2023届浙江省考试院抽学校高考考前冲刺必刷卷（一）数学试题

2023届浙江省考试院抽学校高考考前冲刺必刷卷（一）数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z满足z（I）="画，则复数z等于O

A.1-ZB.1+iC.2D.-2

2.已知命题〃：m方>2,其一8>0,那么力为（）

33

A.3x0>2,x0-8<0B.VX>2,X-8<0

33

C.<2,X0-8<0D.VX<2,X-8<0

3.已知函数下列命题：①函数f（x）的图象关于原点对称；②函数/（X）是周期函数；③当x=I时，

函数Ax）取最大值；④函数/（x）的图象与函数'=■!■的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）

X

A.①④B.②③C.①③©D.①②④

4.设双曲线C:二-上=1的右顶点为A,右焦点为尸，过点尸作平行C的一条渐近线的直线与C交于点3,则

916

△A/有的面积为（）

3264

A.芸B.一C.5D.6

1515

5.过抛物线丁=2a（〃>0）的焦点作直线交抛物线于AB两点,若线段A3中点的横坐标为3,且|AB|=8,则

抛物线的方程是（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2-10%

6.在钝角A6C中，角A,3,C所对的边分别为a,瓦c,3为钝角，若acosA="sinA,贝！IsinA+sinC的最大值

为（）

l97

A.J2B.-C.1D.-

88

7.在严的展开式中，/的系数为（）

2x

A.-120B.120C.-15D.15

8.已知a=(cosa,sina),b=(cos(-a),sin(-a)),那么a.b=()是。=br+^(%eZ)的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知A类产品共两件4,4，8类产品共三件4,鸟,33,混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机

检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A类产品或者检测出3件B类产品时，检测结束，则第一次检测出3

类产品，第二次检测出A类产品的概率为(）

1323

A.-B.-C.-D.—

25510

10.设函数/(乃=三产，则y=/(x),xe[-），句的大致图象大致是的（）

x2+l

y*

+

A・AB・

,■.]-----尸，J,J+A

Ox

，0nX

X

f_

C.»D.“■+一■・♦--―卜一--

千Owxf4-A

，OnX

11.用数学归纳法证明..，则当---_时，左端应在r_-的基础上加上（）

：+m+…+匚・=」——U1JJ

A-B-co+jy

D.

COSA：

12.f(x]=--在原点附近的部分图象大概是（）

sinx

ML0

A.—；二。],二3B.

nR.mr

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x-y+2>0

13.若变量x,N满足约束条件,则z=3x+2y的最大值为.

x+y>0

14.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票.这3名候

选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的88%,75%,46%,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比

值)最高可能为百分之.

“我身边的榜样”评选选票

候选人符号

甲注：

1.同意181“。”,不同意

乙2.等小道票“。”的个教不超浮2时才为用年票.

丙

15.函数y=的定义域为

16.已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2,则该圆柱的底面半径为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=xlnx-,aeZ.

(D当。=1时，判断x=l是否是函数/(x)的极值点，并说明理由;

(2)当x〉0时，不等式/(x)W0恒成立，求整数。的最小值.

18.(12分)在直角坐标系X0V中，已知点P(LO),若以线段PQ为直径的圆与轴相切.

(1)求点。的轨迹C的方程;

⑵若C上存在两动点A,B(A,8在x轴异侧)满足Q4.OB=32,且△RW的周长为2,用+2,求的值.

x=2-f

19.（12分）已知在平面直角坐标系xQy中，直线C,的参数方程为「一日口为参数），以坐标原点为极点，x轴

U=2+r

的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕=COS。（夕cos6+2）.

（1）求曲线G与直线C2的直角坐标方程；

（2）若曲线G与直线交于A,8两点，求的值.

20.（12分）已知首项为2的数列｛4｝满足/M+2'".

〃+1

（1）证明：数列（缓｝是等差数列.

（2）令2=4+〃，求数列也｝的前〃项和S”.

21.（12分）已知acR,函数/（x）=ln（x+l）-%2+ax+2.

（1）若函数在［2,+8）上为减函数，求实数。的取值范围；

（12、12

（2）求证：对（-1,+℃）上的任意两个实数X1,》2，总有/鼻西+公工22鼻/（玉）+./（工2）成立.

22.（10分）已知公差不为零的等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,%=4,%是生与4的等比中项.

（1）求S,；

a

（2）设数列｛〃｝满足4=。2,bn+l=bn+3x2",求数列｛〃｝的通项公式.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.

【详解】

复数z满足z(l—i)="Gi|=2,

22(1+z).

