第26练 数列的概念及简单表示（解析版）-2023届高三数学一轮复习五层训练（新高考地区）

第26练数列的概念及简单表示

课本变式练+考点分类练+最新模拟练+高考真题练+综合提升练

一、课本变式练

1.（人A选择性必修二P8习题4.1T2变式）数列｛4｝中，4=2,am+II=aman,则4=（）

A.8B.16C.12D.24

【答案】B

【解析】因为数列｛〃”｝中，4=2,am+„=aman,所以令机=〃=1,则/=qq=2x2=4,即生=4,

令m=〃=2,则/+2=。2“2=4x4=16,即q=16

2.（人A选择性必修二P8习题4.1T3变式）观察下列数的特点1,2,-1,3,-4,7,x,18,-29,

其中x为（）

A.12B.-12C.11D.-11

【答案】D

【解析】观察下列数的特点1,2,-1,3,T,7,x,18,-29，…，可知：I—2=—1,2-（-1）=3,—1—3=T,

3-（Y）=7，得X=-4-7=-11.故选D.

3.（人A选择性必修二P8习题4.1T4变式）已知q=l,-1+--（"22）,则％=.

an-\

Q

【答案】I

।[315]8

[解析]由已知可得%=1+—=2,4=1+—=不，%=1+—=->%=1+—=£.

qa22a33a45

4.（人A选择性必修二P8习题4.1T5变式）古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1,3,6,10,15,21,....这

些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样

的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第10个三角形数是.

•••

・•・•••...

••••••••••

13610

【答案】55

【解析】根据题意，三角形数的每一项都是数列｛〃｝的前〃项的和，即4=1+2+3++n,al0=55

二、考点分类练

（一）根据递推数列通项确定数列指定项

5.（2022届湖南省长沙中学高三下学期月考）设数列｛q｝满足4=7,且％7=（1-4旷，则出=（）

A.1B.2C.4D.9

【答案】D

【解析】因为/=[1-（-1）—,所以%=0-4）2=（-3）2=9.故选D

6.（2022届江西省南昌市高三第一次模拟）数列｛4｝中，4=2,am+n=aman,则〃4=（）

A.8B.16C.12D.24

【答案】B

【解析】因为数列｛”“｝中，4=2,am+n=aman,所以令加=〃=1,则4+|="吗=2x2=4,即々=4,

令加=〃=2,则〃2+2=〃2〃2=4x4=16,即。4=16,故选B

（二）由数列前若干项确定数列通项或指定项

7.（2022届甘肃省民乐县高三第二次诊断）已知数列百，技疗,3,4T,…，而工T,…，则石T是这个数列的

（）

A.第12项B.第13项C.第24项D.第25项

【答案】D

【解析】根据题意，由2〃+1=51,得〃=25,故后是这个数列的第25项.故选D.

8.（2022届河南省联考高三上学期核心模拟卷）观察下列数的特点1,2,-1,3,-4,1,x,18,-29,

其中x为（）

A.12B.-12C.11D.-11

【答案】D

【解析】观察下列数的特点1，2,-1,3,Y,7,x,18,-29,…，可知：1—2=—1,2-（-1）=3,-1-3=^,

3-（-4）=7,得x=-4-7=-ll.故选D.

（三）数列的单调性

9.（2022届北京大学附属中学高三三模）己知数列｛《,｝满足的汹a„=n2,其中“=1,2,3,…，则数列｛%｝

（）

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】A

2

【解析】依题意，因为4。2a3",=/，其中"=1,2,3,…,当〃=1时，al=l=1,

当"22时，Ga,%a„-i=(«-1)2.”",小,两式相除有凡=」-F=(1+—!—],"22,易得““随

("-1厂In-\)

着"的增大而减小，故。“4出=4,且。“>1=4，故最小项为4=1,最大项为%=4

故选A

10.已知数列｛4｝是递增数列，且满足。e=2%+1,且％的取值范围是.

【答案】(―1,+8)

【解析】由%=2。,+1，得4+1=2(4+1),

因为｛叫是递增数列，所以｛%+1｝也是递增数列，

所以｛勺+1｝是公比为2的等比数列，且4+1>0,即4>-1.

(四)周期数列

11.(2022届海南省琼海市高三三模)已知数列｛%｝中，4=2,4=4,a„+all+i+an+2=2,则“2022=()

A.4B.2C.-2D.-4

【答案】D

【解析】因为4=2,%=4,。,,+。“+|+。“+2=2,所以a,.=2-。“+|-可，则4=2-g-q=~4,

4=2-。3-。2=2,。5=2-%-“3=4,…，所以数列｛“"｝是以3为周期的数列，则的022=“674*3=。3=T.

