2023-2024学年上海市高二年级上册期末数学模拟试题三（含答案）

2023-2024学年上海市高二上册期末数学模拟试题

一、填空题

1.直线/过点P(l,2)且倾斜角为则直线/的方程为

【正确答案】Λ=l

(详解】,/直线/过点P(l,2)且倾斜角为ɪ,

直线/的方程为41

故41

2.若C「=C：,则C；'。的值为.

【正确答案】20

【分析】通过已知得出”的值，即可利用公式计算得出答案.

【详解】c"c"

〃！n!

10!(M-10)!^9!(n-9)!,即IO=〃-9,

..〃=19,

故20.

3.已知一个圆锥的底面积为TT,侧面积为2τr,则该圆锥的体积为.

【正确答案】垣

3

利用圆的面积公式和圆锥侧面积公式可得到方程组，解方程组求出圆锥的底面半径和圆锥的

母线长，再利用勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积即可.

7rr1=Ttf/*=1

【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为八〃，/，则,C解得/C所以〃=石.

πrl=2πμ=2

圆锥的体积V=WSh=运.

33

故叵

3

考查了圆锥的侧面积公式和圆锥体积公式，考查了数学运算能力.

4.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下(单位:

如图将正三棱柱侧面展开2次，可知曲面上的最小值即为对角线=而行=标

故历

7.设有4位志愿者随机选择到四个不同的核酸检测点进行服务，每个检测点可接纳多位志

愿者，则四个核酸检测点都有志愿者到位的概率是.(结果用最简分数表示)

3

【正确答案】—

32

【分析】先根据分步乘法原理得4位志愿者到核酸点位的可能性和四个核酸检测点都有志愿

者的情况，再根据古典概型公式求解即可.

【详解】由题知，4位志愿者到核酸点位的可能性共有”=4x4x4x4=256种，

其中四个核酸检测点都有志愿者到位的共有机=A：=24种，

nι243

所以四个核酸检测点都有志愿者到位的概率是尸='=W=S.

n25632

故答案为∙V3

8.平面直角坐标系内，点A(l,2)、3(6,14)到直线/的距离分别为4和9,则满足条件的直线

/有条.

【正确答案】3

【分析】动直线和点的距离不变，可理解为直线是圆的切线，从而利用两圆的位置关系得出

两圆公切线的条数，即是直线/的条数.

【详解】由已知可把直线/看成是以A(l,2)为圆心，4为半径的圆的切线，

同时是以8(6,14)为圆心，9为半径的圆的切线，

由于两圆圆心距IABl=√(6-I)2+(14-2)2=13=4+9,所以两圆相外切，

根据外切的两圆的公切线有3条可知，满足条件的直线/有3条.

故3.

9.我们知道：c;=c：二+C3,相当于从两个不同的角度考察组合数：①从“个不同的元

素中选出，"个元素并成一组的选法种数是C：；②对〃个元素中的某个元素A,若A必选，

有C：：二种选法，若A不选，有C：'T种选法，两者结果相同，从而得到上述等式，试根据上述

思想化简下列式子：

CθC;;1++<^C；2++C：C'：T=（l≤k<m<n,ιn^neN）.

【正确答案】CM

【分析】根据题意，分某％（14%<加4〃,孙〃€2个元素中选取个数为0,1,2,3,,%讨论求解

即可得答案.

【详解】根据题意，从〃+&个不同元素中选出加个元素并成一组的选法种数是Ck,

若对其中的某A（1≤%<机≤n,nun∈N）个元素分别选或不选，

则&（1≤A<机≤n,m.n∈N）个元素一个都没有选，有C：C；种选法；

有一个元素被选取，有ClC：:'种选法；

有两个元素被选取，有C；C：2种选法；

有三个元素被选取，有C：C『3种选法；

L

有人个元素被选取，有种选法；

所以Ck=CCr+CqI+C*：2++Cci,（1≤%%4”,见〃eN）,

故答案为∙CM

10.已知人（司,乂）、5（七,%）为圆〃：/+y2=4上的两点，且XlX2+y∣%=-2,设？（/,几）为

弦AB的中点，贝∣J∣3x0+4%-10∣的最大值为.

