={》e（}|犷<0},N={xeQW》O},满足戴德金分割，则M中没有

最大元素，N有一个最小元素0,故B正确；

对于C,若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足MUN=Q,

MCN=。,故C错误；

对于D,设M={xdQ|xV6},N={XGQ|X26},满足戴德金分割，此时M

没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确.

15.设A是整数集的一个非空子集，对于Z6A,如果%—1&A且女+1皿，那么女

是A的一个“孤立元”，给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素

构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.

答案6

解析符合题意的集合有{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,

6,7},{6,7,8）,共6个.

16.若集合Ai,4满足4UA2=A,则称（4,A2）为集合A的一种分拆，并规定：

当且仅当4=4时，（Ai,A2）与02,4）是集合A的同一种分拆.若集合A有三个

元素，则集合A的不同分拆种数是.

答案27

解析不妨令A={1,2,3）,VAIUA2=A,

.•.当4=0时，A2={1,2,3},

当Ai={"时,4可为{2,3）,（1,2,3}共2种,

同理4={2},{3}时，A2各有两种，

当4={1,2}时，4可为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}共4种,

同理4={1,3},{213}时，4各有4种，

当4={1,2,3}时，4可为Ai的子集，共8种，

故共有1+2X3+4X3+8=27种不同的分拆.

第2节常用逻辑用语

考试要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义2理解判定定理与充分

条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的

含义，能正确对两种命题进行否定.

知识诊断•基础夯实

I知识梳理

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q，则。是〃的充分条件,〃是。的必要条件

p是q的充分不必要条件且*p

p是q的必要不充分条件p*q且q0P

p是q的充要条件p0q

〃是g的既不充分也不必要条件p中q且q卡p

2.全称量词与存在量词

⑴全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并

用符号“V”表示.

(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,

并用符号“3”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中的任意一个X,有p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记〃(x)Bx&M,p(x)

否定㈱p(x)

常用结论

1.区别A是8的充分不必要条件(A=B且8斗A),与A的充分不必要条件是8(8今4

且A冷B)两者的不同.

2.充要关系与集合的子集之间的关系,设4={刈7(力},5={x|q(x)},

(1)若则p是4的充分条件，q是p的必要条件.

(2)若AB,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

（3）若A=8,则p是q的充要条件.

3.p是q的充分不必要条件，等价于㈱q是㈱p的充分不必要条件.

4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.

6.命题p和㈱p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题

的否定的真假.

|［诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“J”或“X”）

（1）至少有一个三角形的内角和为兀是全称量词命题.（）

（2）写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.（）

（3）当p是q的充分条件时，q是〃的必要条件.（）

（4）若已知p：x>l和q：则〃是q的充分不必要条件.（）

答案（1）X（2）7（3）V（4）7

解析（1）错误，至少有一个三角形的内角和为n是存在量词命题.

2.（易错题）设x>0,y@R,则“x>y”是的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析由推不出%>国，由x>|y|能推出光>>,所以“x>y”是“%>6”的

必要不充分条件.

3.（易错题）命题“VxCR,3/7FN*,使得“Wf，，的否定是（）

A.VxGR,使得〃

B.VxGR,V/?eN*,使得〃

C.BxGR,3/?GN*,使得〃

D.SxeR,Vz?GN*,使得

答案D

解析含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，可知选D.

4.（多选X2021•山东新高考模拟）已知两条直线/,〃?及三个平面a,尸，y,则a_L£

的充分条件是（）

A./ca,/J_£B./±a,加J_£,lA_m

C.aJLy,£〃7D.lua,muB,l±m

答案ABC

解析由面面垂直的判定可以判断A,B,C符合题意；对于D,lua,muB,

l±m,也可以得到a〃6，D不符合题意.故选ABC.

5.（2021・浙江卷）已知非零向量a,b,c,贝1J"ac=bc”是“a=b”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由可得（a—6）-c=0,所以（a—Z>）J_c或a=所以“a-c=b-c”是

“a=b”的必要不充分条件.故选B.

6.（易错题）命题“VxSR,ax2-ax+\>0,,为真命题，则实数a的取值范围是

答案［0,4）

解析①当a=0时，1>0恒成立，，。=0满足条件,

<2>0,

②当“W0时,解得0VaV4.