故选D.

12.(2022届上海市静安区高考二模)数列｛〃"｝满足4=2,出=丁工，若对于大于2的正整数〃，4=1匚，

[~a\1一%

贝IJ402=•

【答案】I

_1_,_I_1_1__I_.

[解析]由题意知：2"1^2-'3-Tp)-2，C，4~^~20，as~T2~.

2

故但“｝是周期为3的周期数列，则为2=4,34=%=g

（五）求递推数列的通项

13.已知数列佃,｝满足且。用=痣

7T贝数歹

23%+LIIiJ/=________

1

【答案】

3〃一I

【解析】由4”=总7两边取倒数可得一二='+3,即1-一'=3,所以数列是等差数列，且首项

3a“+14出anan,la„[aj

为2,公差为3,所以，=3〃-1,所以4=工

an3〃-1

+2+，

14.数列｛4“｝满足：«|=|,（T-\）a„+l=（T'-2）a„（neN）,则｛《,｝的通项公式为.

2"

【答案】4=（2"-1）（2"+,-1）

c9w+,—9ow—1

【解析】由（2*-1）%=（2向-2）《,得，拳1=诏7=2.蒲］

a“乙—1z—1

则.•也.心.—=2・二232五…-

-%42--12«-12--123-1（2向-1）（2"-1）'

an_3.2"T,2_2"

即,一（2"_1）（2"+'_1）'乂勾=彳'所以凡一（2"-1乂

（六）4与S”的关系及应用

15.已知数列｛4｝的前”项和为S”.若q=2,an+l=S„,则qoo=（）

A.297B.298C.2"D.2'00

【答案】C

【解析】当“22时，由a,+i=S,①，可得：为=S“T②，两式相减得：/+「%=%,

所以a.+i=2a“，n>2,当〃=1时，a2=S,=^=2,

故数列｛q｝是从第二项开始的，公比是2的等比数列，所以q=

所以40G=2",故选C

2

16.（2022届陕西省西安交通大学附属中学高三下学期全真模拟）设数列｛4｝的前〃项和为S“，S,.=n+n,

则为=.

【答案】2〃

【解析】当”=1时，4=3=2,当"22时，S,i=（"-1『+（"-1）=1,所以=S“一S"T=2〃，

4=2也符合上式，所以a“=2".

三、最新模拟练

17.(2022届青海省西宁市高三二模)已知S,为数列｛%｝的前"项和，q=l,a向+2S,,=2〃+1,则$26=

()

A.2020B.2021C.2022D.2024

【答案】C

【解析】当〃=1时，%+2S[=2+1=>%=1，当”22时，由a,+|+2S“=2〃+l得a“+2S“T=2〃-1,

两式相减可得-4,+2%=2,即可+%=2,所以q=1,可得S.=〃，所以％22=2022.

故选C.

18.(2022届北京市第八十中学高三下学期考前热身数学练)数学源于生活，数学在生活中无处不在!学习

数学就是要学会用数学的眼光看现实世界!1906年瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花形状的图案，他的做

法如下：从一个边长为2的正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边，分别向

外作正三角形，再去掉底边(如图①、②、③等).反复进行这一过程，就得到雪花曲线.

①②③

不妨记第〃(〃=1，2,3,…)个图中的图形的周长为小,则%=()

256r256八512_

A.—B.—C.—I

92727

【答案】C

【解析】由图知:第一个图有3条边,各边长为2,故周长4=3x2；

第二个图有12条边，各边长为2:，故周长见=12x2：；

第三个图有48条边，各边长为2:，故周长为=48x2]；

所以边的条数是首项为3,公比为4的等比数列，则笫〃个图的边有3・4"T条,

边长是首项为2,公比为;的等比数列，则第八个图的边长为

故氏=3X44X2X('"=詈.故选C

19.(2022届浙江省金丽衢十二校高三下学期5月第二次联考)己知数列｛为｝满足：4=2,

%=:(阮+2勺)("M).记数列｛为｝的前“项和为S"，贝IJ()

A.12<5|0<14B,14<S10<16

C.16<SI()<18D.18<510<20

【答案】B

【解析】生=；(6+2q)>g(l+2)=l,a3>gx(l+2)=l,依次类推，则为>1；

+2a-3

由4+1=g(5/^+2a“)得：«„+1-1=n)-

.]_3_________3________

1—I2a“+疯-3(2阮+3)(疯-1)，

令b,,=a“-l,7；为他,｝的前“项和，•・$=(+〃，

又q-l=l,.•.也｝为递减数列，即｛4｝为递减数列，.・.%wq=2,

<2(当且仅当”=1时取等号),

「c1I2

I—/-7c3_-<------―—v-

1<a40<2,，5<2+『<5,5217,

也如

M-I

.•士A_<2,

5%7'呜今4W，/

9

,,,工HI

0>〉4，几<；=61-<6，

,42'-I用

/.4<7；0<6,.74<百0<16.故选B.