【正确答案】15

【分析】由王匕+%必=-2可知NAMB=I20。，则IMH=1,可得P点轨迹为圆.

∣3∙⅞*4%]0∣

又∣3%+4%-IOl=•5,求出圆上一点到直线3x+4y-IO=O距离的最大值即可.

√32+4i^

(详解】注意到MA=(xi,yt),MB=(x2,y2),

则Xlx2+yiy2=MA-MB=∣M4∣∙∣Λ√B∣-cosZAMB=-2，又IMAl=WB卜2,

则NAMB=I20°,又由垂径定理可知，∠¾MP=60°,贝IHMH=2cos60"=1.

故尸点轨迹是以M为圆心，半径为1的圆.

,∣3x+4y∩-10∣

注意至佃+4%70l∣=∣n5表示尸到直线3x+4y-10=0距离的5倍，又圆上

-10

一点到3x+4yTO=O距离的最大值为：11+1=3,

√32+42

贝中为+4%-10|的最大值为15.

α,AAt=h,若该三棱柱的六个顶点都

在同一个球面上，且α+b=2,则该球的表面积的最小值为

【正确答案】焊兀

如图所示：。_O?分别为G和ABC的中心，易知球心。为OR中点，R=

2

74I6TT/r.,ɪ.,

S=4乃+-≥--得到答案j.

127

【详解】如图所示：。1，Q分别为AAgG和.MC的中心，易知球心。为。。2中点,

在吊AAOR中：Aa=@α,Oo,=g,故R=J巨+々，

-3^2V34

b22

…"°，”"}Zlf«（2-娟）"7/6f4∖

Ik34J[34J[1217）7

故该球的表面积的最小值为六

当〃=号，6=2时等号成立.

本题考查了三棱柱的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

12.如图，正方体ABCD-AEG。的棱长为1,P为AA的中点，M在侧面AAB/上，若

RM±CP,则ABCM面积的最小值为.

【正确答案】W

【分析】取AB的中点N,AD的中点Q,连接D2QN,B∖N,AC,容易证得CPL平面

DxQNBi,要使CPLRM,进而得M∈B1N,进而得当BM1.B∣N时，BM最小，此时，ABCM

的面积最小，再根据几何关系求解即可.

【详解】如图，取AB的中点N,AD的中点Q,连接。。,QMAMAC

由于CP在面ABeD内的射影为AC,QNYAC,故QNLCP

因为C尸在面A。。圈内的射影为DP，DlQYDP,所以RQLCP.

又DQcQN=Q,所以CPL平面AQNB-

要使CP1D1M,必须点M在平面D1QNB1内,

又点M在侧面A4£B内，

所以点M在平面D1QNB,与平面产的交线上，即Me8∣N.

因为CBJ_平面A8B∣A,BMU平面4830,所以CBLBM,

所以SBCM=gxCBχBM

当_LBIN时，BM最小，此时，Z∖BCM的面积最小.

又BB∖=1,BN=］故B∖N=旦.

2ɪ2

lx；/ʒ

由Rt片8N的面积可得BM=T=W,

√Jɔ

^τ

所以SHCM=LX]x-^∙=好.

BCM2510

关键点点睛：本题考查空间线面垂直的证明，解题的关键在于根据题意寻求M的轨迹，即

MGB1N,进而根据几何关系求解，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.

二、单选题

若P(ACB)=P(A)P(8),则事件A与事件B相互独立，故D正确；

故选：D

15.记S“为等比数列｛q｝的前〃项和.己知4=-4,q=1,则数列｛S,,｝()

A.无最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，无最小项D.有最大项，有最小项

【正确答案】D

【分析】求出公比4,求出S,,,然后分析｛S,,｝的性质即可.

【详解】设公比为4,则/=&=-!，q=-∖,

%8，2

-4χkf-lYl

IFHT3L12〃

当”为偶数时，对应函数为减函数，即Sz>S4>S6>

当“为奇数时，s,=q(ι+∕｝对应函数为增函数，即，<S3<S5<<-∣.

所以｛S,,｝有最大项为邑，最小项为5一

故选：D.

本题考查等比数列的前一项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得S.后按奇偶数分类,

QQ

得出奇数项递增，偶数项递减，但所有偶数项比-1大，所有奇数项比小，即可确定最

值.