AZ=-------=--------rr------r=l+Z,

1-z(l-z)(l+z)

故选B.

【点睛】

本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题.

2、B

【解析】

利用特称命题的否定分析解答得解.

【详解】

已知命题P：m』>2,-8>0,那么]〃是\/%>2,/一840.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

3,A

【解析】

根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为R,最值点即为极值点，由/[1^=0

知③错误；令g(x)=/(x)-J在x〉0和x<0两种情况下知g(x)均无零点，知④正确.

【详解】

由题意得：“X)定义域为R,

sin(-x)_sinx

一/(力，，/(力为奇函数，图象关于原点对称，①正确;

/(T)=(-x)2+lX2+1

y=sinx为周期函数，y=f+i不是周期函数，不是周期函数，②错误;

(x2+l)cosx-2xsinx

*上。，,

不是最值，③错误;

x2+1)2

1

A[•isinx-x——

令g(x)=〃x)」卓—

XX4-1XX4-1

当x>0时，sinx<x>—>0,.,.g(x)<0,此时/(x)与y无交点;

Xx

当％<0时，sinx>x,—<0,/.^(x)>0,此时/(x)与y无交点；

XX

综上所述：/(%)与.丫=:无交点，④正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的

求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.

4、A

【解析】

根据双曲线的标准方程求出右顶点A、右焦点户的坐标，再求出过点b与C的一条渐近线的平行的直线方程，通过

解方程组求出点B的坐标，最后利用三角形的面积公式进行求解即可.

【详解】

由双曲线的标准方程可知中：4=3力=4."=，/+/=5,因此右顶点A的坐标为(3,0),右焦点尸的坐标为

44

(5,0),双曲线的渐近线方程为：y=±jx,根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F作平行C的一条渐近线y=

44

的直线与C交于点8,所以直线EB的斜率为因此直线EB方程为：y=-(x-5),因此点B的坐标是方程组：

的解，解得方程组的解为：；即8(二，一行)，所以△AF8的面积为:

xV,_32

=1

916---------------------------Iy=--1-5-

1x(5-3)x32_32

I?一71

故选：A

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线方程的应用，考查了两直线平行的性质，考查了数学运算能力.

5、B

【解析】

利用抛物线的定义可得,IAB|=|”|+1阴=玉+勺々+多把线段相中点的横坐标为3,1|=8代入可得p值,

然后可得出抛物线的方程.

【详解】

设抛物线V=2px(p>0)的焦点为F,设点A(x,,%),3(孙必),

由抛物线的定义可知IAB1=1AF\+\BF\=xx+^+x2+^={xx+x1)+p,

线段AB中点的横坐标为3,又|AB|=8,，8=6+。，可得。=2,

所以抛物线方程为y2=4x.

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.

6、B

【解析】

首先由正弦定理将边化角可得cosA=sinB,即可得到A=8-再求出6G弓)最后根据

sinA+sinC=sinB---+sin71-B-----B求出sinA+sinC的最大值;

I2)LV2；,

【详解】

解：因为acosA=Z?sinA,

所以sinAcosA=sinBsinA

因为sinAwO

所以cosA=sin3

八47cn兀乃

0<A<—0<B----<一

222

71„71

—<B<7t即<—<B<»

22

0<C<-

2II2；2

.,.sinA+sinC=sinB--+sin

I2

=-cos3—cos23

=-2cos2B-cosB4-1

cosB+—

4

cosB=——e一--,0时(sinA+sinC)

4

故选：B

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.

7、C

【解析】

写出（X-'-严展开式的通项公式&1=/）（一3"'°必，令10—2r=4,即r=3,则可求系数.

2x2

【详解】

（X—的展开式的通项公式为=令10-2r=4,即r=3时，系数为

2x2x2

a1a

C：）（—2）=一15.故选C

【点睛】

本题考查二项式展开的通项公式，属基础题.

8、B

【解析】

由。m=0,可得cos2a=0,解出即可判断出结论.

【详解】

解：因为a=（cosa,sina）,匕=（以九（一。）,5m（一。））且4g=0

coscu.cos（-a）+sina^>in（-a）=cos2tz-sin2a=cos2a=0.

jrTT

2a=2k.n±—,解得a=k;r±w（左eZ）.

n

a.6=0是。=%»+：（%€Z）的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】

本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

9、D

【解析】

根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出B类产品的概率，不放回情况下第二次检测出A类产品的

概率，即可得解.