20.(多选)(2022届广东省高三模拟押题卷)已知数列｛%｝满足q=lM,+4i=〃2(〃N2,"eN)5"为其

前〃项和，则()

A.aA-a2=7B.=55

C.&=35D.4+4=28

【答案】ABC

22

【解析】因为q=l,〃2+q=2?,a3+a2=3,a4+a3=4,

222

«5+a4=5,a6+a5=6,...»a10+a9=10,

22

所以4-。2=下-3?=7,a6—a4=6-5=11,

2222

iz8—=8—7=15,t/l0—=IO-9=19,

累加得4O-4=7+11+15+19=52,

•*46Z|Q=4-52=2~—q+52=3+52=55,=q+〃-,+q+/+%=1+3~+5-=35,

因为。4一〃2=7,a^—a2=7+11+15=33,所以4+%=7+33+2%=46,

故选ABC.

21.(多选)(2022届广东省汕头市高三三模)意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样

的一列数：1,1,2,3,5,8,13,....即从第三项开始，每一项都是它前两项的和,后人为了纪念他，

就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列｛%｝说法正确的是()

A.«12=144B.。2022是奇数

C.。2022=q+〃2+/++”2020D.出020+/024=^^2022

【答案】AD

【解析】易知,数列他“｝满足递推关系/+2=。用+4.

选项A：%2=41+%0=2。］0+%=3%+2。8=5。8+3。7=8%+5。6=8x13+5x8=144；故A正确；

选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，2022=674x3,恰好能被3整除，且处为

偶数，所以〃2022也为偶数，故B错误；

选项C：右选项C1E确，乂。2022=。2()21+。2020，则“2021=4+。2+，+。2()19，

同理々2020=4+W++%)18，。2019=%+出++々2017,依次类推，可得包=4+4，显然错误，故C错误；

选项D：02024=%023+^2022=2出022+^2021»乂。2020+%024=4()20+2a2022+“2021=2a2022+(。2020+^2021)=^^2022，

故D正确

22.（2022届浙江省杭州二中、温州中学，金华一中三校高三下学期5月仿真）如图1是第七届国际数学

数育大会的会徽,它的主题图案是由图2所示的直角三角形演化而成的，设其中的第一个直角三角形。是

等腰三角形，且。4=4人=44=441=-=44=1，它可以形成近似的等角螺线，记04，°4,04-一，04

【答案】2&

【解析】由题意知：4=1,%=J1+1=G.,a、=yj2+l=百,,4=,7+1=.

四、高考真题练

23.（2022高考全国卷乙）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞

行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛2｝：4=1+｝，

]

«,+「，…,依此类推，其中«,eN*（Z=1,2,）.则（）

eZj+—?

%a、H-----

'«3

A.b1<b5B.么<dC.bh<b2D.b4<b]

【答案】D

,11

1--->-------------

【解析】解法-：因为%eN*（攵=1,2,），所以/</+——，名&+」-，得到白>/，

“1a、

।1II

11—〉------------

ctxH------>%H--------------a1

同理。2。上「可得仇<公4>&，乂因为%«2+1

~a.%------

%

11

«|+-----「＜«1+-------i—

+

«2+-«2-----「，故力2＜%也＞"；以此类推，可得4＞4＞仇＞打＞…也＞&，故A

11

屋〉i

2

错误；/＞〃7＞4，故B错误；«2+-----「.得仇故c错误；

a-,+…——

%

1I

«1+----------J—〉%+-----------j■—

«2+-----「«2+-.....「，得仇＜&,故D正确.故选D.

%---0^4---

%a3

[1|3]5]8

解法二：特例法，取4=1,则4+1=1+1,则伪=1+；=2,4=1+丁=奉4=1+7=彳,"=1+[=£,

bn1h12b23b35

么=1+7-=不也=1+7"=々，&=1+二=不"也=1+7-=方,由此可排除ABC,故选D.

b48b513b621b13A

24.（2016高考全国卷HI）定义“规范01数列”｛叫如下:｛a“｝共有2加项,其中加项为0,〃?项为1,且对任

意七・2〃?,44.，4中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列''共有（）

A.18个B.16个C.14个D.12个

【答案】C

【解析】由题意，得必有q=0,6=1,则具体的排法列表如图所示，共14个，故选C.