J=a2—4a<0,

综上，0WaV4.

口考点突破•题型剖析

考点一充分、必要条件的判定

例1（1）已知p：VxGR,mx2—2/nx+1>0,q：指数函数.*%）=样（〃2>0,且加W1）

为减函数，则p是夕的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当〃2=0时，1>0成立;

m>Q,

当机工0时,可得解得OVmVl.

/=4相2—4加V0,

由〃得出P=｛m|0Wm<l｝,由4得出。=｛加|0<机<1｝,QP,故p是q的必

要不充分条件.

(2)(2021•全国甲卷)等比数列｛z｝的公比为q,前〃项和为S”.设甲：q>0,乙：｛S｝

是递增数列，贝女)

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案B

l

解析当GV0,9>1时，an=aiq"<0,此时数列｛S｝递减，所以甲不是乙的

充分条件.

n

当数列｛*｝递增时，有Sn+i-Sn=an+i=aiq>0,

若ai>0,则/>0(〃《N*),即q>0；

若的<0,则/VO(〃eN*),不存在，所以甲是乙的必要条件.

综上，甲是乙的必要不充分条件.

感悟提升充分条件、必要条件的两种判定方法：

(1)定义法：根据p=g,进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉

及参数范围的推断问题.

训练1(1)(2021•广州一模)a>b+l是2a>2万的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当a>b+l时，得则a>b+l是2。>2〃的充分条件；取a=2,b

=1,满足2">2\不能推出故是2“>2〃的充分不必要条件.

故选A.

(2)(2020・北京卷)已知a,(£R,则“存在使得a=E+(-1)/'是“sina

=sin夕'的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析①若女为偶数，设左=2〃(〃ez),贝！]a=2"兀+夕,有sina=sin(2〃兀+4)=

sin/；若左为奇数，设％=2〃+1(〃£Z),则a=(2〃+1)兀一£,有sina=sin[(2〃+

1)71—

=sin(2«7i+TT-/?)=sin(n-/7)=sin尸.

充分性成立.

②若sina=sin则a=2kn+0或a=2kit+it—B(kGZ),

即a=2E+/?或a=(2Z+l)兀一£(ZeZ),

故a=E+(—1邦(kGZ).

必要性成立.

故选C.

考点二充分、必要条件的应用

例2已知集合A={xM—8x—20W0},非空集合3={x|l—mWxWl+加}.若xCA

是xGB的必要条件，求机的取值范围.

解由x2—8x—20W0,得一2WxW10,

.•.A={xL2&W10}.

由是龙68的必要条件，知BUA.

1—加,

l—m^—2,...OWmW3.

{1+mW10,

.•.当时，xGA是xWB的必要条件，

即所求机的取值范围是[0,3].

感悟提升充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时

需注意

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之

间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.

训练2(1)(多选)使221成立的一个充分不必要条件是()

A.O<x<lB.0<x<2

C.x<2D.0<xW2

答案AB

一2

解析由1与1得0<xW2,

依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选AB.

(2)设p：ln(2x—l)W0,q：(x—a)[x—(a+l)]W0,若q是p的必要不充分条件，

则实数a的取值范围是.

答案[。，!

解析p对应的集合A=51尸ln(2x—1)W0}=星<x<“,q对应的集合8={疝龙

—a)[x—(a+1)]<0}=1}.

由夕是〃的必要而不充分条件，知AB.

所以aW；且a+121,因此OWawg.

考

点-

-全称量词与存在量词

角度1含有量词的命题的否定

例3(1)(2022・武汉模拟)命题“VxW[O,+8),T+xNO”的否定是()

A.VxG(—8,0),%3+x<0

B.VXG(—8,o),炉+eo

C.3xe[0,+°°),P+x<0

D.Bx^[Q,+0°),1?+x20

答案C

解析含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，所以，命题“Vx

G[0,+°°),V+xNO”的否定是'勺龙6[0,+°°),V+xVO”，故选C.

(2)已知命题p：uBx^R,T—x-lWO”，则㈱〃为()

A.mxGR,e'_x_1^0

B.BxGR,ev-x-l>0

C.VxCR,^-%-1>0

D.VxGR,e*—x—120

答案C

解析根据全称量词命题与存在量词命题的否定关系，可得㈱p为“VxWR,&'

—%—1>OM,故选C.