【详解】

A类产品共两件4,4，B类产品共三件现出出,

则第一次检测出8类产品的概率为|;

21

不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出A类产品的概率为一=—；

42

313

故第一次检测出3类产品，第二次检测出A类产品的概率为-x-=—；

5210

故选：D.

【点睛】

本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.

10、B

【解析】

采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A；通过判断特殊点（不）的函数值符号排除选项D和选项C

即可求解.

【详解】

对于选项A:由题意知，函数/（X）的定义域为R,其关于原点对称，

因为=⑺

、）D+1%+1

所以函数/（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故选A排除；

（、闺sin闺2

对于选项D:因为/g="J>0，故选项口排除；

⑴[J+1万

对于选项C：因为/（0=巴学⑷=0,故选项C排除；

71+1

故选:B

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点

并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

11、c

【解析】

首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n[=_..：时，当n=k+l时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别

2

使得n=k,和n=k+l代入等式，然后把n=k+l时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案.

【详解】

当n=k时，等式左端=1+1+…

当n=k+l时，等式左端=1+1+…+k】+ki+l+ki+l+...+(k+1)*,增加了项(k,+l)+(k'+l)+(k'+3)+...+(k+1)*.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查数学归纳法，属于中档题./

12、A

【解析】

分析函数y=/(x)的奇偶性，以及该函数在区间(0,〃)上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.

【详解】

令sinxoO,可得乃MeZ},即函数y=/(x)的定义域为肛ZeZ},定义域关于原点对称，

COS(T)COSX

/(-%)=.(、=———=一小)，则函数y=/(x)为奇函数,排除c、D选项；

sin(-x)sinx

cosx

当0<x<7t时，ecosx>0,sinx>0,则=---->0»排除B选项.

sinx

故选：A.

【点睛】

本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分

析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

2

【解析】

3z

根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线y=在y轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的

£3

方式可确定过B时，Z取最大值，代入可求得结果.

252

【详解】

由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:

3z3z

将z=3x+2y化为y=_y+],则z最大时，直线y=_芸+,在），轴截距最大;

33z

由直线y=—平移可知，当y=—+-过3时，在丁轴截距最大，

222

x-y+2=0

3x+y=0

3

故答案为：

2

【点睛】

本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在>,轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的

方式可求得结果.

14、91

【解析】

设共有选票10（）张，且1,2,3票对应张数为％、2,由此可构造不等式组化简得到z=x+9,由投票有效率越高二越小,

可知Zmin=9,由此计算可得投票有效率.

【详解】

不妨设共有选票100张，投1票的有X,2票的有y,3票的有z,则由题意可得：

x+2y+3z=88+75+46=209

<x+y+z=100,化简得：z-x=9,即z=x+9,

x,y,zeN

投票有效率越高，z越小，则x=0,z=9,

100-9

故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为一^^一x100%=91%.

故答案为：91%.

【点睛】

本题考查线性规划的实际应用问题，关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.

15、(0,1]

【解析】

x>0

由题意得｛log/20：，解得定义域为(0』.

2

16、乖)

【解析】

由圆柱外接球的性质，即可求得结果.

【详解】

解：由于圆柱的高和球半径均为2,,则球心到圆柱底面的距离为1,

设圆柱底面半径为广，由已知有产+F=22,

r--\/3，

即圆柱的底面半径为6.

故答案为：73.

【点睛】

本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)x=l是函数f(x)的极大值点，理由详见解析；(2)1.

【解析】

(1)将“=1直接代入，对/(幻求导得尸(x)=lnx-4x+4,由于函数单调性不好判断，故而构造函数，继续求导,

判断导函数/'(X)在x=l左右两边的正负情况，最后得出，x=l是函数/(x)的极大值点；

(2)利用题目已有条件得再证明。=1时，不等式/(x)W0恒成立，即证lnx-2x+3-1W0,从而可知整

x

数”的最小值为1.

【详解】

解：(1)当a=l时，/'(x)=lnx-4x+4.

4-F(x)=/'(x)=lnx-4x+4,则F'(x)=--4=-——

当时，F(x)<0.

4

即尸(x)在匕内为减函数，且/'(1)=0

.,.当时，/<》)>0；当工€(1,+00)时，/,(x)<0.

.•./(X)在匕件"内是增函数，在(1,4W)内是减函数.

综上，x=l是函数“X)的极大值点.

(2)由题意，得了(1)40,即ail.

现证明当。=1时，不等式〃x)W0成立，即xlnx—2x?+3x—1W0.