㈠111

011

0

101

1

10

0011

001

1

01101

01

10

10

011

001

101

10

1001

i0

25.（2018高考全国卷数I）记S”为数列｛4｝的前〃项和.若S“=2a“+l,51lJS6=

【答案】-63

【解析】S,为数列｛4｝的前〃项和.若S“=2a“+1,①当〃=1时，4=24+1,解得％=-1,

当〃22时，S,i=2a“_]+1,②,由①-②可得a”=2%-2勺_1，二a”（〃之2）,

.•.｛4｝是以q=-1为首项，以2为公比的等比数列，.♦.§6=——-------^=-63.

1—2

26.（2015高考数学新课标2理科）设5“是数列｛q｝的前〃项和，且q=—1,atl+i=S“S向，则5〃=

【答案】---

n

【解析】由己知得。,用=s,川一s“=s”+「s”，两边同时除以s,川・s“，得一!——-=-1,故数列是

Sns”

以一1为首项，一1为公差的等差数列，则—1=一1一（〃-1）=一〃，所以5“=一’.

S.〃

五、综合提升练

27.（2022届安徽省六安市舒城中学高三下学期仿真模拟）已知各项均为正数的数列｛《,｝满足巧=1,

=4：；-'-（〃€“），则数列｛4｝（）

an+\

A.无最小项，无最大项B.无最小项，有最大项

C.有最小项，无最大项D.有最小项，有最大项

【答案】D

【解析】数列｛七｝各项均为正，

4=1,由4=WL得的>1,一般地由数学归纳法知当勺>1时，由可=。黑__L得am>1（否则若<1,

a2an+\

则a；：：41,---->1,a；：=*;—<1,a“<l矛盾），

an+\an+\

所以数列｛a,,｝中，“22时,an>1,4=1是最小项.

又4：=4：：--L>a；；：：T,暗：-a：<1,所以a；4”，aJ,

记v-二，则17=也二，两边求导得上=上坐，即，_(l-lnx)J,

yA

~xyxy-x2

x>e时，y〈o,v—J是减函数，

所以〃*3时，/｝是递减数列，因此｛《,｝有上界，〃28时，〃“</，

“；一，=1即优-a,-1=0,

a2--

设“x)=x3_x-l,1(x)=3f-l,xNlH寸，f'(x)>0,/(x)是增函数，

经过计算，得8>1.29684，而/(88)z_0.11582<0，所以x>l时满足/(x)=0的x满足工>，，即,汽，

从而。2>4，而这6个数中一定有最大值，此最大值也是数列｛4｝的最大项.

故选D.

28.(2022届浙江省绍兴市柯桥区高三适应性考试)已知正项数列｛q｝,对任意的正整数，小〃都有

2。,,,+“<的〃,+%,，则下列结论可能成立的是()

A.—+—=B.na+rna=a^

mnmnm

c.am+an+2=anmD.2am-a,t=am+ll

【答案】D

【解析】对于A,可取加=1,此时%+幺=%,所以4=0,与｛为｝为正项数列矛盾，舍去；

n

对于C,可取m=1,此时4+4,+2=4,,所以q=-2,与｛q｝为正项数列矛盾，舍去；

对于B,可取m=1,则"4+an=ai+n,

所以q+i-4,="4,即=(«-1)«(,

故累加后可得4-4=40+2+3+心2),整理得到〃“=土产6,

〃=1时，/也符合该式，从而

n.c「4/一2〃+4机2-2m/、2/、

此时〃2,〃+%〃一2a,〃+〃=q------------------("+加)+(〃+〃?)

二4(加一〃y>o,

故2a…工。2,“+%〃成立，

若nam+man=atnJrn成立，取用=〃=2,则4%=4，

但此时aA=64,%=2%,4a2=%不成立，故B错误.

对于D,

12m2m+n

可令q=2'-,则a21n+%”=2-'+2"-'>2.J22'"T"'i=2=2am+n.

当且仅当加=〃时等号成立，满足题干条件，

此时，24M,=2"+"-‘=《“*”，解得：«=p故D选项可能成立，故选D

29.（多选）已知数列｛%｝满足为=28,4,=［广）"+〃卜,1（”22）,„eN\数列出｝的前〃项和为S“，且

b1Oa1O

n=g2（^„+2-2n-\）-§2（«2„-«2„+l）>则下列说法正确的是（）