16.在三棱台AAG-ABC中，点。在A与上，且AA//BD,点M是三角形AMG内(含

边界)的一个动点，且有平面8f>M∕/平面AACG，则动点M的轨迹是()

A.三角形A8∣G边界的一部分B.一个点

C.线段的一部分D.圆的一部分

【正确答案】C

【分析】过。作。E∕∕AG交BC于E,连接BE,证明平面BDE//平面A41C∣C,得MeDE,

即得结论.

【详解】如图，过。作。口MG交4G于E,连接BE,

BD//AA1,BOa平面AAIGC,AAlU平面AACC,所以BD〃平面AAeC,

同理DE〃平面AACC,又BDCDE=D,BD,DEu平面BDE,

所以平面8DE〃平面A4IC∣C,所以Mef）E,（〃不与。重合，否则没有平面BDW）,

故选：C.

三、解答题

17.（1）若直线4过点P（-l,2）,且与直线3x-4y+5=0垂直，求直线4的方程:

（2）若直线4过点。（1，-2）,且与圆/+V=1相切，求直线4的方程.

【正确答案】(1)4x+3y-2=0;(2)X=I或3x+4y+5=0.

【分析】(1)根据垂直列出直线人的方程，代入P(-l,2),求出直线4的方程；

(2)考虑直线4的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式列出方程，求出直

线方程.

【详解】(1)设直线4：4x+3y+C=0,将P(T,2)代入得：Y+6+C=0,解得：C=-2,

故直线4的方程为4x+3y—2=0；

(2)当直线4的斜率不存在时，x=l,此时与圆/+丁=1相切，满足要求,

则圆心到直线距离总空=1,

当直线6的斜率存在时，设直线*y+2=%(χ-1)

y∣l+k2

3

解得：k=-g

4

故直线4：y+2=-京1),整理得：3x+4y+5=0,

故直线4的方程为x=l或3x+4y+5=0.

18.如图，四棱锥P-ABCZ)的底面ABCO为菱形，叨，平面ABCO,PD=AD=2,

ZBAD=GOo,E为Be的中点.

(1)求证：ED_L平面PAD;

(2)求点C到平面PAB的距离.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵旭

7

【分析】(1)根据题意得到DElAr>,尸。，OE,再根据线面垂直的判定即可证明.

(2)利用空间向量法求解即可.

【详解】(1)连接3D,如图所示:

因为底面ABCZ)为菱形，/840=60。，所以ABCO为等边三角形，

又因为E为8C的中点，所以DELBC.

因为A£>〃8C,所以E>E∕AT>.

又因为PDJ•平面ABCD,/)EU平面ABCZ),所以PDJ_DE.

因为PDcAD=Q,所以E£>_L平面PAz).

(2)以。为原点，ZM,OE,Z)P分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示:

P(0,0,2),A(2,0,0),B0,石,0),c(-l,√3,θ),

PA=(2,0,-2),Λβ-(-l,√3,θ),CA=(3,-√3,θ)

设平面PAB的法向量〃=(x,y,z),

n∙PA=2x-2z=O

则｛I-,令y=ι,解得〃=(√5,ι,G),

n∙AB=-x+√3y=O

∣CΛ-n∣∣3√3-√3∣2^1

则a-1∩---------------------------------------------------

H‘3+1+37

19.已知圆C经过A(O,1),5(4,α)(a>0)两点.

(1)如果AB是圆C的直径，证明：无论α取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点,

求出这个定点坐标.

(2)已知点A关于直线y=X-3的对称点A也在圆C上,且过点B的直线/与两坐标轴分别交

于不同两点M和M当圆C的面积最小时，试求忸MHBNl的最小值.

【正确答案】⑴证明见解析，定点为(4,1)

(2)W-∣⅛n=8

【分析】(1)设点P(x,y)是圆C上任意一点，由AB是圆C的直径，得AP∙3P=0,从而

可求出圆C的方程，即可得出结论；

(2)根据题意可得点C在直线y=x-3上，要使圆C的面积最小，则圆C是以A4为直径

的圆，从而可求出圆C的方程，进而可求得8点的坐标，设出直线/的方程，分别求出M,N

的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解.

