2024届百师联盟高三年级上册开学摸底联考新高考（河北卷）数学试卷

2024届高三开学摸底联考

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

L已知集合A={l,2,3,4},B=z—|，则AB=

xL)n

A.{1}C.{2,3,4)D.(1,2,3,4}

£已知cosa

/7-cinT

土函数/氏）=.«为自然对数的底数）在［—2,2］的大致图象是

2

4,已知椭圆—%2+匕y=1的焦点在3轴上，若焦距为4,则该椭圆的离心率为

CD.咚

4O

I.已知数列。》和以｝均为等差数歹h数列｛%｝的前〃项和为S“，若为定值'$=45也=6,

67=14,则a&=

A.15B.56C.72D.104

开学摸底联考数学试题第1页（共4页）

6“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音

的乐器的长度为36,那么能发出第二个基准音的乐器的长度为36X(1—41=24,能发出第

三个基准音的乐器的长度为24x[1+^)=32,……，也就是依次先减少三分之一，后增加三

分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据

的变化，已知。8=192,则a5=

A.324B.297C.256D.168

.某令饮店有“桃喜芒芒”“草莓啾哦”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同

学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为

21c9「15n15

AA.-B.—C.—D.—

64641632

已知函数/(2)=13+312+力+],设数列的通项公式为*=—2〃+9,则/(ai)+

---H/(a9)=

A.36B.24C.20D.18

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知实数也，〃满足0<加<2，1<找〈2,则下列关系中正确的是

A.mn<ZnmB.sinm<sin—C.mn2^>lD.\ogn<i\ogTn

nmn

10.•已知随机变量巳服从两点分布，且P(&=1)=力。=1,2),若)<小<力2<1，则下列判断

不正确的是

A.E(&)VD(£)C.E(&)VD(&)D.D(/)<D(&)

]A/3^

IM若关于Z的方程72+x+小=0(帆£1<)有两个不等复数根小和12,其中小=一万十34

(i是虚数单位)，则下面四个选项正确的有

A./n=1B.]I>Z2C.XI=1D.J：2=XZ

12.已知函数/(X)=''若关于]的方程/2a)-(2a+l)/(^)+a2+a=0<6

2H—2,力>0,

个不同的实根，则实数a可能的取值有

A.—yB-yC.-1-D.2

开学摸底联考数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知t为实数,a=(2,，)，b=(3,0),则向量a在向量b方向上的投影向量为.

14.已知［彳+］2］的展开式中的常数项为(用数字作答)

15.已知双曲线E的一个焦点为广，点F到双曲线E的一条渐近线》=咚4的距离为1,则双曲

线E的标准方程是.

16.已知在三棱锥P-ABC中，。入+口。=4,45_14(；14_1平面ABC,则三棱锥P-ABC的

外接球表面积的最小值为一_•

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)某厂家为增加销售量特举行有奖销售活动，即每位顾客购买该厂生产的产品后均有

一次抽奖机会.在一个不透明的盒子中放有四个大小、质地完全相同的小球分别标有1,2,3,

5四个数字，抽奖规则为：每位顾客从盒中一次性抽取两个小球，记下小球上的数字后放回,

记两个小球上的数字分别为1小若If-曾1为奇数即为中奖.

(1)求某顾客甲获奖的概率；

(2)求随机变量X=恬一帆的分布列与数学期望E(X).

18.(12分)已知数列满足即=0,且有0孚心=%+%.

(1)证明：数列+2〃｝是等比数列；

(2)求数列厂］的前〃项和S”.

\an十2"

19.(12分)如图，ZVkBC的内角A、B、C的对边分别为a、6、c,Z\ABC外一点D(D-^AABC

在同一平面内）满足NBAC=NDAC,AB=CD=2,sin/ACB+cosNACB=也^.

⑴求B；

(2)若△ABC的面积为2,求线段AD的长.

D

A

BC

20.(12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，平面PABJ_平面

ABCD,PAJ_PB,AB=V^,PB=BC=2,点Q为PC的中点.

(1)求证：平面ABQ_L平面PAC；

(2)求二面角A—PC—D的余弦值.

21.(12分)已知函数/殳)=/一加工瓜z+l,/n£R且小力0.

(1)当加=1时,求曲线y="z)在点处的切线方程；

2

(2)若关于z的不等式恒成立，其中e是自然对数的底数，求实数力的取值

范围.

22.(12分)已知点F为抛物线C：y2=2扭">0)的焦点，点P(2,l