角度2命题的真假判断及应用

例4(1)(多选)(2022.德州模拟)下列四个命题中为真命题的是()

A±e(0,+8),出<(£|

B.BxG(0,1),log-x>log-x

23

C.VxG(O,+°o),(J)>iog4

D.VxW(O,；),(；)<log-x

答案BD

解析对于A,当xW(O,+8)时，总有g)>电成立，故A是假命题；

对于B,当尤=3时，有l=logS=log；；>log；3成立，故B是真命题；

对于C,当0V九V；时，log}故C是假命题；

对于D,VxW(0,，，&VlVlog?,故D是真命题.

(2)已知人尤)='(_?+1),g(x)=(§一m，若VxiG[0,3],3x2e[l,2],使得

兀⑴2g(X2),则实数m的取值范围是.

答案；，+°°)

解析当》七[0,3]时，/(X)min=A0)=0,

当％e[l,2]时，g(x)min=g(2)=^—m,

由/(X)min2g(X)min,得0»(一〃?，

所以加注.

感悟提升(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.

(2)判定全称量词命题“VxCM,p(x)”是真命题，需栗对集合M中的每一个元素

X,证明p(x)成立；要判定存在量词命题“mxGM,p(©”是真命题，只要在限定

集合内找到一个X,使p(x)成立即可.

(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数

的范围；二是利用等价命题，即p与的关系，转化成㈱p的真假求参数的范

围.

训练3(1)下列命题为假命题的是()

A.VxGR,2x-1>0

B.VxGN*,(x—1)2>0

C.Sx^R,lgx<l

D.3x^R,tanx=2

答案B

解析当x^N*时，x-ieN,可得。-1)220,当x=l时取等号，故B错误；

易知A,C,D正确，故选B.

⑵(2022•福州质检)已知命题“IveR,m^-x+KO"是假命题，则实数机的取

值范围是.

1

答

案

4+8

解析若命题mx2—x+1<0,,是假命题，则“Vx£R,mx2—x+1

m>0,解得加2小

为真命题，所以

J—1—4机W0,

口分层训练•巩固提升

|A级基础巩固

1.命题p：VxWR,x2+ylx2+1>4,则㈱〃为（）

A.SxeR,

x2+Nx2+1W4

C.VxGR,x2+-\Jx2+1^4

D.V/R,x2+dx2+1>4

答案A

解析由于全称量词命题的否定为存在量词命题，故㈱pTxGR,f+4币W4.

2.（多选）（2021.重庆质检）下列命题中是真命题的有（）

A.Sx^R,log2X=0

B.Sx^R,cosx=1

C.VxeR,/>o

D.VxGR,2A>0

答案ABD

解析因为log21=0,cos0=1,所以A,B均为真命题；02=0,C为假命题；

2x>0,D为真命题.

3.已知m,n是平面a内的两条相交直线,旦直线Z±n,则"ZLn”是“山”

的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析当/_1_机时，机，〃是平面a内的两条相交直线，又/_1_及，根据线面垂直的

判定定理，可得/_La.当/_La时，因为机ua,所以/J_〃z.综上，“/_L机”是“/_La”

的充要条件.

4.已知命题p：3xG（0,1）,若㈱p是真命题，则实数a的取值范围是

（）

A.a>1B.a2eC.a21D.«>e

答案B

解析•.,冬弟p：VxG（0,1）,e'—a<0为真命题，

5.（2021・北京卷）设函数段）的定义域为［0,1］,则“函数人x）在［0,1］上单调递增”

是''函数7U）在［0,1］上的最大值为/U）”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

2

解析前推后，一定成立；后推前，不一定成立.如函数.大幻=1一0在［0,1］上

-1

0,I-

的最大值为7U）,但犬x）在上单调递减，在上单调递增，故选A.