即证Inx-2x+3-'«0

X

令g(x)=lnx-2x+3——

2

EI1-2x+x+l-(2x+l)(x-l)

贝!lg<x=——2+F=——一=」——/一L

Xxx~X

.•.当xe(0,l)时，8'(%)>0；当％€(1,+8)时，g(x)<().

.•.g(x)在(0,1)内单调递增，在(1,”)内单调递减，

g(%)的最大值为g(1)=0.

・■•当x>0时9Inx—2x+3—W0.

x

即当x>0时，不等式/(x)WO成立.

综上，整数。的最小值为1.

【点睛】

本题考查学生利用导数处理函数的极值，最值，判断函数的单调性，由此来求解函数中的参数的取值范围，对学生要

求较高，然后需要学生能构造新函数处理恒成立问题，为难题

18、(1)>2=4X；(2)|AB|=48

【解析】

(D设Q(x,y),则由题设条件可得J(x-1)?+>2=2'卜1*化简后可得轨迹c的方程.

(2)设直线A8：X=,町，+”，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简Q&.08=32并求得〃=8,结合焦半径

公式及弦长公式可求加的值及|AB|的长.

【详解】

(1)设Q(x,y),则圆心的坐标为(WV)，

因为以线段P。为直径的圆与y轴相切，

所以J(x-l)-+。=2X,

化简得C的方程为y2=4x.

⑵由题意k"#0，设直线AB:x=my+〃，

联立y?=4x得V_4,町-4〃=0,

设A(3,yJ,3(孙%)(其中%%<0)

所以X+%=4m,%•%=-4〃,且力〉0,

22

因为0A-0B=32，所以0A•0B=玉工,+y%=1,~~+V1％=32>

16

“2・4〃=32,所以(〃-8)(“+4)=0,故及=8或〃=T(舍)，

直线AB:x=/My+8,

因为△R46的周长为21ABi+2

所以|川+|冏+|阴=2|阴+2.

^\PA\+\PB\=\AB\+2,

因为|PA|+1P5|=的+中+2=□(%+%)+18=4m2+18.

又+卜=Jl+W?•,4加)2+128=4小(1+m2)(8+加2),

所以4m2+]8=410+/叫(8+也+2,

解得加=±2&，

所以,用=441+也(8+也=4*+8)(8+8)=48.

【点睛】

本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立

方程组并消元得到关于x或)'的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系

中含有%%,%+为或X%，X+必，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.

19、(1)曲线G的直角坐标方程为V=2x；直线。2的直角坐标方程为刀+丁―4=0(2)60

【解析】

X=OCOS0

(1)由公式,八可化极坐标方程为直角坐标方程，消参法可化参数方程为普通方程；

y=psin，

(2)联立两曲线方程，解方程组得两交点坐标，从而得两点间距离.

【详解】

解：(1)夕cose(/?cos8+2)

p=pcos?。+2cos。

p1=p2cos?6+2pcos。

x2+y2=x2+2x

曲线G的直角坐标方程为y2=2x

直线。2的直角坐标方程为x+y-4=0

y=—x+4x=2fx=8

⑵据2c解，得c或，

y2=2xy=21y=-4

|阴=J(2-8『+[2-(-4)丁=672

【点睛】

本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题.

n+2

20、(1)见解析；(2)Sn=2'+-n+-n-2

22

【解析】

(1)由原式可得(〃+1)。的=2〃凡+2向,等式两端同时除以2向，可得到(〃；胃=要+1，即可证明结论；

(2)由(1)可求得筮的表达式，进而可求得。“也的表达式，然后求出低｝的前〃项和S“即可.

【详解】

(1)证明:因为。,出=2〃4+2”",所以(〃+])2〃。“+2的,

n+1n+\

所以"答=螯+1，从而然智一蒙=1，因为4=2,所以年=1，

故数列，翳，是首项为1,公差为1的等差数列.

(2)由(1)可知^^=1+(〃-1)=〃,则4=2",因为勿=4+〃,所以2=2"+〃，

则5“=4+功+4+…+a=(2+1)+(22+2)+(23+3)++(2"+”)

232x12，；n+l2

=(2+2+2++2")+(1+2+3++n)=(~)+=2+-n+-n-2.

1-2222

【点睛】

本题考查了等差数列的证明，考查了等差数列及等比数列的前〃项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力，属于中档

题.

21、(1)(一8，,(2)见解析

【解析】

(1)求出函数的导函数，依题意可得了'(x)40在x«2,—)上恒成立，参变分离得a42x--Lj•在x«2,小»)上

恒成立.设〃(幻=2x-一1,求出A(x)min即可得到参数的取值范围；

x+1

(12A12

Fxxx