【详解】(1)设点P(χ,y)是圆C上任意一点，

因为AB是圆C的直径，所以AP∙BP=0,

BP(x,y-l)∙(x-4,y-α)=x(x-4)+(y-l)(y-α)=0,

所以圆C的方程为：X(X—4)+(y-l)(y-α)=0,

则x=4,y=l时等式恒成立，故定点为(4,1),

所以无论。取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，定点坐标为(4,1)；

(2)因点A关于直线y=X-3的对称点A也在圆C上，

所以点C在直线y=χ-3上，

又圆C的面积最小，所以圆C是以44'直径的圆，

设过点A与直线y=X-3垂直的直线方程为y=-x+∖,

由方程组得C(X-I),则IAa=7(2-0)2+(-I-I)2=2√2

所以圆C的方程为(x-2)2+(y+l)2=8,

当x=4时，<7=1或α=-3,又α>0,所以α=l,即B(4,l),

由题意知直线/斜率存在且不为零，设直线/的方程为y-1=Mχ-4),

当X=O时y=l-4k,当y=0,时x=4——，

κ

所以∣8M∣∙∣8N∣=√i^7I^F∙Jl+3=4j%2+:+2≥4j2jz2∙<+2=8,

(当且仅当上2=2,即A=±l时取等号)

则当尢=±1时，忸MHBMnin=8

20.正ABC的边长为4,8是A8边上的高，EE分别是AC和BC边的中点，现将AfiC沿

C。翻折成直二面角A—OC-8.

(1)求证：直线AB平面。£7L

(2)求二面角E—OF—C的余弦值；

(3)在线段8C上是否存在一点P,使APLDE?若存在，请指出P点的位置，若不存在，请

说明理由.

【正确答案】(1)证明过程见详解

⑵手

(3)存在，靠近B的三等分点

【分析】(1)判定线面关系，可以从线线关系寻找，由线段中点，可利用中位线性质的线线

平行，再利用线面平行判定定理确定；

(2)求二面角，一般利用空间直角坐标系，结合空间向量的数量积解决：先建立空间直角坐

标系，再分别计算两平面的法向量，最后利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求

二面角为锐角即可得出结论；

(3)确定点的位置，一般利用空间直角坐标系求出点的坐标，再明确位置关系.要求点P的坐

标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直，利用这两个条件可得点尸的位

置，进而求解.

【详解】(1)如图，在ABC中，由EF分别是ACBC中点，得EF//AB,

又4BZ平面DEF,EFu平面DEF,:.AB/平面DEF.

（2）由题知，ADrCD,平面ADCL平面BZ）C,且交线为。C,

..4?_1平面引丸7,因为3。,。CU平面BOC,所以AD_L3D,AZ）_LDC,

又已知B/）_LC£>,∙∙∙AO,8R8两两垂直，以点O为坐标原点，直线。8、£>CQA为X轴、y

轴、Z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则A（0,0,2）,8（2,0,0）,C（0,260）,E（0,W,l）,F（l,g,0）,

平面CDF的法向量为DA=（0,0,2）,设平面EDF的法向量为n=（x,y,Z）,

DFn=0

则

DEn=0

DA.n√21

cos<DA,n>=

MH=~

二面角E-D尸-C的余弦值为也ɪ.

7

(3)设P(X,%0),因为APJ_DE,则AP.CE=百y-2=0,.∙.y=^,

又BP=(X-2,y,0),PC=(一羽2百一y,θ),

3尸〃PC.∙.（X—2）（2石一y）=—肛,/.√3x+γ=2√3,

把），=型代入上式得X=±.∙.BP=∖BC,

333

在线段BC上存在点即靠近B的三等分点，使AP_LDE.

1ɔɔJ

21.设各项均为整数的无穷数列｛q｝满足4=1,且对所有“wN*,∣α,用-4|=〃均成立.

（1）求q+%+%的所有可能值；

（2）若数列｛%｝使得无穷数列4、%、％、、。2,1、是公差为1的等差数列，求数列｛4｝的

通项公式；

（3）求证：存在满足条件的数列｛q｝,使得在该数列中有无穷多项为2021.

空为奇