-45

6.（2022.湖南雅礼中学月考）若关于x的不等式以一1|<。成立的充分条件是OVx

<4,则实数。的取值范围是（）

A.<—0°>1］B.（—°0,1）

C.（3,+0°）D.［3,+0°）

答案D

解析|x-1|<〃今1—aVxVl+d•不等式以一1|V。成立的充分条件是OVxV

1—QWO,

4,A（0,4）q（l—ml+a）,Al,、解得

7.（2021・淄博一模）若等差数列｛m｝的前〃项和为则“S2020X）,S2021Vo”是

oioaionV0”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

..2020（。1+。2020）

解析S1020=

—1010（aioio+tzi011）>0,

2021（。1+。2021）

=2021。］oi1<0,

52021=2

••a\on<0,'.a\oio>O,JU1]a\oioaion<O,

因此充分性成立；

若a\oioaion<O,

a\oio>O,｛a\oio<O,

则八或c因此必要性不成立.故选B.

aion<O[a\on>0,

8.已知命题p：X2+2X-3>0；命题q：x>a,且㈱q的一个充分不必要条件是㈱

p，则。的取值范围是（）

A.[l,+8）B.（-8,1]

+8）D.（—8,-3]

答案A

解析由r+Zx—BX）,得xV—3或x>l,由㈱q的一个充分不必要条件是㈱

P，可知㈱〃是㈱<7的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故

9.命题“3x6（1,+~）,/+xW2”的否定为.

答案V%e（i,+°°）,x2+x>2

10.设命题p：x>4；命题q：/—5x+420,那么p是q的条件

（填”充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）.

答案充分不必要

解析由x2—5x+420得xW1或x»4,可知｛x|x>4｝是｛X|AW1或x»4｝的真子集，

:.p是q的充分不必要条件.

11.（2021.青岛二中检测）直线x—y—攵=0与圆（%—1）2+V=2有两个不同交点的充

要条件是•

答案一ivy3

解析直线x—y—k=Q与圆（x—l>+y2=2有两个不同交点等价于^~~市一~<

也，解得一1<女<3.

12.已知命题p：x2—〃20；命题0尤2+2如+2—〃=0.若命题p,

q都是真命题，则实数。的取值范围为.

答案（一8,-2]

解析由命题p为真，得〃W0；由命题q为真，得/=4〃2—4（2—a）N0,即

—2或所以aW—2.

|B级能力提升

13.（多选）（2022•南京调研）下列说法正确的是（）

A.i（ac=bcn是“a=b”的充分不必要条件

B.是"a<b”的既不充分也不必要条件

C.若"xGA”是“xGB”的充分条件，则AU8

D.i（a>b>0>,是eN,〃22）”的充要条件

答案BC

解析A项，ac~bc不能推出ci—b,比如u~1,b=2,c=0.而u—b可以推出

ac=bc,所以“ac=bc”是“a=b"的必要不充分条件，故错误；

B项，不能推出a<b,比如：>一:，但是2>—3；a<Z?不能推出比

如一2<3,~|<|,所以"（>卜是“a〈b”的既不充分也不必要条件，故正确；

C项，因为“xWA”是“xCB”的充分条件，所以xGA可以推出xGB,即AU以

故正确；

D项，a”>〃（〃dN,〃22）不能推出a>b>0,比如a=l,J=0,ln>0n（/iGN,

〃22）满足，但是人>0不满足，所以必要性不满足，故错误.

14.（多选）下列四个命题中，为假命题的是（）

A.3xE（0,1）,2T

B.“VxdR,f+x—l>0”的否定是“IxGR,N+x—lVO”

C.”函数於）在（mb）内了（x）>0"是伏x）在（a,b）内单调递增”的充要条件

D.已知;U）在xo处存在导数，则"/（xo）=O”是“xo是函数«x）的极值点”的必要

不充分条件

答案BC

解析对于A,由图象可知A正确（图略），A正确；

对于B,“VxGR,/+x—1>0"的否定是"玉£R,f+x—IWO”,B错误；

对于C,“函数7（元）在（小份内/（x）>0"是"段）在（a,份内单调递增”的充分不

必要条件，C错误；

对于D,因为/U）在刈处存在导数，根据极值点的定义可知，“次是函数人处的

极值点”可以推出'了印))=0"，但是“了(初)=0"不一定可以推出“制是函数火X)

的极值点”，比如函数1A在x=0处有，(0)=0,但是x=0不是函数ZU)的

极值点，D正确.

15.(2022•苏州模拟)已知p：|x一1|W2,q：x2